重庆市六校联考2023年高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷含解析

2023高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，矩形A3CD中，AB=\f8C=&，E是A。的中点，将沿5£折起至一4'8七，记二面角4一比一。

的平面角为二，直线AZ与平面8CDE所成的角为AE与8C所成的角为有如下两个命题：①对满足题意的

任意的4的位置，冗、②对满足题意的任意的4的位置，a+y<7rt贝ij（）

B

A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立

C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立

2.下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（）

A.正方体B.球体

C.圆锥D.长宽高互不相等的长方体

x\nx-2x,x>0

3.已知函数/（力={23八的图像二有且仅有四个不同的关于直线y=-1对称的点在二米-1的图像

XT—X,XW0

2

上，则4的取值范围是（）

A.（；,；）B.（K）D.W』）

4.在A4BC中，角A,B,。的对边分别为。，b,c,2（Z?cosA+acosB）=c2,8=3,3cosA=l,则。=

（）

A.小B.3C.回D.4

5.正四棱锥ABC。的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为指，侧棱长为26，则它的外接球的表面积

为（）

A.4乃B.8万C.164D.20万

6.高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X近似服从正态分布N（85,）2）,且P（60VXW85）=0.3.从

中随机抽取参加此次考试的学生5。0名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（）

A.40B.60C.80D.100

x

7.已知/（』）是定义在［-2,2］上的奇函数，当xw（O,2］时，f（x）=2-\f贝1」/（一2）+/（0）=（）

A.-3B.2C.3D.-2

8.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登

山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村

汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：

甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；

乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；

丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；

事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）

A.甲走桃花峪登山线路B.乙走红门盘道徒步线路

C.丙走桃花峪登山线路D.甲走天烛峰登山线路

9.若sin（a+则c°s2a=（）

1111

A.B.C.一D.一

2332

10.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点，则该点取自阴

影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）

x

11.设尸={yx£R},Q={yly=2tx£R},则

A.PJQB.QGP

C.CRP^QD.QCQP

12.下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算”正整数N除以正整数加所得的余数是〃”记为

“N三”（modm）”，例如7三1（mod2）.执行该程序框图，则输出的〃等于（）

A.16B.17C.18D.19

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知四棱锥的底面A3C。是边长为2的正方形，且NB45=90。,若四棱锥尸的五个顶点在以4

为半径的同一球面上，当必最长时，则/尸。4=;四棱锥PM8CD的体积为.

14.若（2-X），=%+4（1+力+生（1+力2+,+%（1+X），，则4+弓+/+・+4+%=，〃6=•

15.某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生

在样本中，则样本中还有一个学生的编号是.

16.高三（1）班共有56人，学号依次为1,2,3,…，56,现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学

号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

cinx

17.（12分）已知函数/0）=-0<x<n.

x

（1）求函数人]）在工=1处的切线方程；

TT

（2）当Ov/nv4时，证明：，"）<“1。彳+—对任意工£（0,万）恒成立.

x

「12]

18.（12分）已知矩阵加二c的一个特征值为3,求另一个特征值及其对应的一个特征向量.

2a

19.（12分）电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性

有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.

⑴根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?

非体育迷体育迷合计

男

女1055

合计

(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3

次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差

附K2=Mad-bcY

—m+〃)(c+c/)(a+c)3+d)

P(K»)0.050.01

k3.8416.635

20.(12分)已知函数fa)=(x+a)ln(x+a)+e*+x.

(1)当。=1时，求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程；

(2)讨论函数〃。)=一/一工的单调性；

(3)当。=0时，若方程力(幻=/(同一/一/=机有两个不相等的实数根.士，求证：In(玉+工2)＞巾2-1.

21.(12分)设椭圆「十卷=1,(々＞6〉0)的左右焦点分别为耳，工，离心率《=乎，右准线为/,M,N是/上的

两个动点，

F,MF2N=O.

⑴若|丽卜丽=2。求a/的值;

(H)证明：当取最小值时，用0+6"与耳鸟共线.

22.(10分)设函数/(x)=ax-(a+l)ln(x+l).

(1)。=1时,求/(x)的单调区间；

(2)当〃>0时，设/(x)的最小值为g(a),若g(a)〈/恒成立，求实数/的取宜范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

作出二面角。的补角、线面角夕、线线角7的补角，由此判断出两个命题的正确性.

【详解】

①如图所示，过A作4'O_L平面3CDE,垂足为。，连接OE,作。连接

由图可知NAMO=4—a，^AEO=p<ZAMO=7c-a,所以a+4工)，所以①正确.

②由于BCHDE,所以与3C所成角/=九—NAZOW/AMO=;r—a,所以a+万，所以②正确.

综上所述，①②都正确.

故选：A

【点睛】

本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

2.C

【解析】

根据基本几何体的三视图确定.

【详解】

正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是

全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形.

故选：C.

【点睛】

本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键.

3.D

【解析】

根据对称关系可将问题转化为了"）与丁=-丘-1有且仅有四个不同的交点；利序导数研究/（X）的单调性从而得到

/（力的图象；由直线），=—履—1恒过定点通过数形结合的方式可确定一左£化心心）；利用过某一点曲

线切线斜率的求解方法可求得女“和心8,进而得到结果.

【详解】

g（x）=h-l关于直线y=-l对称的直线方程为：y=-kx-\

原题等价于〃力与y=1有且仅有四个不同的交点

由），=一"-1可知，直线恒过点A（O,—1）

当x>0时，/r（x）=lnx+l-2=lnx-l

.・./（X）在（O,e）上单调递减；在（&+«））上单调递增

由此可得图象如下图所示：

其中A3、AC为过A点的曲线的两条切线，切点分别为民C

由图象可知，当一ZW(AAC45)时，/(力与.，=-米-1有且仅有四个不同的交点

设(肛〃则,解得：加=

CHnm-2a)，m>Ot=InmT=冽二加2—+11

w-0

••&AC=-1

23।

设占(小/+]〃，n<0,则§n+—〃+1

解得：n=-l

k、R=2n+—=-------------

AB2n-0

本题正确选项：D

【点睛】

本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能

够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.

4.B

【解析】

由正弦定理及条件可得2(sinBcosA+sinAcosB)=csinC,

即2sin（4+B）=2sinC=csinC.

QsinC>0,

；•c=2,

由余弦定理得/=^2+c2-2Z?ccosA=22+32-2x2x3xi=9o

3

:.。=3.选儿

5.C

【解析】

如图所示，在平面ABCD的投影为正方形的中心E,故球心。在尸石上，计算长度，设球半径为R,则

(PE-W+BE2=R2,解得R=2,得到答案.

【详解】

如图所示：P在平面ABCD的投影为正方形的中心E,故球心。在庄上，

BD=42AB=2\/3，故BE=QBD=6PE=JPB2-BE2=3»

设球半径为R,M(PE-/?)2+BE2=/?2,解得R=2,故S=4冗R?=16几・

故选：C.

【点睛】

本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

6.D

【解析】

由正态分布的性质，根据题意，得到P(XN110)=P(XW60),求出概率，再由题中数据，即可求出结果.

【详解】

由题意，成绩X近似服从正态分布N(85,(T2),

则正态分布曲线的对称轴为x=85,

根据正态分布曲线的对称性，求得P(X>110)=P(X<60)=0.5-0.3=0.2,

所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于H0分的人数为500x0.2=100人，

故选：O.

【点睛】

本题考查正态分布的图象和性质，考查学生分析问题的能力，难度容易.

7.A

【解析】

由奇函数定义求出/(0)和/(-2).

【详解】

因为fW是定义在［-2,2］上的奇函数，「./(0)=0.又当x£(0,2］时，

f(x)=2X-1,/./(-2)=-/(2)=-(22-1)=-3,.-./(-2)+/(O)=-3.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键.

8.D

【解析】

甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线，由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的，再分情况讨论即可.

【详解】

若甲走的红门盘道徒步线路，则乙，丙描述中的甲的去向均错误，又三人的陈述都只对一半，则乙丙的另外两句话“丙走红

门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确，与“三人走的线路均不同”矛盾.

故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确，故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误，“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中

“甲走桃花峪登山线路”错误，“丙走红门盘道徒步线路”正确.

综上所述,甲走天烛峰登山线路，乙走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路

故选：D

【点睛】

本题主要考查了判断与推理的问题，重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论属于基础题型.

9.B

【解析】

由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.

【详解】

因为sin(a+由诱导公式得cosa=-—»所以cos2a=2cos"a-1=-~•

\2)333

故选B

【点睛】

本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.

10.C

【解析】

令圆的半径为1,则尸二£二乃一2(』2)二」_],故选C.

S71X

11.C

【解析】

解：因为P={y|y=-x2+Lx€R}={y|y<l},Q={y|y=2x,R}={y|y>0},因此选C

12.B

【解析】

由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利月循环结构计算并输出变量〃的值，模拟程序的运行过程，代入四个选

项进行验证即可.

【详解】

解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整数.

若输出〃=16,则16三1(mod3)不符合题意，排除；

若输出〃=17,则17三2(mod3),17三2(mod5),符合题意.

故选:B.

【点睛】

本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.90°

3

【解析】

易得A3_L平面丛O,尸点在与BA垂直的圆面01内运动，显然，PA是圆。I的直径时，PA最长；将四棱锥P-ABCD

补形为长方体易得心为球的直径即可得到PD,从而求得四棱锥的体积.

【详解】

如图，由NPAB=90"及AB_LA£>,得A8_L平面而。，

即尸点在与BA垂直的圆面。।内运动,

易知，当P、。1、A三点共线时，D1达到最长，

此时，是圆01的直径，则NP£)A=90;

又所以平面A5CD,

此时可将四棱锥P—A3C。补形为长方体ABgP-ABCD,

其体对角线为m=2R=8,底面边长为2的正方形，

易求出，高PD=2幅,

故四棱锥体积V='x4x2jl1=®巳.

故答案为：(1)90°；(2)〜

3

【点睛】

本题四棱锥外接球有关的问题，考查学生空间想象与逻辑推理能力，是一道有难度的压轴填空题.

14.12821

【解析】

令冗=0,求得/+4+%++4+%的值•利用[3-(1+%)]展开式的通项公式，求得4的值.

【详解】

令％=0,得/+4++%=27=128.[3-(1+X)]7展开式的通项公式为G371—(1+力1，当/*=6时，为

。卜了(1+工)6=21(1+力6,即生=21.

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查赋值法求解二项式系数有关问题，属于基础题.

15.18

【解析】

根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编

号.

【详解】

解：根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，

已知其中三个个体的编号为5,31,44,

故还有一个抽取的个体的编号为18,

故答案为：18

【点睛】

本题主要考查系统抽样的定义和方法,属于简单题.

16.20

【解析】

根据系统抽样的定义将56人按顺序分成4组，每组14人，贝IJ1至14号为第一组，15至2R号为第一组，29号至42

号为第三组，43号至56号为第四组.而学号6,34,48分别是第一、三、四组的学号，所以还有一个同学应该是15+6・1=20

号，故答案为20.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

,、44.、一…

17.(1)y=-一Tx+-(2)见解析

7171

【解析】

、xcosx-sinx,(冗、4

(1)因为/(%)=2，可得一一3「，即可求得答案；

yr

(2)要证/")＜加1。X+一对任意不£(0,乃)恒成立，即证x>sinx—乃对任意x£(0,冗)恒成立.设

X

^(x)=sinx-^e(-^,l-^],即可求得答案.

g(x)=i7vc\nxfh(x)=sinx-7r,当xw(0,万)时,)

【详解】

“、xcosx-sinx

(1)f^)=2，

佃j

44

函数/⑺在X=3处的切线方程为)，=-=1¥+——・

7T兀

(2)要证/(%)<加111冗+工对任意］£(0,1)恒成立.

X

即证〃irInx>sin工一"对任意ve(0,4)恒成立.

设g(x)=〃aInx,Zz(x)=sinx-〃，

当xw(0,乃)时，h(x)=sinx—乃£(一),1一万］,

g,(x)=/n(lnx+l),

.•令g'(x)=0,解得x=,，

e

•.当0vx〈：时，g'(x)<0,函数g(x)在卜上单调递减；

当，<xv不时，g'(x)>0,函数g(x)在上单调递增.

eVeJ

/、nim

「•g(X)min=g—=——，

3e

G(0,7T),-—>\-7V,

e

当0vm<乃时，/nrInx>sinx-4对任意te(0,4)恒成立，

即当OVWIV4时，/(外〈"21!1_¥+工对任意%已(0,7)恒成立.

X

【点睛】

本题主要考查了求曲线的切线方程和求证不等式恒成立问题，解题关键是掌握由导数求切线方程的解法和根据导数求

证不等式恒成立的方法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.

18.另一个特征值为1,对应的一个特征向量。=,

-1

【解析】

根据特征多项式的一个零点为3,可得4=1,再回代到方程/(2)=0即可解出另一个特征值为4=-1,最后利用求

特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量.

【详解】

矩阵”的特征多项式为：

2_1—7

/W=；-=(^-1)(2-«)-4,

一乙A—CI

・・・4=3是方程/(2)=0的一个根,

..(3-1)(3-«)-4=0,解得〃=1,即知=2]

•・方程/(2)=0即(几一1)(/1-1)-4=0,22-22-3=0,

可得另一个特征值为：4=-1,

x

设人=-1对应的一个特征向量为：a-

y_

-2x-2y=0

则由=得'八得1=一丁，

-2x-2y=0

令戈=1,则，=-1,

所以矩阵M另一个特征值为-1,

「11

对应的一个特征向量a=

-1

【点睛】

本题考查了矩阵的特征值以及特征向量，需掌握特征多项式的计算形式，属于基础题.

19.(1)无关；(2)—.

4f16

【解析】

(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而可得列联表如下:

非体育迷体育迷合计

男301545

女451055

合计7525100

将22列联表中的数据代入公式计算，得

»12«21)2100x(30x10-4ox!5)2100

K*=------------=-----------------------=——2:3.03・

阳75x25x45x5533

因为3.03(X3.841,所以我们没有充分理由认为"体育迷”与性别有关.

(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0・25,将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率!.由题意

4

知X〜B(3,!),从而X的分布列为

4

X0123

p

39

E(X)=np=—=.D(X)=np(l—p)=一

416

।fJA］(［\

20.(1)3工一丁+1=0；(2)当一4<%<一一4时，/z(x)在［一外一一4)上是减函数；当X>一一4时，力(X)在一一〃,+<»

上是增函数；(3)证明见解析.

【解析】

(1)当。=1时，/(x)=(x+l)ln(x+l)+^+x,求得其导函数/(x),/(0),/(0),可求得函数"X)的图象在

x=0处的切线方程；

(2)由已知得〃(x)=/(x)-e'-x=(x+4)ln(x+〃)(x>-a),得出导函数〃(x)=ln(x+o)+l,并得出导函数取

得正负的区间，可得出函数的单调性；

(3)当。=0时，h(x)=x\nxt”(x)=lnx+l,由(2)得/?(x)的单调区间，以当方程以幻=〃，有两个不相等的

实数根中毛，不妨设X<工2,且有。<玉<丁］<WV1，-一<根<0,构造函数〃(x)=〃(x)一人工一0<x<-J,

分析其导函数的正负得出函数的单调性，得出其最值，所证的不等式可得证.

【详解】

(1)当a=l时，/(x)=(x+1)ln(x+1)+er+x,

所以/(x)=ln(x+l)+l+ex+l=ln(x+l)+er+2,/(0)=3,/(0)=1,

所以函数。x)的图象在工=0处的切线方程为旷一1=3(1一0),即3x-y+l=0；

(2)由已知得力(冗)=f(x)-ex-x=(x+a)ln(x+a)(x>-a),hl(x)=ln(x+a)+1,令/f(x)=O,得工=—a,

e

所以当-a<x<——。时，h(x)<0,当x>-一。时，hr(x)>0,

ee

所以〃(X)在一〃上是减函数，在［：-〃,+8上是增函数；

(3)当。=0时，h(x)=x\nxf^(x)=lnx+l,由(2)得力(x)在(0,11上单调递减，在(L+s］单调递增，

keJJ

所以〃(x)之力>且x―>0时,力(x)f0,当x—>+oo时，h(x)+oo%(1)=0,

所以当方程4")=〃7有两个不相等的实数根再也，不妨设王<“，，且有0<%<!」<占<1，--<^<0,

eee

构造函数〃(x)=Mx)-〃E-x

则”'(x)=2+lnx

.•.H(x)在[0《)上单调递减，且“(£|=0,/.H(x)>ofo<x<!

1(2)(2]121/

由0<%〈一，H(%])=/?(%))-/?—x,>0,A(X1)=/Z(X2)>/Z——x],vx2>-,——在

+8)上单调递增，

22

二.甚>——xpX1+%2ln(x,+x2)>ln2-l.

所以ln(x4-x2)>ln2-l.

【点睛】

本题考查运用导函数求函数在某点的切线方程，讨论函数的单调性，以及证明不等式，关键在于构造适当的函数，得

出其导函数的正负，得出所构造的函数的单调性，属于难度题.

21.(I)〃=2*=应

(II)证明见解析.

【解析】

由/—〃与6=@，得/=%2，

C2

耳一,6(等>"Q»1的方程为x=6a•

设M(衣z,yj,N(&a,%)，

‘3&

则-----a,八，&N

2

由4M•6"=0得

3