2024届浙江省绍兴市高一数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

2024届浙江省绍兴市高一数学第二学期期末教学质量

检测试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息

条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,

字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草

稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1.已知向量。=(11),方=(2,x),若a+b与46—2a平行，则实数%的值是()

A.-2B.0C.1D.2

2.已知某数列的前〃项和S=an-3(a为非零实数)，则此数列为()

n

A.等比数列B.从第二项起成等比数列

C.当awl时为等比数列D.从第二项起的等比数列或等差数列

3.在AABC中，角4,£C的对边分别为a,b,c,若a=l,b=B=45。,则角

A=()

A.30°B,60°C,30°或150°D,60°或120°

4.向量a=(1,—2),6=(2,1),则()

A.aIlbB.a.Lb

C.乙与石的夹角为60。D.。与方的夹角为30。

5,若函数/(x)=lg(x—l)+lg(3—x)—lg(a—x)只有一个零点，则实数。的取值范

围是

,c、13〜13

人.1〈。^3或。=,B.3Wa<——

44

…、1313

C.aW1或a=—-■D.a>——

44

6.已知/为直线，a,B为两个不同的平面，则下列结论正确的是()

A.若"a，/〃p,则a〃BB.若/，a,,则

C,若/J_a，/〃p,则a，pD,若/，a,p±a,则/〃p

7.如图，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是（）

A.B.C.D.

8.若a<b<0,则下列不等式不成立的是（）

11

A.—〉丁B.ab<b2C.a2+Z?2>2abD.2“<26

ab

9.若直线经过点（—1,2）,（4,2+Ji）则此直线的倾斜角是（

)

A.45oB.6OoC.12OoD.15Oo

io.把函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然

71

后把图象向左平移4个单位，则所得图形对应的函数解析式为（）

A.y=cosB.y=cos^2%+—

C.y=cos^|+^D.y=cos12x+"

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.若x>0,则函数/G）=U+3x的最小值是.

x

12.已知变量x,y线性相关，其一组数据如下表所示.若根据这组数据求得y关于x的

线性回归方程为y=1.9x+a,则口=.

X1245

J5.49.610.614.4

13.等差数列3｝中，。=2,a=1,设S为数列｛a｝的前“项和，则S=

n37nn9

14.已知等差数列3｝中.a+a+a=20.®|4a-a=

n13957

15.函数/(x)=3的定义域记作集合。，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子(骰

Inx

子的每个面上分别标有点数1,2,…，6),记骰子向上的点数为匕则事件“fe。”

的概率为.

16.函数y=6sin尤cosx+cos?x在区间［°，］］上的值域为

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.已知AABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且/?2=c2+ac,

(1)求证：B=2C；

a

(2)若A4BC是锐角三角形，求z的取值范围.

18.在AABC中，角C所对的边分别为a,b,c,且csin3=bcosC=3.

(1)求边长b；

21

(2)若AABC的面积为彳，求边长c.

19.设平面向量&=(JTsinx,cos2x—｝,b=(cosx,-l),函数/(%)=加万.

(I)求xr［03］时,函数/(x)的单调递增区间；

2

(II)若锐角。满足/(£)=；,求cos(2a+£)的值.

20.已知数列M｝为等差数列，且满足。=。，%=12,数列名｝的前八项和为S,

n26nn

且b=l,b=2S+1.

1n+ln

(I)求数列｛a｝,毋｝的通项公式；

nn

(ID若对任意的"eN*,不等式恒成立，求实数左的取值范围.

〈〃ZJn

21.已知等比数列L｝的公比4〉1,且。+a=40,a=16.

n354

(2)设,S是数列名｝的前几项和，对任意正整数"不等式S+(_〉(-l>.a

nann"2〃

n

恒成立，求a的取值范围.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1、D

【解题分析】

因为£=(1,1),B=(2,x),所以2+日=(3,%+1),46一2£=(6,4%一2),由于£+石与

45一2£平行，得6(x+l)—3(4x—2)=。，解得冗=2,

2、D

【解题分析】

设数列｛。｝的前几项和为S,运用数列的递推式：当“=1时，a=S,当“22时，

nn11

a=S-S结合等差数列和等比数列的定义和通项公式，即可得到所求结论.

nnn-1

【题目详解】

设数列｛a｝的前八项和为S,对任意的〃eN*,S=*-3(a为非零实数).

nnn

当〃=1时a=S=a—3.

ii，

当〃22时，a—S—S=-3)——3)=a〃一=(a—1)Q〃T.

nnn-1

—2,n—1

若。=1,则。=〈八，此时，该数列是从第二项起的等差数列；

若awl且a/0,a=。-3不满足a=(a—l)aa,当“22时，

1n

a

-=-A--------=a,

n

此时，该数列是从第二项起的等比数列.

综上所述，此数列为从第二项起的等比数列或等差数列.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查数列的递推式的运用，等差数列和等比数列的定义和通项公式，考查分类讨论

思想和运算能力，属于中档题.

3、A

【解题分析】

由正弦定理可解得sinA="sm'=：,利用大边对大角可得范围入6（0,45。），从而解

b2

得A的值.

【题目详解】

a=l,b=y/2,B=45°,

,K

Ixp

二由正弦定理可得：sinA==-Y=£,

b一-7^-2

•；a=l〈b=W,由大边对大角可得：0°<A<45°,

解得：A=30°.

故选A.

【题目点拨】

本题主要考查了正弦定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质等知识的应用，解题时

要注意分析角的范围.

4、B

【解题分析】

试题分析：由a=（1,-2）,6=（2,1）,可得=（1,-2）-（2,l）=lx2-2x1=0,所以

aVb,故选B.

考点：向量的运算.

5、A

【解题分析】

1<x<3

根据题意，原题等价于｛x<a,再讨论即可得到结论.

x2-5x+a+3=0

【题目详解】

由题/Q）=lg*+4x—3,故函数有一个零点

a-x7

1<x<31<A:<3

等价于x<a即＜x<a

「x2+4x—3)12—5%+。+3=0

lg=0

a-xJ

、c135

当A=0时，a=—x='2，符合题意;

4

g(D〉o

.C13令g(x)=x2-5x+a+3,a满足<

当A>0,a〈时,g(3%o解得i<y,

4

,013

综上a的取值范围是1＜。43或a=w

故选:A.

【题目点拨】

本题考查函数的零点，对数函数的性质，二次函数根的分布问题，考查了分类讨论思想,

属于中档题.

6、C

【解题分析】

利用直线与平面平行、垂直的判断即可。

【题目详解】

对于A.若p,则（1〃（3或（1门|3,所以A错对于B.若/，a,,则

alP,应该为a〃B,所以B错对于D.若/，a,P±a,则/〃p或/up,所以

D错。所以选择C

【题目点拨】

本题主要考查了直线与平面垂直和直线与平面平行的性质。属于基础题。

7、D

【解题分析】

求出阴影部分的面积，然后与圆面积作比值即得.

【题目详解】

圆被8等分，其中阴影部分有3分，因此所求概率为0_3

故选D.

【题目点拨】

本题考查几何概型，属于基础题.

8、B

【解题分析】

根据不等式的基本性质、重要不等式、函数的单调性即可得出结论.

【题目详解】

解：a<Z?<0,〉0,b-a>0,

11b-a八11、

-~-r~---；~>0,即一>7,故A成立；

ababab

ab-b2=(.a-b)b>0,即。匕>匕2,故B不成立；

a2+b2-2ab=(.a-b)2>0,§pa2+b^>lab,故C成立；

.•,指数函数y=2x在H上单调递增，且a<b,

：・2a<2b,故D成立;

故选：B.

【题目点拨】

本题主要考查不等式的基本性质，作差法比较大小，属于基础题.

9、D

【解题分析】

y—y

先通过左=一~~求出两点的斜率，再通过左=tana求出倾斜角a的值。

X—X

21

【题目详解】

7y~y2+5/3-2_V3

k=7--------1-=tana=,ae[0°,180°)na=150°/.选D.

x-x-4-(-1)33

21

【题目点拨】

y—y

先通过左=口---4•求出两点的斜率，再通过左=tana求出倾斜角a的值。需要注意的

X—X

21

是斜率不存在的情况。

10、D

【解题分析】

函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，x的系数

变为原来的2倍，即为2,然后根据平移求出函数的解析式.

【题目详解】

函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，

得到y=cos2x,

n

把图象向左平移4个单位，

得到y=cos[2(x+—)]=cos(2x+—)

42

故选：D.

【题目点拨】

本题考查函数y=Asin(3x+(p)的图象变换.准确理解变换规则是关键，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、12

【解题分析】

利用基本不等式可求得函数y=/G)的最小值.

【题目详解】

­•%>0,由基本不等式得/Q)=U+3x22jU-3x=12,当且仅当x=2时，等

号成立，

因此，当x>0时，函数/G)=2+3X的最小值是12.

x

故答案为：12.

【题目点拨】

本题考查利用基本不等式求函数的最值，考查计算能力，属于基础题.

12、4.3

【解题分析】

由所给数据求出W根据回归直线过中心点日,亍)可求解.

【题目详解】

由表格得到x=1(1+2+4+5)=3,y=i(5.4+9.6+10.6+14.4)=10,将样本中

44

心(3/0)代入线性回归方程得°=io一1§x3=4.3.

故答案为：4.3

【题目点拨】

本题考查线性回归直线方程，掌握回归直线的性质是解题关键，即回归直线必过中心点

(x,y).

27

13、

2

【解题分析】

由等差数列的性质可得出％+%的值，然后利用等差数列的求和公式可求出S9的值.

【题目详解】

由等差数列的基本性质可得4+%=%+°7=2+1=3

…09（a+a）9x327

因此，S=——1——2-=------=一

9222

27

故答案为：—

【题目点拨】

本题考查等差数列求和，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于

基础题.

14、20

【解题分析】

设等差数列3｝的公差为d,用。与d表示等式。+a+a=20,再用。与d表示

n11391

代数式44-4可得出答案。

【题目详解】

设等差数列｛。｝的公差为d,则

n

a+。+。-a+(a+2d)+(a+8d)=3a+10d=20

13911I1

因此，4a-a=4x(。+4d)-(a+6d)=3a+10d=20,故答案为.20。

57I11''

【题目点拨】

本题考查等差数列中项的计算，解决等差数列有两种方法：基本性质法(与下标相关的

性质)以及基本量法(用首项和公差来表示相应的量)，一般利用基本量法来进行计算,

此外，灵活利用与下标有关的基本性质进行求解，能简化计算，属于中等题。

5

15'6

【解题分析】

要使函数/(%)=」一有意义，则InxwO且x>0,即x>0且xwl,即

Inx

D=(0,1)u(l,^o),随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子，记骰子向上的点数为七

则tG｛1,2,3,4,5,6｝,则事件e的概率为尸=；.

6

16、1呜

【解题分析】

由二倍角公式降嘉，再由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合

正弦函数性质可求得值域.

【题目详解】

内.J3..l+cos2x

y=J3sinxcosx+cos2x=_L_sin2x+-------sin2x+1cos2x+l=sin(2x+?]+l

立222I62

•/XG

sin2x+—\G-—,1

I6I2

sin12x+—6；+—2eI0,—2j-

3

故答案为：（°，

【题目点拨】

本题考查三角恒等变换（二倍角公式、两角和的正弦公式），考查正弦函数的的单调性

和最值.求解三角函数的性质的性质一般都需要用三角恒等变换化函数为一个角的一个

三角函数形式，然后结合正弦函数的性质得出结论.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17、（1）证明见解析；（2）（12）

【解题分析】

（1）由b2=c2+ac,联立加=+c2-2ac-cos8,得a=c+2c•cosB,然后边

角转化，利用和差公式化简，即可得到本题答案；

（2）利用正弦定理和B=2C,得t=2cos2C+l,再确定角C的范围，即可得到本

c

题答案.

【题目详解】

解：（1）锐角AABC中，：拉=c2+ac,故由余弦定理可得：。2=。2+。2-2ac-cosB,

C2+ac=[2+。2—2ac-cosB,

:.a^=ac+2ac-cosB,即。=c+2c-cosB,

二利用正弦定理可得：sinA=sinC+2sinCcosB,

即sin(B+Q=sinBcosC+sinCcosB=sinC+2sinCcosB

sinBcosC=sinC+sinCcosB,

可得：sin(B-C)=sinC,

,可得：B-C=C,或5_0+（7=兀（舍去）,

B=2C.

(2)

j=呵任=sin(2C+C)=2cos2C+cos2c=2cos2C+1

csinCsinCsinC

♦.♦A+5+C=7l,均为锐角，由于：3C+A=n,

兀71

/.0<2C<—,0<C<—>

24

兀c-兀一

再根据k<3C,可得<C,

26

7171

C<—,

64

【题目点拨】

本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题.

18、(1)372；(2)5.

【解题分析】

试题分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式

等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力.第一问，利用

正弦定理将边换成角，消去sinB,解出角C,再利用bcosC=3解出边b的长；第二

问，利用三角形面积公式S=；〃csin5,可直接解出a边的值，再利用余弦定理

C2=〃2+/?2-labcosC解出边c的长.

试题解析：(I)由正弦定理得sinCsin5=sin5cosC,

又sin5wO,所以sinC=cosC,C=45o.

因为bcosC=3,所以b=3#.…6分

121

(II)因为S=^-acsinB=—,csinB=3,所以a=7.

据余弦定理可得C2=42+匕2-2H?cosC=25,所以c=5.…12分

考点：正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式.

JI4

19、(I)［0,y］；(II)--V2.

【解题分析】

(I)利用向量的数量积结合两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数

的形式，利用正弦函数的单调增区间，求得xe0,-时函数/(*)的单调递增区间；

(II)若锐角a满足=可得cos，—'的值，然后求可201+卷］的值.

【题目详解】

解：(I)f(x)=a-B

=J3sinx-cosx+--cos2x=我sinlx--coslx=sin(2x--

22I6

c兀c兀715兀

由xe0,—得2工一一£--,----

2『寸666

兀7C7C

其中单调递增区间为2%-/-『2

可得了e0,1

3

C兀c兀

xe0,-时/(x)的单调递增区间为0,_

【题目点拨】

本题考查向量的数量积以及三角函数的化简求值，考查了二倍角公式的应用，考查转化

思想以及计算能力，属于中档题.

2

20、(I)a=3"-6；b=3»-i(II),+°0

【解题分析】

（I）数列｛a｝的通项公式，利用气=。，%=12可求公差，然后可求a；毋｝的

n26nn

通项公式可以利用退位相减法求解;

（ID求出。，S代入，利用分离参数法可求实数左的取值范围.

nn

【题目详解】

解：(I)-：a6-ar4d=n,-,d=3,

：.a-a+(〃-2)d,gpa=3n—6,

n2n

+l(n>2),

・.・b=2S+1,：.b=2S

n+lnn-l

=2(S：(n>2),

：.b-b—S),,b=3b

n+lnnn-1n+ln

.•.%｝是以1为首项，3为公比的等比数歹心

又b=2S+1=3々=3。］也成立,

21n

b=3〃-i.

n

1—3«3»—1

(IDS=

nl—q1-32

(3n-l1)

+

：.k-I22J23”一6对“©N*恒成立,

6(n-2)

即上2对”eN*恒成立,

3〃

n-2n-2n-3-2n+7

令C=---------,C~C-------