广东省揭阳市榕城区一中学2023-2024学年中考数学模试卷含解析

广东省揭阳市榕城区一中学2023-2024学年中考数学模试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．已知关于x的方程2x+a-9=0的解是x=2，则a的值为A．2 B．3 C．4 D．52．－sin60°的倒数为()A．－2 B． C．－ D．－3．某校数学兴趣小组在一次数学课外活动中，随机抽查该校10名同学参加今年初中学业水平考试的体育成绩，得到结果如下表所示：下列说法正确的是（）A．这10名同学体育成绩的中位数为38分B．这10名同学体育成绩的平均数为38分C．这10名同学体育成绩的众数为39分D．这10名同学体育成绩的方差为24．的平方根是()A．2 B． C．±2 D．±5．如图，一个铁环上挂着6个分别编有号码1，2，3，4，5，6的铁片．如果把其中编号为2，4的铁片取下来，再先后把它们穿回到铁环上的仼意位置，则铁环上的铁片（无论沿铁环如何滑动）不可能排成的情形是（）A． B．C． D．6．已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．＜0 B．＜0 C．＜0 D．＜07．如图，平面直角坐标中，点A（1，2），将AO绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点B恰好落在双曲线y=kxA．2 B．3 C．4 D．68．已知二次函数y＝﹣(x﹣h)2+1(为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为()A．3﹣或1+ B．3﹣或3+C．3+或1﹣ D．1﹣或1+9．在平面直角坐标系中，将点P（4，﹣3）绕原点旋转90°得到P1，则P1的坐标为（）A．（﹣3，﹣4）或（3，4） B．（﹣4，﹣3）C．（﹣4，﹣3）或（4，3） D．（﹣3，﹣4）10．计算（x－2）（x+5）的结果是A．x2+3x+7 B．x2+3x+10 C．x2+3x－10 D．x2－3x－10二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，，则＝_____．12．已知关于x的一元二次方程kx2+3x﹣4k+6=0有两个相等的实数根，则该实数根是_____．13．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且△AOB是正三角形，则∠ACB的度数是。14．矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=1．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为________．15．如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点．若DE=1，则DF的长为________．16．如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2018次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为_____．17．分解因式：2x2-8x+8=__________.三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，已知是直角坐标平面上三点.将先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，画出平移后的图形；以点为位似中心，位似比为2，将放大，在轴右侧画出放大后的图形；填空：面积为.19．（5分）先化简，再求值：（x﹣3）÷（﹣1），其中x=﹣1．20．（8分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中均为整数），则有．∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：当均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示，得＝，＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数，填空：＋＝(＋)2；（3）若，且均为正整数，求的值．21．（10分）如图，直线y=12x与双曲线y=kx（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y=12（1）设点B的横坐标分别为b，试用只含有字母b的代数式表示k；（2）若OA=3BC，求k的值．22．（10分）今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为75海里．（1）求B点到直线CA的距离；（2）执法船从A到D航行了多少海里？（结果保留根号）23．（12分）我们知道中，如果，，那么当时，的面积最大为6；(1)若四边形中，，且，直接写出满足什么位置关系时四边形面积最大？并直接写出最大面积.(2)已知四边形中，，求为多少时，四边形面积最大？并求出最大面积是多少？24．（14分）如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°.求这两座建筑物的高度（结果保留根号）.

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、D【解析】∵方程2x+a﹣9=0的解是x=2，∴2×2+a﹣9=0，解得a=1．故选D．2、D【解析】分析：根据乘积为1的两个数互为倒数，求出它的倒数即可.详解：的倒数是.故选D.点睛：考查特殊角的三角函数和倒数的定义，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.3、C【解析】试题分析：10名学生的体育成绩中39分出现的次数最多，众数为39；第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：=39；平均数==38.4方差=[（36﹣38.4）2+2×（37﹣38.4）2+（38﹣38.4）2+4×（39﹣38.4）2+2×（40﹣38.4）2]=1.64；∴选项A，B、D错误；故选C．考点：方差；加权平均数；中位数；众数．4、D【解析】

先化简，然后再根据平方根的定义求解即可．【详解】∵=2，2的平方根是±，∴的平方根是±．故选D．【点睛】本题考查了平方根的定义以及算术平方根，先把正确化简是解题的关键，本题比较容易出错．5、D【解析】

摘掉铁片2，4后，铁片1，1，5，6在铁环上按逆时针排列，无论将铁片2，4穿回哪里，铁片1，1，5，6在铁环上的顺序不变，观察四个选择即可得出结论．【详解】解：摘掉铁片2，4后，铁片1，1，5，6在铁环上按逆时针排列，∵选项A，B，C中铁片顺序为1，1，5，6，选项D中铁片顺序为1，5，6，1．故选D．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，找准铁片1，1，5，6在铁环上的顺序不变是解题的关键．6、B【解析】

根据抛物线的开口方向确定a，根据抛物线与y轴的交点确定c，根据对称轴确定b，根据抛物线与x轴的交点确定b2-4ac，根据x=1时，y＞0，确定a+b+c的符号．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线交于y轴的正半轴，∴c＞0，∴ac＞0，A错误；∵-＞0，a＞0，∴b＜0，∴B正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，C错误；当x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，D错误；故选B．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．7、B【解析】

作AC⊥y轴于C，ADx轴，BD⊥y轴，它们相交于D，有A点坐标得到AC=1，OC=1，由于AO绕点A逆时针旋转90°，点O的对应B点，所以相当是把△AOC绕点A逆时针旋转90°得到△ABD，根据旋转的性质得AD=AC=1，BD=OC=1，原式可得到B点坐标为（2，1），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．【详解】作AC⊥y轴于C，AD⊥x轴，BD⊥y轴，它们相交于D，如图，∵A点坐标为（1，1），∴AC=1，OC=1．∵AO绕点A逆时针旋转90°，点O的对应B点，即把△AOC绕点A逆时针旋转90°得到△ABD，∴AD=AC=1，BD=OC=1，∴B点坐标为（2，1），∴k=2×1=2．故选B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k8、C【解析】

∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最大值-5，可得：-（1-h）2+1=-5，解得：h=1-或h=1+（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最大值-5，可得：-（3-h）2+1=-5，解得：h=3+或h=3-（舍）．综上，h的值为1-或3+，故选C．点睛：本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的增减性和最值分两种情况讨论是解题的关键．9、A【解析】

分顺时针旋转，逆时针旋转两种情形求解即可.【详解】解：如图,分两种情形旋转可得P′(3,4),P″(−3,−4)，故选A.【点睛】本题考查坐标与图形变换——旋转，解题的关键是利用空间想象能力.10、C【解析】

根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可.【详解】x-2x+5故选：C.【点睛】考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、【解析】试题分析：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，∴＝＝，则＝＝＝．故答案为．点睛：本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．12、﹣1【解析】

根据二次项系数非零结合根的判别式△=0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出k值，将其代入原方程中解之即可得出原方程的解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx1+3x-4k+6=0有两个相等的实数根，∴，解得：k=，∴原方程为x1+4x+4=0，即（x+1）1=0，解得：x=-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查根的判别式、一元二次方程的定义以及配方法解一元二次方程，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．13、30°【解析】试题分析：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.∵△AOB是正三角形∴∠AOB=60°∴∠ACB=30°.考点：圆周角定理点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握圆周角定理，即可完成.14、6或2．【解析】试题分析：根据P点的不同位置，此题分两种情况计算：①点P在CD上；②点P在AD上．①点P在CD上时,如图：∵PD=1，CD=AB=9，∴CP=6，∵EF垂直平分PB，∴四边形PFBE是邻边相等的矩形即正方形，EF过点C，∵BF=BC=6，∴由勾股定理求得EF=；②点P在AD上时，如图：先建立相似三角形，过E作EQ⊥AB于Q，∵PD=1，AD=6，∴AP=1，AB=9，由勾股定理求得PB==1，∵EF垂直平分PB，∴∠1=∠2（同角的余角相等），又∵∠A=∠EQF=90°，∴△ABP∽△EFQ（两角对应相等，两三角形相似），∴对应线段成比例：,代入相应数值：，∴EF=2．综上所述：EF长为6或2．考点：翻折变换（折叠问题）．15、1.1【解析】

求出EC，根据菱形的性质得出AD∥BC，得出相似三角形，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．【详解】∵DE=1，DC=3，∴EC=3-1=2，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴△DEF∽△CEB，∴，∴，∴DF=1.1，故答案为1.1．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据菱形的性质证明△DEF∽△CEB，然后根据相似三角形的性质可求解.16、（﹣2016，+1）【解析】

据轴对称判断出点C变换后在x轴上方，然后求出点C纵坐标，再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标，最后写出即可．【详解】解：∵△ABC是等边三角形AB＝3﹣1＝2，∴点C到x轴的距离为1+2×＝+1，横坐标为2，∴C（2，+1），第2018次变换后的三角形在x轴上方，点C的纵坐标为+1，横坐标为2﹣2018×1＝﹣2016，所以，点C的对应点C′的坐标是（﹣2016，+1）故答案为：（﹣2016，+1）【点睛】本题考查坐标与图形变化，平移和轴对称变换，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续2018次这样的变换得到三角形在x轴上方是解题的关键．17、2(x-2)2【解析】

先运用提公因式法，再运用完全平方公式.【详解】：2x2-8x+8=.故答案为2(x-2)2.【点睛】本题考核知识点：因式分解.解题关键点：熟练掌握分解因式的基本方法.三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】

（1）分别画出A、B、C三点的对应点即可解决问题；（2）由（1）得各顶点的坐标，然后利用位似图形的性质，即可求得各点的坐标，然后在图中作出位似三角形即可．（3）求得所在矩形的面积减去三个三角形的面积即可.【详解】（1）如图，即为所求作；（2）如图，即为所求作；（3）面积=4×4-×2×4-×2×2-×2×4=6.【点睛】本题主要考查了利用平移变换作图、位似作图以及求三角形的面积，作图时要先找到图形的关键点，把这几个关键点按平移的方向和距离确定对应点后，再顺序连接对应点即可得到平移后的图形.19、﹣x+1，2．【解析】

先将括号内的分式通分，再将乘方转化为乘法，约分，最后代入数值求解即可.【详解】原式=（x﹣2）÷（﹣）=（x﹣2）÷=（x﹣2）•=﹣x+1，当x=﹣1时，原式=1+1=2．【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解题的关键是熟练的掌握整式的混合运算法则.20、（1），；（2）2，2，1，1（答案不唯一）；（3）＝7或＝1．【解析】

(1)∵，∴，∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．故答案为m2＋3n2，2mn．(2)设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝1，b＝2mn＝2．故答案为1，2，1，2(答案不唯一)．(3)由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．∵2＝2mn，且m、n为正整数，∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝1．21、（1）k=12b2+4b；（2）9【解析】试题分析：（1）分别求出点B的坐标，即可解答．（2）先根据一次函数平移的性质求出平移后函数的解析式，再分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，再设A（3x，32x），由于OA=3BC，故可得出B（x，1试题解析：（1）∵将直线y=12∴平移后直线的解析式为y=12∵点B在直线y=12∴B（b，12∵点B在双曲线y=kx∴B（b，kb令12b+4=得k=（2）分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A（3x，32∵OA=3BC，BC∥OA，CF∥x轴，∴CF=13∵点A、B在双曲线y=kx∴3b•32b=1∴k=3×1×32×1=9考点：反比例函数综合题．22、（1）B点到直线CA的距离是75海里；（2）执法船从A到D航行了（75﹣25）海里．【解析】

（1）过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，根据三角函数可求BH的长；（2）根据勾股定理可求DH，在Rt△ABH中，根据三角函数可求AH，进一步得到AD的长．【详解】解：（1）过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，∵∠MBC＝60°，∴∠CBA＝30°，∵∠NAD＝30°，∴∠BAC＝120°，∴∠BCA＝180°﹣∠BAC﹣∠CBA＝30°，∴BH＝BC×sin∠BCA＝15