28.2.1 解直角三角形 提升训练（解析版）

28.2.1解直角三角形提升训练1．如图，点E是矩形中边上一点，沿折叠为，点F落在上．若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可知，故可设，则．再根据折叠的性质可知，，，从而可求出．又易证，即得出，即又可设，则．根据勾股定理可求出，从而可求出，最后根据正切的定义求解即可．【详解】∵，∴．设，则．由折叠的性质可知，，，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴．设，则．∵，即，∴（舍去负值），∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，解直角三角形．利用数形结合的思想是解题关键．2．如图，在中，，点O在上，经过点A的与相切于点D，交于点E，若则图中阴影部分面积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点O作，可得，可得四边形是矩形，进而可得，在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后根据面积公式，进行计算即可解答．【详解】解：连接，过点O作，垂足为F，∴，∵与相切于点D，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，在中，，∴，在中，，∴，，∴阴影部分面积的面积扇形的面积，故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形，三角形和扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．如图，已知正方形，延长至点E使，连接，，与交于点N，取得中点F，连接，，交于于点M，交于点O，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】证明，根据相似三角形的性质列出比例式，得到，故①正确；由直角三角形的性质可得，即可得，故②错误；通过证明，可得，作于G，根据等腰直角三角形的性质，正切的定义求出，可求，故③正确；根据三角形的面积公式计算，可判断④正确，设，，可求，，可得，故⑤正确；即可求解．【详解】解：∵四边形为正方形，，∴，，∴，∴，∴，，故①正确；如图，连接，∵，，∴，∵，，∴，故②错误；∵，，F是的中点，∴，，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，如图，作于G，则，∴，∴，∴，故③正确；∵，∴，∴，∴，∵F是的中点，∴，∴，故④正确；∵，∴设，，∴，∴，∴，∴，故⑤正确；故选C．【点睛】本题是四边形综合题，考查的是相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，三角形的面积等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．4．在△ABC中，，AC＝2，AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，则BC的长为_____．【答案】或【分析】分两种情况讨论：当AD在△ABC的内部时，当AD在△ABC的外部时，即可求解．【详解】解：如图，当AD在△ABC的内部时，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，在中，∠ACD＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∵AC＝2，∴，在中，，∴，∴AB=4，∴，∴；如图，当AD在△ABC的外部时，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，在中，∠ACD＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∵AC＝2，∴，在中，，∴，∴AB=4，∴，∴；综上所述，BC的长为或．故答案为：或【点睛】本题主要考查了解直角三角形，利用分类讨论思想解答是解题的关键．5．如图，在中，D为BC上一点，连接，将沿着翻折得到，E点恰好在边上且，若，，则线段___________；【答案】【分析】过作交的延长线于，得到，设，，根据折叠的性质得到，，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：过作交的延长线于，，，，，设，，将沿着翻折得到，，，，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．6．如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AD=6cm，则∠EAD的正弦值为_____．【答案】【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，再根据折叠的方法可得△ABC≌△AEC，△ADF≌△CEF，进而可得到可知AE=AB=8cm,CE=BC=AD=6cm,再设AF=x,则EF=DF=（8-x）cm,在Rt△ADF中利用勾股定理可得，求得AF的长，再通过勾股定理求得DF的长，最后可得结果．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=6cm,∴BC=AD=6cm,∵AB=8cm,∴,矩形纸片沿直线AC折叠，则△ABC≌△AEC，∠E=∠B=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=CE，∠D=∠B=90°，∴∠E=∠D=90°，又∵∠AFD=∠EFC，∴△ADF≌△CEF（AAS），可知AE=AB=8cm,CE=BC=AD=6cm,设AF=x,则EF=DF=（8-x）cm,在Rt△ADF中，，即：，解得x=．∴AF=，∴，∴故答案为：．【点睛】此题主要考查了矩形的性质、折叠的对称性、勾股定理及三角形的全等的性质及解直角三角形，关键是掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．7．如图，以的边上一点O为圆心，为半径的经过B点与交于D点，连接，已知，．(1)求证：为的切线；(2)若，求；(3)设为的平分线，，求的半径．【答案】(1)见解析(2)3(3)【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及切线的判定方法进行解答即可；（2）根据相似三角形的判定和性质，以及即可求出，进而求出；（3）根据角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余以及三角形内角和定理可得，进而求出，再根据相似三角形的性质求出，由勾股定理求出，进而求出半径即可．【详解】（1）∵∴∵是的直径，∴，即又∵∴即∵是的半径，∴是⊙的切线；（2）∵∴，∴∵，∴∴（3）如图，