《第二十八章章末复习》名师教案

第二十八章锐角三角函数本章回顾（刘佳）一、思维导图（按节编写）1．锐角三角函数实际问题数学问题实际问题数学问题解直角三角形数学问题的答案实际问题的答案3．应用举例例1.如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，D为边AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝14.求△ABC的面积． 分析：首先利用正弦的定义设BC＝5k，AB＝13k，可得BC＝CD＝5k，AC=5k+14，然后利用勾股定理求得k的值，再进一步求解．详解：在Rt△ABC中，sinA＝eq\f(BC,AB)＝，设BC＝5k，则AB＝13k，AC=5k+14，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∴BC＝CD＝5k，∴，k＝2或k=(舍)，∴BC=10,AC＝24.∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)×10×24＝120.所以△ABC的面积是120.例2.在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时(即米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A．在如图所示的直角坐标系中，点A位于轴上，测速路段BC在轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在A的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在轴上，AO为其中的一段．(1)求点B和点C的坐标；(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?(参考数据：)(3)若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?分析：（1）已知OA=100米，求B、C的坐标就是求OB、OC的长度，可以转化为解直角三角形；判定是否超速就是求BC的长，然后比较；求两车在匀速行驶过程中的最近距离可以转化为求函数的最值问题，或转化为利用配方法求最值的问题.解：（1）在点拨：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线.二、章末检测题本章回顾（刘佳）（时间：120分钟，满分150分）一、选择题（每小题4分，共48分）1.在直角三角形中，各边的长度都扩大6倍，则锐角A的三角函数值（）A.也扩大6倍B.缩小为原来的C.都不变D.有的扩大，有的缩小答案：C解析：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角A的三角函数值不变．故选C．2.如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于（）A．B．C．D．1答案：A解析：∵∠α是等边三角形的一个内角，∴∠α=60°．∴cosα=cos60°=．故选A．3.Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=6cm，那么BC等于（）A．8cmB．答案：A解析：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=6cm，∴AB=10cm，∴BC==8cm．故选A．4.若∠A是锐角，且sinA=，则（）

A.0°<∠A<30°B.30°<∠A<45°C.45°<∠A<60°D.60°<∠A<90°答案：C解析：5.在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=，且,AB=4,则AD的长为（）A．3B.C.D.答案：B解析：由已知可知：AB=CD=4，∠ADE=∠ECD=α．在Rt△DEC中，cos∠ECD=cosα==35，即=

根据勾股定理得DE=．在Rt△AED中，cosα==，故选B．6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，若tan∠BDC=，则BC的长是（）A．3cmB.4cmC.6cmD.8cm答案：B解析：7.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1:2，AC=米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=20米，则旗杆BC的高度为（）A.米B.6米C.8米D.10米 答案：D解析：8.如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1.2米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）． B．51C．D．101 答案：C解析：设这个电视塔的高度AB为x米，则AG=AB-BG=（x-1）米.在Rt△ACG中，CG=；在Rt△AEG中，EG=；∵CE=100，CE=CG-EG，∴所以这个电视塔的高度AB为（）米.故选C.9.如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则鱼竿转过的角度是()A．90°B．60°C．45°D．15°答案：D解析：∵sin∠CAB=，∴∠CAB=45°．∵sin∠C'AB'=，∴∠C′AB′=60°．∴∠CAC′=60-45=15°，鱼竿转过的角度是15°．故选D.10.如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1:2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上．矩形DEFG为长方形货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m.将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，点D离地面的高约为（）（5≈2.236A．4.2mB.4.4mC.4.5mD.4.6m答案：C解析：∵坡度为i=1：2，AC=4m，∴BC=4×2=8m.作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H，如图所示：∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，∴∠GDH=∠SBH，∴，又∵GD=EF=2m，∴GH=1m，∴DH=，BH=BF+FH=3.5+(2.5-1)=5m.设HS=xm，则BS=2xm，∴x2+(2x)2=52，∴x=5m，∴DS=5+5=25m≈4.5m.故选C．11.如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，AB=4km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线的距离（即CD的长）为（）A.4B．C．D．答案：B解析：在CD上取一点E，使BD=DE，可得：∠EBD=45°，AD=DC，∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，∴∠BCE=∠CBE=22.5°，∴BE=EC，∵AB=2，∴EC=BE=2，∴BD=ED=2，∴DC=2+2.

故选B．12.已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（）A．2BC=3CFB.1+tan∠ADB=C.∠AEB+15°=∠DEFD.8cos∠AGB=答案：B解析：由点E与点B关于AC对称可设AB=AE=x,因为AB⊥AD,所以BE=2x,由点E与点F关于BD对称,可得∠EBD=∠FBD,又∠EDB=∠FBD,所以∠EBD=∠EDB,所以DE=BE=2x,所以AD=x+2x,tan∠ADB=ABAD=xx+x2=2-1,所以1+tan∠ADB=二、填空题（每小题4分，共24分）13．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=______．答案：解析：∵△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=△ABC中，若sinA=，tanB=，则∠C=______．答案：105°解析：由题意得：tanA－1=0，，可得∠A=45°，∠B=30°，则∠C=180°－45°－30°=105°．15.如图所示，人们从O处的某海防哨所发现，在它的北偏东60°方向，相距600m的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇到达哨所东南方向B处，则A、B间的距离是________m．答案：300+3003解析：设AB与坐标轴交于点C，则AC＝600×sin30°＝300，BC＝OC＝600×cos30°＝3003．所以AB＝AC+BC＝300+3003(m)．16.如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为8米，则大树的高约为_______米．（保留一位小数，）答案：17解析：如图，过A作AD⊥BC于D，由已知可得，BC＝10米，∵∠C＝30°，∠ABD＝60°，且∠ABD＝∠C＋∠CAB，∴∠CAB＝30°．∴AB＝BC＝10，在Rt△ABD中，∵sin60∘=，∴AD＝AB×sin60°＝，在Rt△ACD中，∵sin30∘=AD/AC，∴AC＝，∴AC≈10×1.73≈17米，∴这棵大树的高约为17米．17.如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为．答案：解析：过点E作EM⊥DC，如图所示：根据旋转的性质可得AD=AE=5，BD=EC=6，∠BAC=∠DAE=60°.∵AD=AE，∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE=AE=5.设DM=x，在Rt△DEM和Rt△EMC中，由勾股定理可得DE2-DM2=EC2-CM2，即52-x2=62-(4-x)2，解得x=58，∴EM=18.如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，连接AC，且∠ACD=30°，tan∠BAC=，CD=3，则AC=．答案：解析：根据题意作出图形，过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，如图：设AC=x，∵在Rt△CDE中，DC=3，∠DCE=30°，∴DE=，CE=，则AE=x-，在Rt△ADE中，根据勾股定理可得：AD2=AE2+DE2=(x-)2+.∵AB=BC，BH⊥AC，∴AH=.∵tan∠BAC=在Rt△ABH中，勾股定理得到：AB2=AH2+BH2，∴AB2=∵AB=AD，∴三、解答题（共78分）19．（10分）计算（1）EQ\F(1,3)tan30°sin60°＋2cos230°－°；（2）.答案：见解析解析：20．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2EQ\r(3)．点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°，求△ABC的周长.（结果保留根号）答案：见解析解析：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，∴CD=ACtan30°=2，∴AD=4．∴BD＝2AD=8.∴AB=，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=10++2EQ\r(3)．21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BC＝2．(1)如果∠BCD＝30°，求AC；(2)如果tan∠BCD＝EQ\F(1,3)，求CD．答案：见解析解析：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°．∵∠DCB=30°，∴∠B=60°．在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴tan60°=．∵BC=2，∴，则AC=．在Rt△BDC中，tan∠BCD=．设BD=k，则CD=3k，又BC=2，由勾股定理得：k2＋（3k）2=4，解得：k=或k=（舍去）．∴CD=3k=．22．（10分）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为7米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方6米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由．答案：见解析解析：（1）∵新坡面的坡度为1：3，∴tanα=tan∠CAB==，∴∠α=30°．答：新坡面的坡角a为30°；（2）文化墙PM不需要拆除． 过点C作CD⊥AB于点D，则CD=7，∵坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：3，∴BD=CD=6，AD=73，∴AB=AD﹣BD=73﹣7＜6，∴文化墙PM不需要拆除．23．（10分）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向37（1+3）海里的C处，为了防止某国还巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．

答案：见解析解析：如图，作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°．设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，在Rt△ABD中，可得BD=3x，又∵BC=37（1+3），CD+BD=BC，即x+3x=37（1+3），解得：x=37，∴AC=2x=372（海里）．答：A、C之间的距离为372海里．24．（10分）如图，CD是一高为4米的楼房，AB是与CD底部相平的一棵树，在楼房顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从楼房底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β=60°，求树高AB（结果保留根号）.答案：见解析解析：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在Rt△ACF中，tan∠ACF=AFCF，则CF=AFtan∠ACF=xtanα在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x（米），在直角△ABF中，tan∠AEB=ABBF，则BE=AFtan∠AEB=∵CF﹣BE=DE，即3x﹣33解得：x=4+33则AB=4+333+4=答：树高AB是12+3325.（10分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向240千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以20千米／时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响.(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由；(2)若会受到台风影响，那么台风影响城市持续时间多少?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级? 答案：见解析解析：(1)如图，由点A作AD⊥BC于D，则AD就是城市A距台风中心的最短距离，在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=220千米，所以AD=AB=×240=120(千米).由题意知，当点A距台风(12-4)×20=160(千米)时，将会受到台风影响，故该城市会受到这次台风的影响.(2)如图以A为圆心，160为半径作⊙A交BC于E、F．由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响，则AE=AF=160，当台风