第27章 相似【复习课件】

人教版九年级数学下册第27章相似全章整理与复习1.成比例的数（线段）：叫做四个数成比例.那么或若,::cbaddcbadcba==,,,若a、b、c、d

为四条线段，如果（或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、c、d

叫做成比例的线段，简称比例线段.a

cb

d

=其中：a、b、c、d

叫做组成比例的项，a、d

叫做比例外项，b、c

叫做比例内项，比例的性质：bcaddcba=Û=;a∶b=c∶d1.若a,b,c,d成比例,且a=2,b=3,c=4,那么d=

62、下列各组线段的长度成比例的是（）A.2,3,4,1B.1.5,2.5,6.5,4.5C.1.1,2.2,3.3,4.4D.1,2,2,4练习:D2.比例中项：练习：当两个比例内项相等时，即abbc

=，(或a：b=b：c)，那么线段

b

叫做a和c的比例中项.2acb=即：3.黄金分割：ACB练习：◑通过定义◑平行于三角形一边的直线◑三边成比例◑两边成比例且夹角相等◑两角分别相等◑两直角三角形的斜边和一条直角边成比例(三个角分别相等，三条边成比例)4.

相似三角形的判定◑对应角相等、对应边成比例◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比◑周长比等于相似比◑面积比等于相似比的平方5.

相似三角形的性质(1)测高测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)(不能直接测量的两点间的距离)测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.(2)测距6.

相似三角形的应用(1)如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.(这时的相似比也称为位似比)7.

位似(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在一条直线上.(3)

位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.ABGCEDF●PB′A′C′D′E′F′G′A′B′C′D′E′F′G′ABGCEDF●P(4)平面直角坐标系中的位似当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为－k.1.平行线分线段成比例【例1】如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线,DE交AB于点D,连接CD,则CD=(

)A.3 B.4 C.4.8 D.5分析

先根据已知数据判断△ABC的形状,再通过探索DE与BC的位置关系及AD与BD的数量关系,确定CD即为△ABC的中线,最后利用三角形中线的性质计算CD的长即可.解析:∵62+82=102,即BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.∵DE是AC的垂直平分线,∴DE⊥AC,AE=CE,∴DE∥BC,∴AD∶BD=AE∶CE=1,∴AD=BD,∴CD是Rt△ABC斜边上的中线,∴CD=×10=5,故选D.答案:D点拨

若已知中有平行线,求两条线段的比,常常考虑应用平行线分线段成比例的性质求解.应用该性质时,要看清平行线组,找准对应线段.答案解析解析关闭答案解析关闭2.三角形相似的判定方法【例2】如图,BC⊥AF,FD⊥AB,垂足分别为C,D,则图中共有

对相似三角形.

解析:观察题图,我们可以发现,图中有4个直角三角形,它们是Rt△ABC,Rt△ADF,Rt△EDB,Rt△CFE.这四个直角三角形每两个之间都相似,所以一共有6对三角形相似,分别是:△ABC∽△EBD,△ABC∽△AFD,△ABC∽△EFC,△AFD∽△EBD,△AFD∽△EFC,△EBD∽△EFC.答案:6点拨

在复杂图形中辨认相似三角形时,要着重抓住图形的特征,如本题先找相等的角,再判定.跟踪训练2.如图,在下列每个图形中,存不存在相似的三角形?如果存在,把它们用字母表示出来,并简要说明识别的根据.解:

(1)△ADE∽△ABC,根据∠A=∠A,∠ADE=∠ABC=50°即得.(2)△ADE∽△ACB,根据∠A=∠A,∠AED=∠ABC=70°即得.(3)△CDE∽△CAB,根据∠C=∠C,∠CDE=∠CAB=90°即得.3.相似三角形的性质【例3】如图,AD=DF=FB,DE∥FG∥BC,则S1∶S2∶S3=

.

解析:∵DE∥FG∥BC,∴△ADE∽△AFG∽△ABC.又AD=DF=FB,∴AD∶AF∶AB=1∶2∶3.答案:1∶3∶5跟踪训练

3.已知△ABC的三边长分别为5,12,13,与其相似的△A'B'C'的最大边长为26,求△A'B'C'的面积S.

答案解析解析关闭答案解析关闭4.相似三角形的实际应用【例4】如图,有一批形状大小相同的不锈钢片,呈直角三角形.已知∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,试设计一种方案,用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片,并求出这种正方形不锈钢片的边长.分析

要在三角形内裁出面积最大的正方形,那么这个正方形所有顶点应落在△ABC的边上,先画出不同方案,再把每种方案中的正方形边长求出.解:如图甲,设正方形EFGH的边长为x

cm,由勾股定理得AC=4

cm.点拨

根据相似的性质进行计算或推理.解决实际问题时,首先要弄清题意,把实际问题抽象为数学问题,然后利用已学知识解决.在解决实际问题时,常常是多种知识的合理运用,因此要联系已学知识,做到融会贯通.跟踪训练4.如图,小明为了测量一座高楼MN的高,在离点N20m的A处放了一个平面镜,小明沿NA后退到点C,正好从镜中看到楼顶M.若AC=1.5m,小明的眼睛离地面的高度为1.6m,请你帮助小明计算一下楼房MN的高度.(精确到0.1m)答案答案关闭∵BC⊥CA,MN⊥AN,∠BAC=∠MAN,∴△BCA∽△MNA.∴MN∶BC=AN∶AC,即MN∶1.6=20∶1.5.∴MN=1.6×20÷1.5≈21.3(m).5.位似【例5】一般室外放映的电