专题03三角函数的图象与性质（考点清单8个题型解读）（原卷版）

清单03三角函数的图象与性质（8个题型解读）【考点题型一】用“五点法”作三角函数的图像1.用五点法作函数y＝sinx的图像的步骤(1)列表，由x＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π求出y的值，得到“五点”坐标．(2)在同一坐标系中描出各点．(3)用光滑曲线连接这些点，所成图像即为所求．2.用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的注意点(1)用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，五个点应是同一个周期内使函数取得最大值、最小值的点以及曲线与x轴相交的点．(2)画y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，将ωx＋φ看成整体，要把握好五个关键点，即令ωx＋φ＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，计算出x的值，即为五个点的横坐标，相应的函数值即为五个点的纵坐标．3.函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像的画法(1)五点法列表如下：x－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π,ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π,ω)－eq\f(φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Acos(ωx＋φ)A0－A0A(2)图像变换法由y＝sinx→y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换过程，可以得到y＝cosx→y＝Acos(ωx＋φ)的图像变换也有先平移后伸缩和先伸缩后平移两种途径．【例1】．（2324高一下·广东珠海·阶段练习）已知函数.

(1)求的最小正周期；(2)在给定的坐标系中用五点法作出函数的简图.【变式11】．（2324高一下·北京怀柔·期中）已知函数满足.(1)求的值；(2)用五点法画出函数在一个周期上的图象；(3)根据（2）得到的图形，写出函数的图象的对称轴方程与对称中心的坐标.【变式12】．（2223高一下·北京延庆·期中）已知函数．(1)写出决定在上形状的关键的五个点，在答题卡上完成下表：0200(2)求与的交点坐标；(3)若对对任意都有成立，求实数的取值范围．【变式13】．（2223高一下·内蒙古呼和浩特·期中）设函数的最小正周期为.且.

(1)求和的值；(2)列表并填入数据，在给定坐标系中作出函数在上的图象；(3)当时，若，求的取值范围.【考点题型二】判断三角函数的奇偶性函数奇偶性的判断方法(1)看函数的定义域是否关于原点对称．(2)看f(x)与f(－x)的关系．【例2】．（2324高一上·浙江温州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式最有可能是（

）

A． B．C． D．【变式21】．（2223高一下·上海嘉定·期中）函数（其中）为奇函数，则；【变式22】．（2324高一下·上海·期中）已知函数（）是偶函数，则的最小值是．【变式23】．（2324高一上·浙江宁波·期末）已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（

）A．2 B．6 C．10 D．14【考点题型三】三角函数的对称性正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.通过该类问题，培养直观想象的核心素养．【例3】．（2324高一下·上海·期中）设函数的一个对称中心是，则．【变式31】．（2324高一下·湖北武汉·期中）下面关于函数叙述中正确的是（

）A．关于直线对称B．关于点对称C．在区间上单调递减D．函数的零点是【变式32】．（2324高一上·广东深圳·期末）记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（

）A．1 B． C． D．3【变式33】．（2324高一下·江苏常州·期中）已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为．【变式34】．（2324高一上·广东深圳·期末）已知函数（其中）.为的最小正周期，且满足.若函数在区间上恰有一个最大值一个最小值，的取值范围是.【变式35】．【多选】（2324高一下·四川达州·期中）已知函数，恒成立，且在区间上单调，则（

）A．是偶函数 B．C．只能为奇数 D．的最小值为1【考点题型四】三角函数的单调性及应用利用正弦函数单调性比较大小的步骤(1)一定：利用诱导公式把角化到同一单调区间上．(2)二比较：利用函数的单调性比较大小．【例4】．（2324高三上·北京·期中）下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（

）A． B． C． D．【变式41】．（2223高一下·北京延庆·期中）设，，，则A． B． C． D．【变式42】．（2324高三上·河北沧州·期中）已知函数的一个对称中心为，若函数在上单调递减，则可取（

）A． B． C．1 D．2【变式43】．（2324高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知，函数在上单调递减，则实数的取值可以是.（填写一个正确答案即可）【变式44】．（2324高一下·上海·期中）若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是.【变式45】．【多选】（2324高三下·江西·阶段练习）已知函数，则（

）A．在区间上单调递增 B．对C．关于点对称 D．将的图象向左平移个单位长度，所得到的函数是偶函数【考点题型五】求三角函数的值域或最值1.与正弦函数有关的函数的值域(或最值)的求法(1)求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．(2)求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值．求解过程中要注意正弦函数的有界性．2.与余弦函数相关的值域(最值)问题的解法(1)对于y＝acosx＋b的形式，借助余弦函数的有界性|cosx|≤1求解．(2)对于y＝Acos(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的形式，采用整体代换法求解，令ωx＋φ＝t，借助y＝cost的图像及性质求解，注意x的取值范围对t的影响．(3)对于y＝eq\f(acosx＋b,ccosx＋d)的形式，采用分离常数法或反解出cosx，再利用余弦函数的有界性求解．(4)对于y＝acos2x＋bcosx＋c的形式，利用二次函数的有关知识求解．【例5】．（2324高一上·湖北武汉·期末）已知，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【变式51】．（2324高一下·北京怀柔·期中）函数的值域为.【变式52】．（2324高三上·河北石家庄·期中）已知函数，，若函数的值域为，则.【变式53】．（2324高一下·福建莆田·期中）函数，的值域为．【考点题型六】三角函数性质、图像的应用函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质名称性质定义域R值域[－A，A]对称性对称中心(x1,0)有ωx1＋φ＝kπ(k∈Z)，对称轴x＝x2有ωx2＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)奇偶性当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时为偶函数单调性通过整体代换可求出其单调区间【例6】．（2324高一下·上海·期中）如图是函数的部分图象，其中点在轴上且过点的竖直线经过图象的最高点，是图象上一点，是线段与图象的交点，且，则点的纵坐标是．【变式61】．（2324高一下·上海·期中）已知函数在区间上有且仅有5个零点，则的取值范围是．【变式62】．（2324高一上·山西太原·期末）已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为.【变式63】．（2324高三上·辽宁丹东·期中）函数，在上恒有4个零点，则的值为．【变式64】．（2324高一上·江苏·期末）设函数是定义在R上的奇函数，满足，若，，则实数t的取值范围是【考点题型七】三角函数的图像变换三角函数的图像变换问题的分类及解题策略(1)已知两个函数解析式判断其图像间的平移或伸缩关系时，首先将解析式化简为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，即确定A，ω，φ的值，然后确定平移的方向和单位或伸缩的量．(2)确定函数y＝sinx的图像经过变换后图像对应的函数解析式，关键是明确左右平移的方向和横纵坐标伸缩的量，确定出A，ω，φ的值．【例7】．（2324高一上·浙江·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有的点（

）A．向左平移1个长度单位 B．向右平移1个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位【变式71】．（2324高一下·江苏常州·期中）将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若在函数的图象上，则（

）A．，的最小值为 B．，的最小值为C．，的最小值为 D．，的最小值为【变式72】．（2324高二下·上海·期中）设函数，若将的图象向左平移个单位长度后在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式73】．（2021高三上·吉林·期中）已知曲线C1：，C2：，则错误的是（

）A．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动个单位长度，得到曲线C．把向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线D．把向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线【变式74】．【多选】（2024·贵州安顺·一模）已知函数，若把函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于原点对称，则（

）A．B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递减D．函数在上有2个零点【变式75】．（2223高一下·辽宁鞍山·期中）设，函数的最小正周期为π，且图象向左平移后得到的函数为偶函数．(1)求解析式．(2)若，求在上的单调递增区间．【考点题型八】由图像求解析式确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的策略(1)一般可由函数图像上的最大值、最小值来确定|A|.(2)因为T＝eq\f(2π,ω)，所以往往通过求周期T来确定ω.(3)可以从寻找“五点法”中的第一个“零点”ωx＋φ＝0作为突破口，要从图像的升降情况找准第一个“零点”的位置来确定φ.也可以从相邻的最高点的ωx＋φ＝eq\f(π,2)或最低点的ωx＋φ＝eq\f(3π,2)来求解φ.【例8】．（2324高一下·湖北武汉·期中）函数的部分图象如图，则（

）A． B． C．1 D．【变式81】．（2324高一下·河南南阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【变式82】．（2024·山西长治·一模）已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则