江苏省南通市如东县2023-2024学年高一年级下册期中学情检测数学试卷（含答案解析）

江苏省南通市如东县2023-2024学年高一下学期期中学情检测

数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列命题正确的是()

A.单位向量都相等B.任一向量与它的相反向量不相等

C.平行向量不一定是共线向量D.模为0的向量与任意非零向量共线

2.若三角形ABC中。=3,A=60。，3=45。，则边6的值为()

A.0B.-J3C.V6D.3

JT

3.在.ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,^a=2,b=3,C=—,则,ABC的面

积为()

A.3A/3B.至C.—D.逋

233

4.已知J^sina=cos(g■—a),贝［jtan2a=().

A.—B.C.-V3D.0

33

5.如图，在平行四边形A3CD中，M为A5的中点，AC与DM交于点。，则=()

B.OM=-AB--AD

6333

C.OM=-AB--ADD.OM=-AB--AD

2243

6.已知巴〃£(。弓,

COS(6Z-；0)=—,tana♦tanJ3=—,贝|。+夕=()

64

71712兀

A.-B.一C.—D.

346T

7.已知中的边A8=2,8C=2百,NB=30。，若尸为边3c上的动点，则AP-(AB+AC)

C.2币）

8.在一AO3中，已知口目=&,|M卜1,ZAOB=45°,^OP=WA+juOB,且彳+2〃=2,

〃e[0』],则04在。户上的投影向量为(e为与。尸同向的单位向量)，则根的取值范围

是()

、多选题

9.下列等式成立的有(

A.sin275-cos275=^~

—sin15+——cos15=——

2222

sin15-cos156

sin15+cosl5

10.下列说法中错误的为()

A.已知。=(1,2),人=(1,1),且a与°+助夹角为锐角，则彳]-|,+，|

B.点。为.vABC的内心，且(OB-OC).(O3+OC-2O4)=0,则ABC为等腰三角形;

C.两个非零向量4,6,若|o-b|=|a|+|b|,则&与b共线且反向

D.若非零向量4万满足|a|=|万|=|4-〃|,则a与“的夹角是60°

11.已知,ABC三个内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且c=2,贝ij()

A.bcosA+acosB=\/2

,,uuuuuui,I.|2I|2

B.若CA.C3<0,则倒+倒<4

JT

C.若/C=g，贝IASC周长的最大值为6

7rccqR

D.若NC=w，-7的取值范围为(指,+8)

3cosA

三、填空题

12.设a为锐角，若cos(c+g]=j,贝ljsina=.

试卷第2页，共4页

13.已知ABC中，角A,8,C所对的边分别为a,6,c,a=l/=2,cosC=L2iJsinA=

4

14.如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边自。4上有10个不同

的点，P„P2,...,Pwi记/=鬲•通«=1,2,3,…,10),若州+吗+…+S。=180,则等边三角

形的边长为.

四、解答题

15.已知向量2=(-3,2),1>=(1,m),且〃与c=(2,l)共线.

(1)求加的值；

(2)若加"与垂直，求实数％的值.

16.已知a,夕为锐角，tana=g,cos(a+/?)=-g.(1)求cos2a的值；(2)求tan(c-6)

的值.

17.已知在ASC中，NA,NB,NC所对的边分别为a,b,c,

m=(a+c,a-b),n=(sinB,sinA-sinC),且〃？〃〃.

(1)求角C的大小；

(2)。为A8中点，若△ADC的面积等于*,求ABC的周长的最小值.

18.已知/(x)=6sinxcosx-cos2%+g，

(1)若xe0,—,/(x)=—,求cos2x的值；

_4j3

(2)在三角形ABC中，若/(A)=l,求sinB+sinC的最大值；

(3)若关于x的不等式/Qx+胃+/(x)-2W。在(若上恒成立，求实数a的取值范围.

19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三

角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给

出了解答，当，ABC的三个内角均小于120。时，使得/403=/30。=/。。4=120。的点。

即为费马点；当.ABC有一个内角大于或等于120。时，最大内角的顶点为费马点.试用以上

知识解决下面问题：已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为。，6,。，且设点尸为一ABC

的费马点.

⑴若/+=3,2sin2sin[C+；]=若sinA.

①求角8；

@^PAPB+PBPC+PCPA-

⑵若cos25+cos2C-cos2A=1,IPBI+1PC\=t\PA\,求实数f的最小值.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.D

【分析】根据单位向量、零向量、共线向量的定义判断即可.

【详解】对于A：单位向量大小相等都是1,但方向不一定相同，故单位向量不一定相等,

故A错误；

对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误.

对于C：平行向量一定是共线向量，故C错误；

对于D：模为。的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故D正确；

故选：D.

2.C

【分析】直接利用正弦定理求解.

【详解】在三角形ABC中，。=3,A=60°,3=45。,

由正弦定理得：一三b

sinAsinB

Qsin53xsin45

所以6=二46,

sinAsin60

故选：C

【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

3.B

【分析】利用三角形的面积公式可得答案.

【详解】由题意可得，ABC的面积为S=LbsinC=L2x3x3=々8.

2222

故选：B

4.D

【分析】综合应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式即可解决.

【详解】由百sina=cos（；—a）=！cosa+^^sina,即^^sina=』cosa,

32222

2A/3

可得tana=立，由正切的倍角公式可得tan2a=白=道.

3I-1-

3

故选：D.

5.A

【分析】设AO=xAC,贝。AO=xAC=x（A8+Ar>）=2xAM+xAr>,再根据三点共

答案第1页，共13页

线可求得X,再根据平面向量的线性运算结合图形即可得出答案.

【详解】解：设AO=xAC，

贝(JAO=xAC=x^AB+AD^=2xAM+xAD,

因为O,RM三点共线，

所以2x+x=l,解得x

贝ljA0=xAC=!A3+』A。

33

所以=+

33263

故选：A

6.A

【分析】利用两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到方程组，即可求出sincsin^、

cosacosJ3,再求出cos(a+0即可.

【详解】因为cos3—0=2，tan6Z-tany0=—,

'/64

cosacos/+sinasin/=—

所以..一6,

sinasmp

cosacos[34

.2

coscrcosP=—

解得；，

sincrsin/?=—

所以cos(a+〃)=cosacos/?—sinasin0=；,

又/匹/鼻，所以a+/e(O,7i),所以a+尸=[.

故选：A

7.B

【分析】利用基底表示出AP，结合数量积的运算可得答案.

【详解】设BP=/18C,贝！lA尸=BP-BA=；LBC-BA，AB+AC=BC-2BA,

所以4尸•(AB+AC)=(XBC—BA)•(BC-2BA)

.2...2

=2BC"-(22+l)BC-BA+2BA

答案第2页，共13页

因为AB=2,BC=2b,N3=30。，所以=2百x2x型=6,

2

所以AP(AB+AC)=124-6(22+1)+8=2.

故选：B

8.B

【分析】先利用余弦定理求出49=1,进而得到A0_LA8,求出。40尸=2-〃,

OAOP2—〃

。尸=(/lOA+〃OB『=2储_4〃+4,从而得至I]m=­；----；—，换元后求出m

OP-4〃+4

的取值范围.

【详解】由余弦定理得cosNAO8=AO:+°B2-=A。2；2-1♦立

2AOOB2V2AO2

解得49=1,

AO2+BO2=AB2,由勾股定理逆定理得AO_LA8,

OA-OP=OA-^OA+juOB^=WA+yOAOB=2+//|OX|-|OB|COS45°=?1+〃,

贝！!OP2=(2OA+〃0B)2=A2OA2+2MOA•08+〃?0娟=方+22〃+2〃？，

因为?l+2〃=2,//e[O,l],所以040尸=2-2〃+〃=2-〃，

凉二卜04+〃08『=Z+2M+2〃2=(2_2〃『+2(2_2〃)〃+2〃2=2〃2_便+4,

OA-OPOAOP2-〃

。4在8上的投影向量为"R故山=0=力"2-4〃+“

tt1

2

令2=re[L2],贝U^2(2-r)-4(2-r)+442r-4t+41_1+2'

令/⑺=怖-；+2=4卜J+1，

因为所以;e1,1,故当;=：时，/⑺晶=1，

答案第3页，共13页

当;=1时，〃r)a=2,/⑺目1,2],

故选：B

9.AC

【分析】对于A,逆用倍角余弦公式即可判断；对于B,利用辅助角公式即可判断；对于C,

5兀

tan—]s

利用辅助角公式即可判断；对于D,逆用倍角正切公式可得——^=-tan-^,再用和

1-tan2-212

24

角正切公式即可判断.

【详解】对于A,sin275-cos275=-cos150。=cos30。=——，A正确;

2

对于B,—sinl5T———cosl5=cos60°sin15+sin60°cos15=sin75°——,B错误;

222

J.

sinl5-cosl5_sin(15°-45°)_sin30°_2_6

对于C,sin15+cos1572sin(15o+45°)sin60°J33C正确;

~2

5兀

tan——

对于D,24

i2571

1—tan—

24

7171

1tan—Ftan—

_1、，462+V3

——x---------------------------D错误.

21-,tan—兀x+ta兀n—2

46

故选：AC

10.AD

【分析】对于A、C和D,利用向量夹角公式和向量的模的运算，即可求得；对于B,根据

向量的加法和减法运算以及向量的模的运算即可求得.

【详解】对于A,a+^=(l,2)+A(l,l)=(l+A,2+A),。与"+助夹角为锐角，

所以a-(a+X6)=l+X+2(2+/l)=3/l+5>0,贝i]2>—；，

当“与a+助同向共线时，久=。，则当。与4+,夹角为锐角时，且彳*0,

答案第4页，共13页

所以-；,o[“O,+s),故A错误;

对于B,(OB-OC)(OB+OC-2OA)=CB(OB-OA+OC-OA)

=CB(AB+AC)=(AB-AC).(AB+AC)=AB-AC=0<贝1网=|闵，

所以ABC为等腰三角形，故B正确；

对于C,|。-切=|°|+|6|,两边平方得标+62-2.m=|。|2+|6『+2|“|叫，

所以5.力=-|5||力即a•石=|山小05<7,石=-|矶司，贝｝|cosa,6=-1,

所以a,b=180,则a与b共线且反向，故C正确.

对于D,|a|=|b|=|a-6],两边平方得14『=出『=|4一]看卷+疥一24%=2价一24石,

则2a•6=|a『，ab=

22

yja2+b~+2<7-b=\!2a2+2a-b=J2a2+a2=^3,

cos(a,a+b)=色

+b\同•用《

因为+b£[0,兀],所以故D错误.

故选：AD.

11.BC

【分析】由余弦定理化简判断选项A；由向量夹角结合余弦定理判断选项B；利用余弦定理

和基本不等式即可求解周长的最大值判断选项C;三角恒等变换得W=-:+半tanA,结

cosA22

CQQR

合A的取值范围即可得到上兰的取值范围判断选项D.

22

kr_〃2/2_

【详解】由余弦定理得Z?cosA+〃cos5=b---------------+a----------------=c=2,A选项错误;

2bclac

uuuULUL._i_——

右CACBvO,贝iJcosCv。，由余弦定理cosC=———-----<0,

^a2+b2<c2,所以有|以『+「8『=/+/<°2=4,B选项正确；

若/C=g,c=2,由余弦定理得cosC="一十4=解得/+62=4方+4,

3lab2

所以(a+6)2=3H>+4V3x(审)+4,解得a+b<4,当且仅当。=6=2时等号成立,

答案第5页，共13页

则周长/=a+Z?+c<4+2=6,所以ABC周长的最大值为6,故C选项正确;

2兀“.2K..

若/。=三，c=2,cos5cos——cosA+sin——sinA

33二+一，

cosAcosAcosA22

由cosB的取值范围为；,+oo],

Ae(o,g,得tanA8,—A/5)u(0,+8),因此

cosA

D选项错误.

故选：BC.

124百-3

~10

【分析】将sin。变形为sinL+再用正弦两角差的公式求解.

【详解】因为a为锐角，由cos[a+|^=|,得sin[+专1=3,

..(7171一LtA/34134石一3

sina=sina-\--=——sin夕+看-------X------------X—=-----------------

I6~62252510

故答案为：亚二1.

10

13.叵

8

【分析】利用余弦定理求出。，再利用正弦定理求解即得.

【详解】在ABC中，a=i,b=2,cosC=—,则sinC=Jl-cos。C=,

44

由余弦定理得c=da2+b。-2abcosC=Jl+4-2xlx2x^-=2,

由正弦定理得二=二一，所以sinA=竺@C=姮.

sinAsinCc8

故答案为：晅

8

14.下

【分析】建立坐标系，求出直线岛C’的方程，利用坐标法表示数量积即可求解.

【详解】以A为坐标原点，A。所在直线为x轴建系，如图所示:

设等边三角形边长为。,

答案第6页，共13页

可得：B2(^a,^-a)，，Q(4a,0),

—Q~—k+b立刀/日k=—v3

设直线反。4的方程为：y=kx^b,则有＜22，解得＜

b=46a

0=4ak+b

直线34c4的方程为：y=-y/3(x-4a),

可设：月(七，％),则有6七+y=4点a,

1

即有：mi=AB2-APt=aXj+ayt=a(^3xi+yj)-6ay

，叫+叫+…+叫0=612、10=180,解得〃=若(负舍)

故答案为：布.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立合适的直角坐标系，得出相关点的坐标，则得到直

线&Q的方程为：y=-g(x-4a),最后得到％=6〃，代入计算即可.

15.(1)m=4,(2)Z=-3.

【分析】(1)^-a=(4,m-2),然后利用6一°与°共线求出答案即可

(2)利用数量积的相关知识直接计算即可.

【详解】(1)b-a=(4,m-2)

因为6%与]共线，所以4xl-2(祇-2)=0,

解得根=4.

(2)由⑴知5=(1,4),所以时=AMW=&7,G6=-3X1+2X4=5

由a-%〃与2。一6垂直，^^a-Aby[2a-b^=2a-(l+2A)a-b+Ab=0,

所以26-5(1+2X)+172=0,

解得—3.

【点睛】本题考查共线向量、向量的坐标运算以及向量的数量积，属于基础题.

72

16-⑴一,；⑵F

【详解】分析：先根据同角三角函数关系得cos?a,再根据二倍角余弦公式得结果；(2)先

根据二倍角正切公式得tan2a,再利用两角差的正切公式得结果.

答案第7页，共13页

详解：解：(1)因为tana=—,tana=Sma,所以sina=—cosa.

3cosa3

9

因为siYa+cos2a=1,所以cos?。=石,

7

因此，cos2cr=2cos20—1=------.

25

(2)因为a,夕为锐角，所以1+/£(0,兀).

又因为cos(a+/?)=-(^,所以sin(a+尸)=一cos?(a+/),

因止匕tan(a+/)=-2.

因为tancr=一，所以tan2cr=--------厂=---

31—tan2a7

tan2a-tan(a+£)2

因止匕，tan(<z-/?)=tan[26z-(6z+；0)]=

l+tan2atan(a+尸)11

点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幕与降

幕”等.

(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法

通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.

八兀

17.(DC、

⑵6

【分析】(1)先利用向量平行的坐标公式列式，然后利用正弦定理和余弦定理求解;

(2)先根据面积关系求出必=4,然后利用基本不等式求出a+人的最小值，再利用余弦定

理求出。的最小值，贝LABC的周长的最小值可求.

【详解】(1)'：m//n,

.，.(a+c)(sinA-sinC)=sinB(a-b),

由正弦定理'\=刍=一=得(a+c)(a-c)=b(a—6),

sinAsinBsinC

/.ct~+Z?2—c?=ab,

..cosC=i"=L

2ab2

答案第8页，共13页

TT

.Ce(O,兀)，.-.C=-;

(2)依题意SABC=2SMC，即=•.劭=4,

所以〃+Z?2=4,当且仅当a=b=2时取等号，

又由余弦定理得/=tz2+Z?2-labcosC=a2+b2—ab>ab=4

.*.c>2,当且仅当a=b=2时取等号，

所以ABC的周长最小值为6.

18.(1)也一心

26

⑵G

【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简/（X）,再利用角的变换即可求解；

（2）由条件先求角A,再求出角3的范围，利用三角恒等变换化简转换sinB+sinC,结合角

3的范围，即而求解最大值；

（3）由题意把+转化为1-2尸（x）,利用换元法及基本不等式求解即可.

［详解】（1）y（x）=5/3sin%cosx-cos2x+—=-^-sin2x--5-cos2x=sinflx-—1,

222I6J

因为XE0,—,/（%）=—,所以2%一二£,sin（2x—三］二且，

4j36|_63」l6j3

所以cos12x—,

兀、71.(兀).兀

=cos2x---cos----sin2x---sin—

6J6I6

~26~

(2)由由A)=sin=1,

而OVAVTI,可得2A——=—,即A=w，

623

答案第9页，共13页

所以sin3+sinC=sinB+sin[事-BJ=^-sinBH•-cos5二百sin,

因为0<3<g,所以++

则告■<5/^11(3+V)石，

IT

故当3=耳时，sin3+sinC取最大值，最大值为

(3)由(1)可知

尤+《)=sin[2(2尤+弓)一己=sin^4x+^=sin2(2彳一看]+方

=cos2(2x一eJ]=l-2sin2^2x-^=l-2/2(x),

(TTTTTTITt71I1

令t=f(x),因为xe|]，w,所以2X-NTN，不,从而止匕,1,

贝IJ/12x+Fj+4(x)-22O即为：1一2』+0一240在/€(3，1上恒成立，

2产+11fl

所以在。4上==2f+1在％彳,1上恒成立，

tf12」

又2/+2261=20,当且仅当/=当时等号成立.

所以aW2夜，即实数。的取值范围为卜s，28].

713

19.(1)①8=4；②-亍

⑵2+26.

【分析】(1)①利用两角和的正弦公式得到sin8sinC=WsinCcosB,即可求出tan3,从

而得解；②利用余弦定理求出洸,利用等面积法求出IPA|•|PB|+|PB|.|PC|+|PA|-|PC|,

再根据数量积的定义计算可得；

JT

(2)利用二倍角公式及正弦定理得到°2=k+°2,则4=5,设

\PB\=m\PA\,\PC\=n\PA\,\PA\=x,m>0,n>0,x>0,则加+〃=r,再利用余弦定理得到

m+n+2=nm,再利用基本不等式计算可得.

答案第10页，共13页

【详解】⑴①因为2sinBsinC+1=2sinB

=sinBsinC+^3sinBcosC,

^3sinA=^3sin(B+C)=A/3sinBcosC+百cosBsinC,

所以sin8sinC+百sinBcosC=6sinBcosC+y/3cos8sinC,

即sin3sinC=J5sinCcos5.