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圆锥曲线中的最值和范围问题【例5】长度为（）的线段的两个端点、分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且（为常数且）．（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹类型；（2）当=2时，已知直线与原点O的距离为，且直线与轨迹有公共点，求直线的斜率的取值范围答案：(1)设、、，则，由此及，得，即（*）①当时，方程（*）的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆．②当时，方程（*）的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆．③当时，方程（*）的轨迹是焦点为以O点为圆心，为半径的圆．（2）设直线的方程：，据题意有，即．由得．因为直线与椭圆有公共点，所以又把代入上式得：．【例6】椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，其离心率,过点C（－1,0）的直线与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量的比为2.（1）用直线的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积；（2）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。解：（1）设椭圆E的方程为(a＞b＞0)，由e=∴a2=3b2故椭圆方程x2+3y2=3b2设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（－1，0）分向量的比为2，①②∴即①②由消去y整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）,B(x2,y2)两点得：③④⑤③④⑤而S△OAB⑤由①③得:x2+1=－，代入⑤得：S△OAB=（2）因S△OAB=,当且仅当S△OAB取得最大值此时x1+x2=－1,又∵=－1∴x1=1,x2=－2将x1,x2及k2=代入④得3b2=5∴椭圆方程x2+3y2=5【例7】设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，若试求的取值范围.解：当直线垂直于x轴时，可求得;当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得解之得因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，，，所以＝＝＝.由，解得，所以，综上.【例8】我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，．如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆”与，轴的交点，是线段的中点．若是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；（2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点．求证：当取得最小值时，在点或处；（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．解：（1），，于是，所求“果圆”方程为，．（2）设，则，，的最小值只能在或处取到．即当取得最小值时，在点或处．（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．．当，即时，的最小值在时取到，此时的横坐标是．当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．

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