高考数学专题 导数及其应用讲学案原卷

【2016考纲解读】高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．预测2016年高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查．【重点知识梳理】1．导数的定义f′(x)＝eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．3．导数的运算(1)基本初等函数的导数公式①c′＝0(c为常数)；②(xm)′＝mxm－1；③(sinx)′＝cosx;④(cosx)′＝－sinx；⑤(ex)′＝ex;⑥(ax)′＝axlna；⑦(lnx)′＝eq\f(1,x)；⑧(logax)′＝eq\f(1,xlna).(2)导数的四则运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；③[eq\f(fx,gx)]′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x).4．函数的性质与导数在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．【高频考点突破】考点一导数的几何意义例1、(1)抛物线x2＝eq\f(1,2)y在第一象限内图象上一点(ai,2aeq\o\al(2,i))处的切线与x轴交点的横坐标记为ai＋1，其中i∈N*，若a2＝32，则a2＋a4＋a6等于()A．64B．42C．32D．21(2)直线l：y＝kx与曲线C：y＝x3－3x2＋2x切于点P(x0，y0)(x0≠0)，则k＝________.【规律方法】1．求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程．(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．2．已知切线求参数问题利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解．考点二利用导数研究函数的单调性例2、(1)若函数f(x)＝x2＋ax＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函数，试求a的取值范围．(2)已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)．①若a≠0，则a，b满足什么条件时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)在x＝0处总有相同的切线？②当a＝1时，求函数h(x)＝eq\f(gx,fx)的单调递减区间．【规律方法】1．求函数的单调区间的“两个”方法(1)①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)；③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．(2)①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．2．已知函数y＝f(x)在(a，b)上的单调性，求参数的范围的方法(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题求解：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”．考点三利用导数研究函数的极值和最值例3、(1)若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2,2]上的最大值为20，则它的最小值是________．(2)已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．①求a和b的值；②设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．【规律方法】研究极值、最值问题应注意的三个关注点(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后需作进一步的分析，切莫武断．(2)求函数的最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．(3)含参数时，要讨论参数的大小．考点四利用导数研究方程根的问题例4、已知函数f(x)＝ex，x∈R.若x>0，试讨论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m>0)公共点的个数．【规律方法】1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程解的个数问题的一般思路(1)将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题．(2)利用导数研究出该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象．(3)结合图象求解．2．证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步：利用导数证明该函数在该区间上单调．第二步：证明端点值异号．考点五利用导数解决不等式问题例5、已知函数f(x)＝ax－1－lnx(a∈R)．(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．【规律方法】1．利用导数解决不等式恒成立问题的两种常用方法(1)分离参数法：第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题．第二步：利用导数求该函数的最值．第三步：根据要求得所求范围．(2)函数思想法：第一步：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题．第二步：利用导数求该函数的极值(最值)．第三步：构建不等式求解．2．利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形．(2)构造新的函数h(x)．(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．3．构造辅助函数的四种方法(1)移项法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)．(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．(3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x))．(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数．考点六利用导数解决生活中的优化问题例6、某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元．(π为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．【规律方法】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．(2)求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)求最值；比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．(4)作答：回归实际问题作答．【经典考题精析】【2015高考福建，文12】“对任意，”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【2015高考湖南，文8】设函数，则是()A、奇函数，且在（0,1）上是增函数B、奇函数，且在（0,1）上是减函数C、偶函数，且在（0,1）上是增函数D、偶函数，且在（0,1）上是减函数【2015高考安徽，文21】已知函数（Ⅰ）求的定义域，并讨论的单调性；（Ⅱ）若，求在内的极值.【2015高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数，．（I）求的单调区间和极值；（II）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．【2015高考湖北，文21】设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中e为自然对数的底数.（Ⅰ）求，的解析式，并证明：当时，，；（Ⅱ）设，，证明：当时，.【2015高考山东，文20】设函数fx=x+alnx，g(x)=（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在自然数，使得方程QUOTEfx=gx在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数QUOTEmx=min⁡{fx,g(x)}（表示，中的较小值），求的最大值..y=f(x)1．（2014·陕西卷）设函数f(x)＝lnx＋eq\f(m,x)，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－eq\f(x,3)零点的个数；(3)若对任意b＞a＞0，eq\f(f（b）－f（a）,b－a)＜1恒成立，求m的取值范围．2．（2014·安徽卷）设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．3．（2014·北京卷）已知函数f(x)＝2x3－3x.(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论)4．（2014·福建卷）已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x＞0时，x2＜ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.5．（2014·广东卷）曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．6．（2014·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋eq\f(b,x)(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．7．（2014·江苏卷）已知函数f0(x)＝eq\f(sinx,x)(x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.(1)求2f1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＋eq\f(π,2)f2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))的值；(2)证明：对任意的n∈N*，等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(nfn－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＋\f(π,4)fn\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))))＝eq\f(\r(2),2)都成立．8．（2014·全国新课标卷Ⅰ]设函数f(x)＝alnx＋eq\f(1－a,2)x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x0≥1，使得f(x0)＜eq\f(a,a－1)，求a的取值范围．9．（2014·山东卷）设函数f(x)＝alnx＋eq\f(x－1,x＋1)，其中a为常数．(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性．10．（2014·四川卷）设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．(1)证明：数列{bn}为等比数列；(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－eq\f(1,ln2)，求数列{anbeq\o\al(2,n)}的前n项和Sn.11．（2014·福建卷）已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x＞0时，x2＜ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.12．（2014·广东卷）曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．13．（2014·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋eq\f(b,x)(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．14．（2014·江苏卷）已知函数f0(x)＝eq\f(sinx,x)(x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.(1)求2f1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＋eq\f(π,2)f2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))的值；(2)证明：对任意的n∈N*，等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(nfn－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＋\f(π,4)fn\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))))＝eq\f(\r(2),2)都成立．15．（2014·全国新课标卷Ⅰ]设函数f(x)＝alnx＋eq\f(1－a,2)x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x0≥1，使得f(x0)＜eq\f(a,a－1)，求a的取值范围．16．（2014·山东卷）设函数f(x)＝alnx＋eq\f(x－1,x＋1)，其中a为常数．(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性．17．（2014·天津卷）已知函数f(x)＝x2－eq\f(2,3)ax3(a＞0)，x∈R.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1，求a的取值范围．18．（2014·天津卷）已知函数f(x)＝x2－eq\f(2,3)ax3(a＞0)，x∈R.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1，求a的取值范围．19．（2014·浙江卷）已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a＞0)．若f(x)在[－1，1]上的最小值记为g(a)．(1)求g(a)；(2)证明：当x∈[－1，1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.20．（2014·重庆卷）已知函数f(x)＝eq\f(x,4)＋eq\f(a,x)－lnx－eq\f(3,2)，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝eq\f(1,2)x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．21．（2014·四川卷）已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e－2＜a＜1.22．（2014·安徽卷）若直线l与曲线C满足下列两个条件：(i)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(ii)曲线C在点P附近位于直线l的两侧．则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3；②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2；③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sinx；④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tanx；⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝lnx.23．（2014·安徽卷）设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．24．（2014·北京卷）已知函数f(x)＝2x3－3x.(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论)25．（2014·福建卷）已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x＞0时，x2＜ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.26．（2014·湖北卷）π为圆周率，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)求函数f(x)＝eq\f(lnx,x)的单调区间；(2)求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．27．（2014·湖南卷）若0＜x1＜x2＜1，则()A．ex2－ex1＞lnx2－lnx1B．ex2－ex1＜lnx2－lnx1C．x2ex1＞x1ex2D．x2ex1＜x1ex228．（2014·湖南卷）已知函数f(x)＝xcosx－sinx＋1(x＞0)．(1)求f(x)的单调区间；(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点，证明：对一切n∈N*，有eq\f(1,xeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,xeq\o\al(2,2))＋…＋eq\f(1,xeq\o\al(2,n))＜eq\f(2,3).29．（2014·江西卷）若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．30．（2014·江西卷）将连续正整数1，2，…，n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n，F(n)为这个数的位数(如n＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率．(1)求p(100)；(2)当n≤2014时，求F(n)的表达式；(3)令g(n)为这个数中数字