2024届湘豫联考高三年级下册第四次模拟考试数学试题含答案

姓名

准考证号

绝密★启用前

湘豫名校联考

2024届春季学期高三第四次模拟考试

数学

注意事项：

1.本试卷共6页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填

写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条

形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应

的答题区域内.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.在复数范围内方程V—2x+2=0的两个根分别为%，%，则上+2%|=()

A.1B.V5C.V7D.V10

2.已知集合4={无€M(2%—14)(x—5)«0卜B={xeZ|2x>100},则()

A.{4,5,6,7}B.{4,5,6}C.{5,6,7}D.{5,6}

土+y_

3.已知椭圆E:2十1（a〉6〉0）与矩形ABCD的四条边都相切，若AB=4,AD=2,则E的离

ab2~

心率为（)

V3c1八后1

AA.——B.1C.----D.——

2223

当_2则sin(26—()

4.已知sin|e+—,

12313

5.在某次游戏中，甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭.已知甲、乙中靶的概率分别为0.5,

0.4,且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被甲射中的概率为（）

71

6.如图，A,8和C,。分别是函数4％）=2sinCDXH---（--。〉0）图象的两个最低点和两个最高点，若四

6

边形A5C0的面积为8兀，且/（X）在区间手上是单调函数，则实数。的最大值是（)

5兀

A.——B.——CD.

612-TT

7.已知函数〃x）=log3（32-T+l）—x,则满足〃2x—l）＞〃x）的x的取值范围为)

-℃,1jU(l,+oo)

A.(l,+oo)B.

—oo,_jU(1,+00)

C.D.

8.中国古代建筑中重要的构件之一一一柱（俗称“柱子”）多数为木造，属于大木作范围,其中，瓜棱柱

是古建筑木柱的一种做法，即木柱非整根原木，而是多块用样卯拼合而成.宁波保国寺大殿的瓜棱柱，一

部分用到了“包镶式瓜棱柱”形式，即在一根木柱周围，根据需要再用若干根一定厚度的木料包镶而成的

柱子，图1为“包镶式瓜棱柱”，图2为此瓜棱柱的横截面图，中间大圆木的直径为2R,外部八根小圆木的

直径均为2r,所有圆木的高度均为/?,且粗细均匀，则中间大圆木与一根外部小圆木的体积之比为（）

图1图2

A.74+272-1B.4+2后-2"+2后

C.3D.5+20-2"+2拒

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已矢口加,“（加力”）为实数，随机变量X~N（l,b2）,且P（XW根）=P（X2〃），则（）

0011

A.mn<lB.2加+2〃〉4C.m2+n2<2D.—+->2

mn

10.已知四棱锥P—ABC。的底面A3CZ）是边长为4的正方形，PA±^ABCD,且PA=4,E,F,G

分别为尸8,PD,BC的中点，点。是线段出上靠近点P的四等分点，则（）

A.EG〃平面PCD

B.直线尸G与AB所成的角为30°

C.EQ//FG

D.经过£,F,G的平面截四棱锥尸-ABCD所得到的截面图形的面积为5遍

11.已知抛物线r:=2px（p>0）,点A（l,2）为r上一点，直线/与r交于8,C两点（异于A点），与

x轴交于M点，直线AC与的倾斜角互补，则（）

A.线段BC中点的纵坐标为-2

3兀

B.直线/的倾斜角为三

4

C.当|“斗悭。|=忸。|时，M点为7的焦点

D.当直线/在y轴上的截距小于3时，△ABC的面积的最大值为为8

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量1=5=（0,-1）,若2在B上的投影向量为则彳的值为.

13.设S“是各项均为正数的等比数列｛4｝的前〃项和，若盘=10,则&=____.

S2nS”

2^-1,XG[0,1）,

14.已知函数—的图象在区间[2〃—2,2〃]（〃€曰）内的最高点对应的坐标

2y（x-2）,xe[2,+oo）

为（W"）,则集合｛4|%=+1,1<m<1000,左eN*,meN*｝中元素的个数为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

B

已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asiI?——bcosA=c-b.

2

（1）证明：a+b=2c；

（2）若3=巴，ZVIBC的面积为4&,求b.

3

16.（本小题满分15分）

如图,在三棱锥P-ABC中，平面平面PBC,和△ABC均为等腰直角三角形，且PA=PC=42,

PB=a.

（1）证明：平面A8CL平面以C；

（2）设丽=/1而，0<2<1,若平面出2与平面ACP夹角的余弦值为由5,求实数彳的值.

15

17.（本小题满分15分）

连续抛掷一枚质地均匀的骰子〃（〃eN*）次，第k（kWn,keN*）次抛掷落地时朝上的点数记为为，

ake{1,2,3,4,5,6}.

（1）若〃=4,记出现应为奇数的次数为X,求随机变量X的分布列和期望；

（2）若〃=5,求事件“=1,2,3,4）”的概率.

18.（本小题满分17分）

22

已知O为坐标原点，双曲线C:=一々=1（。〉0/〉0）的左、右焦点分别为耳，F,,过C上一点P作C

ab

的两条渐近线的平行线，分别交y轴于M,N两点，且航口。时=1,△耳P玛内切圆的圆心到y轴的距

离为

（1）求C的标准方程；

（2）（i）设点。（x。,%）为C上一点，试判断直线号—y%=l与C的位置关系，并说明理由；

（ii）设过点心的直线与C交于A,B两点（异于C的两顶点），C在点A,B处的切线交于点E,线段AB

的中点为D，证明：O,D,E三点共线.

19.（本小题满分17分）

在平面直角坐标系O”中，定义:如果曲线G和G上分别存在点M，N关于x轴对称，则称点M和点N

为G和G的一对“关联点，

（1）若G:-+孙+/=6上任意一点尸的“关联点”为点Q,求点。所在的曲线方程和|。耳+|。口的

最小值;

（2）若G：（/+y2）2=4孙2（y2x〉0）上任意一点S的“关联点”为点T,求|ST|的最大值；

（3）若G:y=2InX—2ax和。2：y=1-（a+1）炉在区间（0,+00）上有且仅有两对“关联点”，求实数a

的取值范围.

湘豫名校联考

2024届春季学期高三第四次模拟考试

数学参考答案

题号1234567891011

答案DDACBCBDABACDABD

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.D【解析】由J—2x+2=0,得（x—1/=一1,解得x=l土i,

即％i=l+i,%2=l-i或芯=1—i，x2=1+i-

所以％+2%=3土i,所以J%+2%=.故选D.

2.D【解析】因为A={xeN|（2x—14）（x—5）«0}={xeN|5VxW7}={5,6,7},

5={xeZ|2V>100}={xeZ|x>7）,所以={xeZ|x<7},

所以（（；/）={5,6}.故选D.

3.A【解析】根据题意，得2。=4,2b=2,则a=2,b=l,

所以c=G.所以£的离心率为e=£=】B.故选A.

a2

4.C【解析】sin^26-^=sin

=-cosf26）+—|=-1+2sin2\6）+—|=-1+2x—=--.故选C.

I6jI12；99

5.B【解析】设事件A=“甲中靶"，B=“乙中靶"，C="弓箭靶被射中”，

则P（A）=0.5,尸（8）=04,所以尸（A耳）=0.5x0.6=0.3,P（AB）=0,5x0.4=0.2,

P（AB）=0.5x0.4=0.2.所以P（C）=P（AB）+P（AB）+P（AB）=0.3+0.2+0.2=0.7.

所以P（4@C）二="=故选B.

I।）P（C）0.77

6.C【解析】由题意，得四边形ABC。为平行四边形，M|AB|=2x—,

Ci）

2兀

A8与C0之间的距离为4,则4x2x—=8兀，解得G=2.

CD

函数y=sin2x在区间弓，弓上是增函数，对于=sin21x+,

JT

将函数y=sin2x的图象向左平移自个单位长度,

冷会:故选c

即得〃x)=sin2x+刀的图象，所以。的最大值是

12

2X¥r

7.B【解析】由题易得〃x)的定义域为R,/(x)=log3(3+1)-%=log3(3+3-).

xx

因为/(-x)=log3(3-+3)=/(x),所以〃x)偶函数.

当xNO时,令"％)=3'+3一"则M'(X)=(3工-3^)111320,

所以M（x）在［0,+oo）上单调递增，所以“X）在［0,+oo）上单调递增.

由/（2x_l）＞/（x）,得/（|2%_中〉/（忖），所以|2%_1＞区,

两边平方并整理，得3必—4%+1〉0,解得xe1—oo,；］u（l,+oo）.故选B.

8.D【解析】八根小圆木截面圆的圆心构成一个正八边形，边长为2r,

相邻两根小圆木圆心与大圆木圆心构成一个底边长为2%腰长为R+r,顶角为二JT的等腰三角形.

4

方法一：根据余弦定理，得4/=2（R+r）2—2（7?+厂）2义也，解得"=’4+2后—1,

2r

所以中间大圆木与一根外部小圆木的体积之比为

^3=与="4+2后—1丫=5+2拒—2"+2后.

Ttrhr\/

方法二：因为一--=sin—,cos—=l-2sin2—=,

R+r8482

所以---------------.所以-----=—F1=\4+2yl2，

R+丁2rr

所以2=J4+2挺—1,所以^^=£=5+2后—2,4+2后.故选D.

rnrhr

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.AB【解析】由正态曲线的对称性，可得加+”=2,因为加W”，

所以机〃<［生产］=［||=1,A正确；2m+2"〉2j2m2=2亚荔=4,B正确;

20疗+〃2）>（瓶+"）~=4,即/“2+〃2〉2,C错误；

_112

由于当初=—1,”=3时，满足根+〃=2,但一+—=——<2,D错误.故选AB.

mn

10.ACD【解析】因为EG是△P2C的中位线，所以EG〃尸C,

又EGU平面尸CDPCu平面PCD,所以EG〃平面尸CD,A正确.

如图，取朋的中点M,连接MF,BM,则PM=AM=2,“歹〃4。且“尸=2.

因为BG〃A。且BG=2,所以板〃BG且MF=BG.

所以四边形MFG2为平行四边形，所以〃/G,

所以/MBA或其补角即为直线PG与所成的角.由平面ABCD

得PALA3.因为tanNM3A=^=2=J_,

AB42

所以FG与AB所成角的正切值为g,B错误.由题意，得。是的中点，

所以EQ〃3M.又MB〃BG,所以EQ〃RG,C正确.

显然E,G,F,。四点共面，取CD的中点X,连接切，GH,

可得四边形EGHF为平行四边形，所以E,G,H,P四点共面，

所以E,G,H,F,。五点共面，即五边形EG//FQ即为所求的截面.

设ACnGH=T,则QT〃尸C,且QT=3PC=>义4挝=34,

44

EG=-PC=2j3,GH=-BD=242.

22

因为PA，5。，AC1BD,PAp|AC=A,所以2。，平面必C.

所以BDLPC.又GH,EG//PC,所以EG上GH,

所以S五边形EGHFQ=EGXGH+^EFX(QT-EG)=26X272+；x272(373-273)=576,

D正确.故选ACD.

11.ABD【解析】将A(l,2)代入丁=2px,可得°=2,所以r的方程为/=4x.

设C(x"J,则心=3=1=e'同理鼠=1

4

因为直线AC与AB的倾斜角互补，所以左AB+&C=°，

4416+4(%+%)

即-----+------=0,解得%+%=—4，且

2+%2+%4+2(%+%)+%为

所以BC中点的纵坐标为—2,A正确.因为&c=2匚&=-41V=—^―=—1，

玉-％A_2L%+%

44

37r

所以/的倾斜角为彳，B正确.设M(加,0),则/的方程为x=-y+加，

由<’得y?+4y—4m=0.

x=-y+m,

_

根据A=16(1+m)>0,解得相>一1,所以％+>2=一4，yIy2=4m,

则忸。|=也|%—%|=J^xJ16+16加=4亚xJl+加,

|MB|-|MC|=72|^|-V2|)72|=2|^)72|=8|m|,所以4行乂Jl+4=8|m|,

解得机=—1■或m=1,C错误.当/在y轴上的截距小于3时，即—1〈根<3.

|3—nil

因为点A到I的距离为—1=—，所以△AHC的面积为

V2

S=gxx4后Jl+加=2x|3-m|J1+加=2^(l+m)(m-3)2.

设函数/z(m)=(l+m)(m-3)2,-1<m<3,则11f(m)-(3m-l)*(m-3),

令"(根)=0,得加=g或m=3(舍去).

当加£(一1,；)时，〃(相)〉0,力(加)单调递增；

当机时，A,(m)<0,刈根)单调递减，所以m=；时，力(根)取得最大值等,

326

所以S的最大值为，D正确.故选ABD.

9

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

—n-hh

12.1【解析】由题意，得彳在b上的投影向量为安•台=一6,

HH

即无B=—结合已知，得一几=一1,解得2=1.

13.13【解析】设数列｛4｝的公比为q,由题意，显然q〉0,q>0且qwl,

q(1-/")

则五:1、=]+/=]0,解得“=3,

s”.(T)

i-q

所以&=—r=]+/+/“=]+3+9=]3.

S〃q(lT)

i-q

14.10【解析】作出函数y=在区间[0,2)上的图象，

如图，根据函数的单调性，此时了(%)3、=f(l)=L

又当x22时，f(x)=2f(x-2),所以当x»2时，/(x)=1/(x+2),

部分函数图象如图，由图象可得看=1,x2=3,%=5,…，xn=2n-l,

1

%=1,%=2,%=4,…，yn=2"-,即2i=2m,即m=2口e[1,1000],

解得24左411,即左=2,3,4,10,11,

故集合树yk=xm+l,l<m<1000,左eN*,meN*｝中的元素个数为H—2+1=10.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【解析】(1)由已知，<7(1-cosB^-bcosA=c-b,

由正弦定理，得sinA（l-cosB）-sinjBcosA=sinC—sinB,

即sinA+sinB-（sinAcosB+sinBcosA）=sinC,

即sinA+sinB-sin（A+B）=sinC.

由A+5+C=7i,得sin（A+3）=sinC,

所以sinA+sinB=2sinC.由正弦定理，得〃+Z?=2c.

（2）因为S0BC=^acsinB=7-〃。=46，所以。c=16①.

由余弦定理，得/=a1+c2-2accosB,BPb1=a1+c1-ac.

由（1）,得b=2c—a,所以/+4c2—4-uc=/+0?_m,

化简，得c=〃，代入①，得c=〃=4,所以Z?=4.

16•【解析】（1）由题意，得PCLPA,所以AC='尸42+尸02=《卬+（e）2=2.

因为平面PAC_L平面PBC,且平面FACPI平面尸BC=PC,PAu平面E4C,

所以PA_L平面PBC.

因为PBu平面PBC,BCu平面尸BC,所以PA_LPB,PALBC.

所以A3?=PA2+p52=8,即AB=2后.

又因为△ABC为等腰直角三角形，AC=2<AB,

所以AC=BC=2,ACVBC.

因为PAu平面阴C,ACu平面阴C,PAQAC=A,所以平面B4c.

又因为BCu平面ABC,所以平面ABC_L平面B4c.

（2）取AC的中点0,AB的中点E,连接尸0,OE,

则0E〃8C,ACIPO,所以ACLOE.

由（1）知平面ABC_L平面祖C,

因为平面ABCPl平面P4C=AC,POu平面出C,所以尸。，平面ABC.

因为OEu平面ABC,所以P。LOE,

如图，以。为坐标原点建立空间直角坐标系，

则P（0,0,l）,A（-l,0,0）,B（l,2,o）,C（l,0,0）.

所以Q=（l,0,l）,BP=（-1,-2,1）,AC=（2,0,0）.

由丽=ABP=（-2,-22,2）,得产（1—42—24,2）,

所以/=（2-尢2-2/M）.

设平面PAB的法向量为比=（再,%，4）,

m-AP=0,玉+Zi=0,

则7一即1

m-BP=0一再—2%+Z]=0.

令玉=1,则平面PAB的一个法向量为沅=（1,-1,—1）.

设平面ACT的法向量为方=（x2,y2,z2）,

n-AF=0,（2-彳）招+（2-22）%+Xz。=0,

则《_,即＜

HAC=Q,2X2=0.

令%=2,则平面ACT的一个法向量为方=（0,42/l—2）.

设平面B4B与平面ACT的夹角为。，

\m-n\|2-32|_V15

则COS0=|cos（玩，方/

阿同V3XV522-82+415

整理，得1042—132+4=0,解得/=」或;l=3.

25

14

所以X的值为上或？.

25

17•【解析】（1）由题易得，抛掷一枚骰子1次，出现该为奇数的概率为工,

2

出现以不是奇数的概率也为工，X的可能取值为0,1,2,3,4.

2

1P（X=l）=C：x；x

因为P（X=0）=C；

164

P（X=2）=C；

P（X=4）=C：

所以X的分布列为

X01234

11311

P

1648416

（2）记事件A为事件“%<aM（z=1,2,3,4）",

则事件A包含以下5种情况：

①抛掷5次出现的点数相同，有6种可能;

②抛掷5次出现的点数有2个数字，有4xC：=60种可能;

③抛掷5次出现的点数有3个数字，有6xC：=120种可能;

④抛掷5次出现的点数有4个数字，有4xC：=60种可能;

⑤抛掷5次出现的点数有5个数字，有C：=6种可能,

6+60+120+60+67

所以尸(A)

216

7

即事件"at<aM(i=1,2,3,4)”的概率为'.

216

22

18•【解析】⑴设尸(马,力)，则?一普=1.

ab

hh

不妨设直线PM的方程为y-yp=-(x-xp),则直线PN的方程y-yp=--(x-xp).

aa

令x=0,得M(0,—3%+,N\0,—xp+yp

\a)\a,

所以10MHON|=I.+=-y2_^_%2=^-^2_^2=/=].

。I|。aaa~

设△KP8的内切圆(圆心为。分别与尸片，PF2,K心切于点R,S,T,

则2a=俨耳|—忸闻=|同|+防卜网-典卜帆制-典卜惘|-此.

所以T为C的顶点，所以/T，x轴，/的横坐标为土。，所以a=

2

故C的标准方程为工-丁=1.

3.

(2

%2-

(2)(i)由<得(3y；-Xgjx2+6%0%-9-9乂=0,

令-21,……

结合君一3丁；=3,得%之一2%0%+%；=0,所以△=4%；-4%；=0.

所以直线号—与0=1与C相切.

(ii)由题易得直线A2的斜率不为0.

设直线AB的方程为％=力+2,代入炉―3y=3,

/、r-3^o,

得（r_3）/+4〃+]=0,其中

v）[A=I6r-4（r2-3）=n（t2+1）>o,

设A（XQ1），5（x2,y2）,则M+

由（i）,C在点A,8处的切线方程分别为匹工一3%〉=3,x2x-3y2y=3.

两式联立，得尤=3（%—%）3（%-%）3（%-%）二：3

（纵+（班+

玉〉2一%%2）%-2）%2（%-%）2

XX

（X1-X2）_（（1"2）

X

y=—,即E

3（%-%）3（%-%）214-

所以直线OE的方程为y=：x.

-6

x=ty+2,x-—；

/-3—6-It

由＜t解得<即直线AB与OE的交点为，

V二耳入，-2t/—37—3

T7y+%~~2t—2t—6

又如=^=77rxD=%+2〜三+2=三，

即这I,所以。与A重合•

\tJCDJ

故O,D,E三点共线.

19.【解析】（1）设点Q（x,y）,则点Q的“关联点”为P（x,—y）,

代入彳2+盯+,2=6,得彳2+x（_y）+（_y）2=6,即彳2―盯+,2=6,

所以点Q所在的曲线方程为x2-xy+y2=6.

根据对称性，|OP|=|OQ|,则10H+仇|=2仇|=2西+,2.

2222

由％2一盯+y2=6,得％2+,2二移+62------^_2_+6,即/+/?―%2y+6,

解得X2+>4,当且仅当X=->且%2一盯+/=6,

即％=,y=—或％=—y=J^时取等号.

故当％=应，y=—0或％=—近，y=&时，（|0P|+|0e|）m,n=4.

（2）设S（%,y）,则根据对称性，得将刀=2计

设V+J/=m2(m>0),x=mcos0,y-msmO

42

2

代入(f+y2『二4盯之，^m=4cos^sin0,

所以y=msinO=4cossin30

42

3

方法一：令cos。=%0<r<——

[2)

23i1xUl

所以/'(7)=422+rx-.25x=-16(l_/p

2I2

当o</<!■时，/«)〉o；当;</«*，f'W<o,

nV2I

所以/(/)在[o,g上单调递增，在上,经上单调递减,

122」

所以/=；是/(。的最大值点，即/("max

故同)=2x虫1=更

\I'/max42

方法二：y2=16cos2^sin60=—x3cos20xsin20xsin20xsin20

3

16(3cos20+sin20+sin20+sin204—27

<—X-------------------------

~16

347

当且仅当sin26=3cos2，，即tan。=时取等号，所以0<y«迪.

-4

故M=2乂巫=巫

IImax42

(3)G:y=21n%-2ax和G：V=1-(a+1)必在区间(0,+oo)上有且仅有两对“关联点”,

等价于曲线y=21n%—2ax和y=(〃+1)%2-1有且仅有两个交点.

设函数/z(x)=2Inx-lax-|^(a+1)x2-1^|=21nx-(tz+l)x2-lax+1,

则/i(x)在区间(0,+00)上有两个零点.

/\2z、2(x+l