安徽省芜湖市2024届高三最后一卷模拟数学试题(含答案)

2024届安师大附中高三最后一卷模拟

数学试题

本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟2024年5月28日

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框.四答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

2/-1—

1.已知复数z满足z=——，且z是复数z的共挽复数，则zz的值是（）

i

A.45B.3C.5D.9

2.设则“从二四"是'”为a,c的等比中项”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.下列说法正确的是（）

A.正方体各面所在平面将空间分成27个部分

B.过江面外一点，有且仅有一条直线与这个平面平行

C.若空间中四条不同的直线/”&/3，/4满足4，/2，/2，/3，/3，/4,则＜，。

D.若见〃为异面直线，机_L平面a,〃_L平面/，且a与尸相交，若直线/满足/_L〃z,/_L〃则/必平行于a

和夕的交线

4.下列选项中，所得到的结果为4的是（）

A.双曲线/-工2=1的焦距B.8cos215°-4的值

C.函数-3］的最小正周期D.数据2,2,4,567,7,8,10,11,15,16的下四分位数

144J

5.已知A、B、C、D、E、F六个人站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法共有（）

种

A.186B.264C.284D.336

6.已知0。：/+'2-10工+9=0与直线/交于4、8两点，且。。被/截得两段圆弧的长度之比为1:3,

1

若D为0c上一点,则方N•丽的最大值为()

A.18夜+12B.1672+16C.12近+20D.1072+24

11111

7.设a=—,b=ln—,c=—♦«“，则()

101011

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

8.已知函数/(x)与g(x)是定义在R上的函数，它们的导函数分别为/'(x)和g'(x),且满足

/(x)+/(6-x)=2,/(x)=g(3-x)-5,K/\x)-g,(x-l)=2,/,(3)=-l,

2024

则£/(%)=()

*=l

A.1012B.2024C.-1012D.-2024

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的为()

A.在回归模型的残差分析中，决定系数川越接近1,意味着模型的拟合效果越好

B.数据西，々，…，X”的标准差为S，则数据。才1+上以2+儿…，QX”+6的标准差为|〃卜

C.已知随机变量若尸(6>2)=0.2,则P(0<J«2)=0.6

D.在装有3个黑球，2个红球的袋子中随机摸出两个球，则摸出的两个球“均为黑球”与“均为红球”是对

立事件

10.已知g(x)=2sin8+］卜os(s+0),下面结论正确的是()

A.A=1时,g(x)在一巴:上单调递增

B.若8(石)=1遭(工2)=-1，且|再-引的最小值为兀，则口=1

「4147、

C.若g(x)在［0,2可上恰有7个零点，则0的取值范围是点噂

D.存在°w(l,3),使得g(x)的图象向右平移看个单位长度后得到的图象关于歹轴对称

II.已知尸(孙必)、0(%2，>2)是曲线。：7%2—6y+6/+,+6、一3卜21上不同的两点，。为坐标原点，

则()

A.1<Xj2+yj2<2

B.24Jx；+（丁2+1）+（%-1）“W4

C.线段PQ的长度的最大值为2百

D.当P,。均不在X轴上时，过点P,。分别作曲线C的两条切线4与4,且当/1〃4时，4与4之间的距离

记为d,则d的取值范围为3,巫士3

,2）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.写出（2工-的展开式的第4项的系数：.（用数字表示）

13.在段长为4的正方体力5C。-44GA中，点E是棱54的中点，则四面体4GE3的外接球的体积为

14.已知实数出beR,且满足/+18/—6"=18,当时取得最大值时，|。+@=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本大

题满分13分）

已知a,b,c分别为△力8C三个内角A,B,C的对边，旦bcos4+JJbsinJ=〃+c

（1）求8；

（2）若b=2,△ABC的面积为百，D为AC边上一点、,满足CQ=24O,求80的长.

16.（本大题满分15分）

如图，三棱锥488中，平面平面ZC。，平面43。_L平面38,平面力C。_L平面8C。，

（1）求证；4D,CZ）两两垂直；

（2）若DA=1,DB=2,DC=3,P为4B中点,。为NC中点，求80与平面POC所成角的正弦值.

17.（本大题满分15分）

在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”,

不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生,

统计数据如下：

3

男生女生合计

喜欢食堂就餐402060

不喜欢食堂就餐103040

合计5050100

(1)依据小概率值a=0.001的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关：

(2)该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套

4

餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为一；若星期一选择了②号套餐，则星期四选

2

择①号套餐的概率为求甲同学星期四选择②号套餐的概率.(3)用频率估计概率，从该校学生中随机抽

取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为X.事件=%”的概率为尸”=攵)，求使尸(X=A)取得最

大值时女的值.

参考公式：/二国玛瑞f其中〃=+〃

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

18.(本大题满分17分)

2

已知点是椭圆£：三+_/=1卜>1)与抛物线。1：/=2”(2>0)的交点，且小>0,/、8分

别为G的左、右顶点.

(1)若％=1,且椭圆G的焦距为2,求G的准线方程：

(2)设点F(LO)是C,和C2的一个共同焦点，过点F的一条直线Z与&相交于C,。两点，与C2相交于E,G

两点，CD=XEG,若直线/的斜率为1,求义的值：

(3)设直线Q4,直线。8分别与直线x=〃+l交于M,N两点，△QVW与△043的面积分别为B.S2,

若今的最小值为：，求点。的坐标.

19.(本大题满分17分)

若数列｛外｝的各项均为正数，且对任意的用邻三项都满足则称该数列为“对数

性凸数列”，若对任意的相邻三项q,a.,都满足。.+。加W2q则称该数列为“凸数列”.

(1)已知正项数列｛qj是一个“凸数列"，且(其中e为自然常数，nsN*),证明.数列｛/｝是

4

一个“对数性凸数列”,且有％

(2)若关于x的函数/(切=4+。2工+4,十源/有三个零点，其中4>0(，=1,2,3,4).证明：数列

配优,与，”是一个"对数性凸数列”：

(3)设正项数列%…，见是一个“对数性凸数列”，求证：

1n-11J

、〃+1〃一1六［〃;=1

最后一卷数学试题参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的

I.C2.B3、A4.C5.D6.B7.A8.D

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.ABC10.CD11.BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

_76M

12,-16013.------7114.7

3

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15(1)由正弦定理有sinBcos?l+JJsinBsiM=siii4+sinC

由sinC=sin(4+8)化筒得JJsinBsinJ=sinJ+sin^cos5

由sin/iw0有JJsinB=1+cos8,可得5山(3-已)=(

t/n兀兀57r人)ric九

故8—=——舍，则8=—.

66l<6)3

(2)由6=2,S=1acsinB=>/J有=4

2

又及=/+C2-2QCCOS8可得/+°2=8,易得4=c=2有正△/5C

5

(2丫?128

在△力B。中，BD2=22^\-\-2x2x-x-=—.

U)329

故BD的长为亚

3

16(1)在8。上任取一点£,作所，8。交8。于尸，作白7_1_。。交。。于6,由平面_L平面88

交于BD,EFu面BCD,EF1BD有EF上面4BD,又力Qu面480有七/_L4。，同理EG_L/。,

又由面5co中，四0£6=七可得力。_L面3CO,则/O_L8D,/Q_LCD.

同理可得8O_LCQ,即40,8。,CO两两垂直.

(2)分别以08,DC,D4所在直线为X轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

易得5(2,0,0),°尸(l,0,；),C(0,3,0)

(1,0,；),反=(0,3,0)质=!31

有DP二

22)

DPn=0/、

设面尸DC的法向量万=(x,y,z),则由，_可取力=(1,0,—2).

DCii=0

BQn3V130

cos(80,万)=

网司―65

则BQ与平面PDC所成角的正弦值为上叵

65

17.(1)H。：假设食堂就餐与性别无关

100(40x30-10x20)2

由列联表可得,2=«16.667>10.828

50x50x60x40

所以依据小概率值a=0.001的独立性检验，可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关.

(2)记星期二选择了①号套餐为事件4,选择②号套餐为42,

星期四选择了①号套餐为事件与，选择②号套餐为台2,

则P(4)=P(4)=；,P⑷⑷咚P|4l4)g

所以P(4)=P(4)P⑷4)+P(4)尸⑷=

乙J乙1J

所以尸⑸)=1—P(与)=1—24

15

6

(3)依题意可得学生“喜欢饭堂就餐”的概率尸=㈣二3,

1005

10-t

则J〜8(10,百，所以尸(g=%)=C：。住］(1—旬=Cf

0(0<<101.)1eN),

P^=k)>P^=k+l)

若尸(4=左)取得最大值，则・

产仔=%)之尸(。=左一1)'

停r

2、310-攵

—>-x--------

55k+1

即4

3ll—k、25尔28，33

-x-------->-,解得一<k<—,

5k555

又04上W10且攵eN,所以攵=6.

18.(1)由题意得2c・=2,故c=l,则/-1=1,解得/=2,

故椭圆G：］+/=］,

因为々=1,所以坨=乎，

所以。卜，*］，将其代入/=2px(p>0)中，即2〃=：,解得p=；

故G的准线方程为x=-K,x=-l；

28

(2)由题意得/一i=i,K=i,解得/=2,2=2,

2

故G：L+/=1,。2：/=4x,

2

2

直线/的方程为y=x—1,联立G：'+〉2=1得，3x2-4x=o,

4

设C(X|，M),。(々/2)，则』+X2=-^X\X2=°，

7

故|CZ)|=Jl+1J(X]+v)2-4%工2=&xg=，

联立歹=x-l与。2：歹2=4x得，x2-6x+1=0,

设后(七,必)，G(x4,y4),则“3+%=6,七%4=1,

故忸G|=后认/+匕)—.=V2xJ36-4=8,

472

____CD二近

若CDEG方向相同，A=—

EG8~6

V2

若丽,旃方向相反，4

6

<3）由4（一a,0）,0（%0,%）,M（q+1,%）三点共线，可得

备=念，故3旬'

同理，由8（。,0）,°（々,均），"（。+1,乂、.）三点共线，可得

则Si=g(w_yj(

8

a[xQ-a-\）yQa[xQ-a-\）yQ

22

XQ~a~

因为所以/一4二/年，

而心"%一"1）工a[xQ-a-\^yQ（%-"1丫

所以E=----2—2-----=------Fl-----=-----------，

a-xQayQayQ

又S2=J阴/=»/，

S=（x。-"if

S?ay@a-X。

因为迎£（0,。），令Q+l-X。=Z£（1,Q+l）,

则/=a+lT,

所以县="可=__________C_________二_____________!____________

昆a2T-/+（2。+2）"2a7（_2a-l）5+（2a+2）；-l

其中Lp-,i

t（a+1

因为a>l,所以丁=（一24-1）5+（24+2）；-1的开口向下，

a-“la+24+1

对称轴为一-------r=-----

2（7-2。-1）2〃+1

廿.a+11矿+2a+1—2。—1tz2

其中-----------=-----------------=------------->09

2tf+1a+1（2a+l）（a+l）（2a+l）（a+l）

故当;=黑［时，》=（-24-1）,+（2。+2）；-1取得最大值,

/1\2.2

最大值为y=（-2々-1）-----+（2a+2）-------1=-----,

\\2a+\）'）2a+l2Q+1

故工的最小值为竺1，

2

S2a

令驾1=』，解得。=2,负值舍去，

a24

9

又《+。2其=。2,故%=乎,

则点。的坐标为

19.(1)法一：由。3Vqi凡卜得到.血之色，❷之色■，生