带电粒子在组（复）合场中运动的核心问题（解析版）-2024年高考物理二轮热点模型

带电粒子在组（复）合场中运动的核心问题

目录

一.电偏转、磁偏转的区别与联系问题

二.带电粒子在叠加场中的匀速直线与匀速圆周

三.带电粒子在叠加场中的复杂曲线运动及洛伦兹力的冲量

模型讲解

电偏转、磁偏转的区别与联系问题

1.组合场

电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠,一般为两场相邻或在同一区域电场、磁场交替出现。

2.分析思路

带电粒子在电场、磁场组合场中的运动是指粒子从电场到磁场或从磁场到电场的运动。通常按时间的先后顺

序将粒子的运动过程分成若干个小过程，在每一运动过程中从粒子的受力性质、受力方向和速度方向的关系

入手，分析粒子在电场中做什么运动,在磁场中做什么运动。

3.运动分析及方法选择

匀

带强

电电

粒场

子中

在

组

合

场匀

中强

的磁

运场

动中

4.“电偏转”与“磁偏转”的比较

项目电偏转磁偏转

偏转条件垂直电场线进入匀强电场（不计重力）垂直磁感线进入匀强磁场（不计重力）

静电力F=qE洛伦兹力耳各=qvB

受力情况

大小、方向不变大小不变,方向时刻与v垂直

运动类型类平抛运动匀速圆周运动

运动轨迹抛物线圆或圆的一部分

p

I

\y二三\

\\eB

▽-----d------>Q

偏移距离U和偏转角。要结合圆的几何关

x—a—,偏移距离y—4Q力2，

m2系通过圆周运动的规律求解，「=吗，T

求解方法qB

偏转角tan(p=-=—_27ml,_0个

—qB，—2兀

动能变大不变

二.带电粒子在叠加场中的匀速直线与匀速圆周

1.叠加场

电场、磁场、重力场叠加，或其中某两场叠加。

2.是否考虑粒子重力

对于微观粒子,如电子、质子、离子等,因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略;而对于一

些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。

3.带电粒子在叠加场中的常见运动

当带电粒子在叠加场中所受合力为零时，将处于静止状态或匀速直

静止或匀速直线运动

线运动状态

当带电粒子所受的重力与静电力大小相等、方向相反时，带电粒子在

匀速圆周运动

洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动

三.带电粒子在叠加场中的复杂曲线运动及洛伦兹力的冲量

当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上,粒子做非匀变

速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。解决该类问题初配速法以外主要应

用功能关系及洛伦兹力的冲量进行解决。

案例剖析"

I,

题工（2024上•广东深圳•高二校考期末）某实验小组分别用匀强电场和匀强磁场设计电子偏转装置。一带正

电的粒子，重力不计，电量与质量之比为％，以平行于。，轴的速度。。从g轴上的A点水平射入第一象限

区域，并从工轴的3点射出，如图（甲）和（乙）所示。已知04=s,zLABO=a,tana=cos（«+45°）=

n

（1）若第一象限只存在平行于的电场，如图（甲），求该电场强度大小：

（2）若第一象限只存在垂直xOy平面的匀强磁场,如图（乙），求该磁感应强度的大小。

（3）在第（1）问中，带电粒子到达B点后撤销电场，同时在整个空间中施加垂直xOy平面的匀强磁场,要求

粒子能回到A点，求所施加磁场的磁感应强度（忽略磁场变化过程带来的电磁扰动）

（甲）（乙）

【答案】⑴4；（2）-^-;⑶岑T，方向磁场垂直纸面向外

2ks2.5sk5ks

【详解】⑴正电子从4点射入，做类平抛运动

x=---=2s=v^t

tana

y=yai2=s

eE

a=-----

m

解得

-vo

E一而

（2）设粒子在磁场中圆周运动的半径为R

根据勾股定理

&=（2s）2+CR—s）2

解得

R—2.5s

根据带电粒子在磁场中运动

―――Bev

±L0

所以

E，E"o

R=F

联立两式，得

25s=3

Be

所以

B=A

2.5sfc

・・

（3）第（1）问中粒子到达B点时

tan。=-=1

入射角度为

。=45°

合速度为

v—V2^o

如果磁场垂直纸面向外，粒子轨迹如图，向下偏转，设圆周运动半径为R,则

/?cos（45°+a）=~~^2~s

解得

V5s

R—2n

根据圆周运动动力学方程

小萼=加悟。

解得

_m（V2i;）2__2A/IU?WO

/）—,0——

eV2v（）RkR5ks

当磁场方向垂直平面向里，则粒子逆时针方向运动，跟0轴的交点坐标一定大于05,由于OA小于OB,

故不可能经过A点。

朗2（2024•陕西咸阳•统考一模）现代科技可以利用电场、磁场对带电粒子的作用来控制其运动轨迹,让其到

达所需的位置，在现代科学技术、生产生活、仪器电器等方、面有广泛的应用。如图所示是此种仪器中电磁

场的简化示意图。以竖直向上为沙轴正方向建立直角坐标系，该真空中存在方向沿。轴正方向、电场强度

大小E=5，^N/C的匀强电场和方向垂直cOy平面向外、磁感应强度大小B=0.5T的匀强磁场。原点。

处的粒子源连续不断地发射速度大小和方向一定、质量m=1X10-6kg＞电荷量q=2xl0-6。的带正电

的粒子束,粒子恰能在xOy平面内做直线运动,重力加速度为g=lOm/s2,不计粒子间的相互作用。

（1）求粒子发射的速度大小和方向；

（2）若保持粒子束的初速度不变，在粒子从。点射出时立即撤去磁场，求粒子从O点射出后再次运动到y

轴过程中,重力所做的功（不考虑磁场变化产生的影响）；

（3）若保持E、B初始状态和粒子束的初速度不变,在粒子束运动过程中，突然将电场变为竖直向上、场强

大小变为E'=5N/C,求从O点射出的所有粒子第一次打在，轴上的坐标范围（不考虑电场变化产生的影

•••

响）。

【答案】（l）20m/s,方向与y轴负方向夹角30°;（2）2.67xItrU；⑶—吟③山《立&_20，^1

O

【详解】（1）粒子做匀速直线运动，如下图

（quB）2=（招y+（mg）2

解得

v—20mzs

设粒子出射的速度方向与夕轴负方向夹角为仇则

tan，”=G

解得

6=30°

（2）撤去磁场后，粒子做平抛运动，如下图

根据牛顿第二定律有

V(q^)2+(mg)2=ma

tan。=---—

比力

_仇

“cos30°

解得

80

y=^-rn

o

重力所做的功

4

WG—mgy—2.67xICTJ

（3）由题意可得

qE'=mg

粒子做匀速圆周运动，如下图。

根据洛伦兹力提供向心力

qpB=rn*

R

解得

=20m

由几何关系可知，当粒子在O点时就改变电场，打在力轴上的横坐标距O点最近的点的坐标

力i=-2五cos30°=—20V3m

当改变电场时粒子所在处与粒子打在力轴上的位置之间的距离为2A时，打在力轴上的横坐标最远距离的

坐标

2R=80通.

62=一

sin60,3

从O点射出的所有粒子第一次打在力轴上的坐标范围为

一.rn&x20V3m

O

血13（2024上•江苏常州•高三常州高级中学校考期末）如图所示,竖直平面内的直角坐标系加炉第一象限内

有竖直向上的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场B产理;第三、四象限有磁感应强度大小为国

qo（）

=等，方向垂直坐标平面向里的匀强磁场。力=0时刻,质量为小、带电量为+q的绝缘小球，从立轴的

。点，沿，轴正方向以速度期。射入第一象限，在第一象限做匀速圆周运动;小球过一段时间进入第三象限

的磁场区域。不计空气阻力，重力加速度为g。求：

（1）电场强度的大小E；

（2）小球第一次回到x轴时的速度大小；

（3）在磁场B内，小球离，轴最远距离垢及对应的速度v大小。

2•M

,v=5v

q90

【详解】⑴在第一象限内做匀速圆周运动，则

Eq=mg

得

E=mg

q

（2）第一象限，根据洛伦兹力等于向心力

Bv=m—

iqn

得

靖

9

匀速圆周运动半周，其时间为

-T_1.2nm_7cm_兀0。

仆t2

2BIQBxqg

小球在第二象限做做平抛运动，则

2n=^gt?

得

3也

9

则

%=gt2=2%

则

"台=\Vo+Vy—V5l)o

与多轴负方向夹角的正切值为

tana=2

（3）在磁场3内小球离/轴最远距离外，此时对应的速度为。，由动能定理

22

,mgym=-1-m-（;-ym（V51；o）

水平方向由动量定理

^B2qvy-=汇m\v工

即

B位』耍'△土=小汇瓯

取向右为正方向，则

7

Bz，qy,n=m(y+%)

可得小球离立轴最远距离及对应的速度大小分别为

题目①(2024上•山西太原•高三统考期末)如图所示，平面直角坐标系xOy的第一象限内有竖直向上的匀强

电场，虚线圆内有垂直纸面向外的匀强磁场。虚线圆的圆心Q在2轴上,半径为_R,QO="R。质量为

电荷量为+q的粒子从圆上P点以速度v0正对圆心Q射入磁场,并从坐标原点。射出磁场。粒子在电场

中运动，恰好经过第一象限的Q(2LZ)点。己知POi与2轴负方向的夹角。=60°,粒子重力不计。求：

(1)电场强度E与磁感应强度B的比值；

(2)粒子从P运动到Q的时间。

［答案］⑴冬如(2)64±V32LR

2L3g

【详解】(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为「，几何关系得

rtan-1-=R

=m—

r

解得

3qR

粒子从O到。做类平抛运动,运动时间为t2,有

2.1/—

1qE

L—-tl

2m

所以

2qL

(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T,则•M

_2兀/

"o=~^~

粒子在磁场中运动时间为tj,则

力2兀/

,_，^兀R

粒子从P运动Q的时间为

,,,,6L+A/3TT/?

t=力+力2=----------

3%

题目0（2024上•陕西咸阳•高二统考期末）如图所示，在沙＞0的区域存在匀强电场E=5X102N/C,场强沿

“轴负方向;在g〈0区域存在匀强磁场，磁感应强度B=0.IT，磁场方向垂直cOy平面向外。一电荷量q

=8XICT，。、质量1.6x10-13kg的带正电粒子，从夕轴上y=2cm处的R点以速率0o=1XlOSn/s沿2

轴正方向射入电场，紧接着从£点射入磁场（不计粒子重力）。求：

（1）2点到坐标原点。的距离小

（2）该粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径尺的大小；

（3）粒子从R开始计时直到第四次经过;r轴所用的时间to

【答案】⑴g=4cm;（2）7?=2A/2X10~2m;（3）t—（12+6兀）X10-6s

【详解】解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，由牛顿第二定律有

Eq—ma

解得

a=2.5xl09m/s2

粒子做类平抛运动，竖直方向有

y=

水平方向有

X-

解得

土尸4x10-6s

x=0.04m=4cm

（2）设粒子进入磁场时与力轴的夹角为巴有

tan。=-=1

则

<9=45°

进入磁场的速度大小

00

Vcos450=四号0

由牛顿第二定律有

qvB=m^

R

解得

2?=2V2xl0-2m

设带电粒子在磁场中运动周期为T,则

rri_2KR

1—

v

粒子在磁场中运动的总时间

3

〃=2xy

粒子在电场中运动的总时间

力电=3右

粒子从8开始计时直到第四次经过力轴所用的时间

t—力磁+力电

解得

力=（12+6兀）x10-6s

题目J]（2024上•湖南常德•高三统考期末）如图所示，一质量为小、带电荷量为—q的粒子，以速度。。从。点

沿g轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，粒子飞出磁场区域后，

从b点处穿过，轴，速度方向与多轴正方向的夹角为30°,并进入场强为X、方向沿，轴正方向的匀强电场

中,之后通过了b点正下方的c点（图中未画出）,不计粒子重力。求：

（1）6点与。点的距离；

（2）圆形匀强磁场区域的最小半径；

（3）6点到。点的距离。

10

【详解】⑴做b点速度方向的反向延长线，交沙轴于。2点，再做的角平分线，交2轴于Q点，O1即

为粒子做圆周运动轨道的圆心，OQ即为粒子做圆周运动轨道的半径，运动轨迹交Z/%于点，如图所示

设粒子再磁场中做圆周运动的轨道半径为凡由洛伦兹力充当向心力有

Bqv0=m--

解得

mv()

R=

Bq

又根据几何关系可得

Orb=2R

则Ob的距离为

3m"o

x=3R=

ObBq

⑵最小的圆形磁场区域是以Oa为直径的圆，如图中阴影部分。设最小的磁场区域半径为r,则根据几何

关系有

三=cos30°

JTL

解得

V3mv

T-----0------

2Bq

(3)由牛顿第二定律可得带电粒子在电场中的加速度

_Eq

a-----

m

将速度沿着力轴正方向和g轴负方向分解，可得两个分速度大小分别为

V32

Vy=3

由力轴方向做匀变速直线运动可求得时间为

,2vV3mv

t=x---=---Q---

aEq

由g轴方向做匀速直线运动可求得be间的距离

7,VQVSTTIVQ

［题目⑷（2024•新疆乌鲁木齐•统考一模）如图所示，在y>0的空间中存在匀强电场，电场强度大小为E,方向

沿"轴负方向;在gV0的空间中存在匀强磁场，磁感应强度大小为8方向垂直力Og平面（纸面）向外。一

带正电的粒子（重力不计），从g轴上A点以水平初速度的沿力轴正方向射入电场中，之后粒子在电场、磁场

中做周期性运动。已知为=普,粒子每次进、出磁场时两点间的距离均为d。

ID

（1）求粒子第一次经过力轴的位置距坐标原点的距离力0；

【详解】（1）粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在电场中的加速度为Q,运动时间为力，粒子离开电场时的速度

大小为u、方向与切轴正方向夹角为夕，g轴方向的分速度为巧;粒子在磁场中做圆周运动的半径为_R,由类

平抛运动和圆周运动的规律得

g=v（）t

vy=at

ma=qE

%:vsind

d

R=

2sin。

qvB=m^~

R

解得

12

（2）设粒子经过a;轴的位置距坐标原点的距离为;z/,粒子进、出磁场时两点间的距离为或，由第一问同理可

得

，一旦

“一3

d'=d

如图所示

,由图可得，电场中的运动轨迹的相邻的两交点间距离

3

题目可（2024上•福建宁德•高二统考期末）电视机显像管的工作原理可简化如图。初速度为0的电子经电场

加速后，以速度。沿半径方向进入圆形匀强磁场,经磁场偏转后电子向上偏转了夕=60°。已知电子的质量

为小,电荷量大小为e,磁场方向垂直于圆面，电子在磁场中运动的轨迹半径为入求:

⑴加速电场的电压U；

（2）磁场的磁感应强度B的大小及方向；

（3）电子在磁场中的运动时间to

~2

【答案】（1）。=喂；（2）6=卫组，方向垂直圆面向外；（3）力=畀

2eer3v

【详解】⑴电子在电场中加速

1

eU=­mv2—0

解得

mv2

U=

2e

（2）电子在磁场中做圆周运动

mv2

eovB-------

r

13

解得

口mv

B----

er

方向垂直圆面向外；

（3）解法一：

电子在磁场中运动的轨迹长度

兀丁

s-T

t=—

V

解得

,7ir

解法二：

电子在磁场中运动的周期

2兀7n

T=

eB

解得

,7ir

颔目回（2024上•湖北襄阳•高三校联考期末）如图所示，在坐标系xOy内有一个半径为五的圆形区域，圆心

坐标为QCR,0）,圆内分布有正交的匀强磁场和匀强电场，磁场垂直纸面向里，电场大小方向未知。在直线

y=R的上方和直线，=27?的左侧区域内，有一沿沙轴负方向的匀强电场，场强大小和圆形区域内的电场

相等。一质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子以速度为（未知）从O点沿力轴正方向垂直于磁场射入，经

过时间力匀速通过圆形区域并从Q点射出;若不改变初速度的大小和方向，仅撤去磁场，粒子飞出圆形区域

时间将变为《（不计粒子的重力，已知m、q、R、t）o

（1）求粒子的初速度Uo；

（2）求电场强度E和磁感应强度B的大小；

（3）若仅撤去圆形区域中的电场,让粒子以速度2v0从。点垂直磁场射入第四象限，且速度方向与力轴正方

向夹角6=30°,求粒子从第一次射入磁场到最终离开磁场的时间t总。

；⑶传+辛一辛），

【详解】（1）粒子在电磁场中做匀速直线运动，所以

2R

。0=~F

(2)撤去磁场后，带电粒子在电场中做类平抛运动

x—R,y—R

沿y轴负方向

y=lal2

0=幽

m

联立得

口_8mR

B=----厂

qt2

又因为该粒子在电磁场中做匀速直线运动时

qE—qvoB

联立可得

qt

(3)撤去电场后，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动

r

代入g和得

r=R

由几何关系可知粒子从人点沿0轴正方向射出磁场，并从。点进入上方电场，在电场中减速为零后反向加

速从。点出电场时2*,又从A点沿g轴负向进入磁场做勺速圆周运动，刚好从Q点射出磁场，在磁场

中运动的总时间

十——T'—冗区——+

1212aJ

电场中运动的总时间

力2=2

在之间匀速运动的时间

名=2

2伙）

则总时间为

源=力+力2+益=怎+5■一乎

题目可(2024•全国•模拟预测)如图所示，在平面直角坐标系加期的第一、二象限内存在沿“轴负方向的匀

强电场，在立轴的下方和边界AW之间的区域I内存在垂直纸面向里的匀强磁场,在边界下方的区域

〃内存在垂直纸面向外的匀强磁场，c轴与边界MN之间的距离为乙。质量为小、电荷量为q的带正电粒

子从P(L,空0点以初速度的沿c轴负方向射出，粒子恰好从原点。射出电场进入区域/,并从

Q(0,-L)点离开区域/进入区域〃。不计粒子的重力及空气阻力。

(1)求匀强电场的电场强度大小和区域/内磁场的磁感应强度大小；

(2)要使粒子能经过,轴上的F(-3L,0)点且在区域〃内的轨迹半径最大,求粒子由P点运动到F点所需

的时间。

仔

xxxQxxxx

Ixxxxxxxx

【答案】⑴氏号驾B尸(3+兀+

【详解】(1)粒子在电场中做类平抛运动

联立解得

设粒子刚进入区域/时的速度为期，与①轴负方向之间的夹角为必

根据动能定理得

qEx-y-L=

cos。=—

V

可得

(7=60(

设粒子在区域/内做匀速圆周运动的半径为Al

由几何关系可知

2Aleosa=L

由牛顿第二定律得

qaB尸m~—

16

联立解得

.。7180°-2ay2兀匕兀L

t2=2x------------x-------=--

360v3v0

粒子在区域〃内运动的时间

+_360°-2ay2nR?_2V3TTL

360v3v0

粒子由P点运动到尸点所需时间

（3+兀+2岳）L

E一5十质十石3—o

⑥（2024•广西•校联考一模）如图，直角坐标系加加中，在第一象限内有沿?/轴负方向的匀强电场，在第

四象限内有方向垂直于坐标平面向外的匀强磁场;在第三象限内的区域内有方向垂直于坐标平面

向里的匀强磁场,下边界MN与x轴平行。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子从y轴上P点（0,出以

初速度。。垂直于y轴射入电场，再经c轴上的Q点沿与c轴正方向成45°角进入磁场。粒子重力不计。

（1）求匀强电场的场强大小E；

（2）要使粒子能够进入第三象限,求第四象限内磁感应强度8的大小范围；

（3）若第三象限内磁感应强度大小为第四象限内磁感应强度大小的2倍，则要使粒子能够垂直边界飞

出第三象限的磁场，求第四象限内磁感应强度B的可能取值。

XXX9

XXXX

XXXX

XXXX

MN~

【答案】⑴与*;⑵B<(1+金".⑶幽弁侬，且九是0或小于U+产力—1的正整数

2qh2qh2qLbho

【详解】(1)在第一象限内，粒子在电场力作用下做类平抛运动，则有

Vy—2ah,qE—ma,vy="（）tan450

联立解得

2qh

(2)粒子在Q点的速率为

3

V

Vcos450=V2Q

根据类平抛运动的规律可得

h

x=vot

联立解得

X—2H

粒子进入第四象限后做匀速圆周运动，如图所示

轨迹恰与沙轴相切时，磁感应强度最大；则有

-.2

qvB=

max•^rnin

x=/?min(l+cos45°)

联立解得

(1+077Wo

Pi--------------------

2qh

则磁感应强度B的大小范围为

(1+42)TYIVQ

B<

2qh

(3)由洛伦兹力提供向心力得

一

qvB=rn——

此

v2

qv•O2±D>=

可得

qB

粒子由Q点进入第四象限后运动半周进入第三象限，作出粒子在第四、第三象限的可能运动轨迹如图所示

要使粒子能够垂直边界飞出第三象限的磁场，则满足的条件为

)o

22?1sin45°+_R2sin45°+n(2/?!+2/?2sin45=L(n=0,1,2•••)

联立解得

(6nm?；0

B^t?-(n=0,l,2-)

2qL

粒子要进入第三象限需满足

口/(1+V2)mv0

2qh

可得

(6n+(1+V2)mv0

2qL2qh

解得

(1+四-

n

6h

综上可知，B的可能值为B=、九:?馆"°,且九是o或小于“七--f-的正整数