江苏省姜堰2024届中考数学四模试卷含解析

江苏省姜堰实验市级名校2024届中考数学四模试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.已知a-2b=-2,则4-2a+4b的值是（）

A.0B.2C.4D.8

2.用五个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，从正面看到的图形是（）

4.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60。方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间

后，到达位于灯塔P的南偏东30。方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为（）

A.60海里B.45海里C.206海里D.30指海里

5.如图，点A为Na边上任意一点，作AC_LBC于点C,CD_LAB于点D,下列用线段比表示cosa的值，错误的是

B

CDBCBDAD

A.——B.——C.-----D.——

ACABBCAC

6.如图，AOABsaoCD,OA：OC=3：2,NA=a,ZC=p,△OAB与△OCD的面积分别是Si和S2,△OAB

与AOCD的周长分别是Ci和C2,则下列等式一定成立的是（)

OB3a3S}3C3

A.----=—B.—=-C—L=—D.—

CD2P2S22C22

7.如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点,E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC上从点B

向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）

B.线段EF的长逐渐减小

C.线段EF的长始终不变D.线段EF的长与点P的位置有关

8.“保护水资源，节约用水”应成为每个公民的自觉行为.下表是某个小区随机抽查到的10户家庭的月用水情况，则

下列关于这10户家庭的月用水量说法错误的是（）

月用水量（吨）4569

户数（户）3421

A.中位数是5吨B.众数是5吨C.极差是3吨D.平均数是5.3吨

9.如图，已知两个全等的直角三角形纸片的直角边分别为。、b（a^b）,将这两个三角形的一组等边重合，拼合成

一个无重叠的几何图形，其中轴对称图形有（）

C.5个；D.6个.

%21

10.分式方程--7-一二=1的解为()

%+1)X+1

2

A.x=lB.x=0C.x=-----D.x=-1

3

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.不等式组3的解集为___.

2%-1<0

12.计算:（a2）2=.

13.已知点A,B的坐标分别为（-2,3）、（1,-2）,将线段AB平移，得到线段A，B，，其中点A与点A，对应，点

B与点B，对应，若点A，的坐标为（2,-3）,则点B，的坐标为.

14.将两块全等的含30。角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1,如图2,将RtABCD沿射线BD方向平

移，在平移的过程中，当点B的移动距离为时，四边ABGDi为矩形；当点B的移动距离为时，四

边形ABCiDi为菱形.

nj—1x

15.若关于x的方程一；——7=0有增根，则m的值是

X—1x—1

16.用换元法解方程2二=3时，如果设H=y,那么原方程化成以y为“元”的方程是

Xx+1X

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，一次函数y=ax-1的图象与反比例函数y="的图象交于A,B两点，与x轴交于点C,与y轴交

x

（1）求a,k的值及点B的坐标;

(2)观察图象，请直接写出不等式ax-珍人的解集；

x

(3)在y轴上存在一点P,使得△PDC与AODC相似，请你求出P点的坐标.

18.(8分)已知，抛物线工：y=炉-26x-3(Z?为常数).

图1图2

(1)抛物线的顶点坐标为(,)(用含b的代数式表示)；

(2)若抛物线L经过点”(-2,-1)且与丁=勺图象交点的纵坐标为3,请在图1中画出抛物线L的简图，并求丁=工

XX

的函数表达式；

(3)如图2,规矩ABC。的四条边分别平行于坐标轴，AD=1,若抛物线L经过AC两点，且矩形ABC。在其对

称轴的左侧，则对角线AC的最小值是.

19.(8分)如图，A8是。。的直径，点C在43的延长线上，CZ＞与。。相切于点O,CEVAD,交的延长线于

点E.

(1)求证：ZBDC=ZAt

(2)若CE=4,DE=2,求AO的长.

20.(8分)如图，将连续的奇数1,3,5,7…按如图中的方式排成一个数，用一个十字框框住5个数，这样框出的任

意5个数中，四个分支上的数分别用a,b,c,d表示，如图所示.

1379

1315171921

2527293133

3739414345

图1

(1)计算:若十字框的中间数为17,则a+b+c+d=

(2)发现:移动十字框，比较a+b+c+d与中间的数.猜想：十字框中a、b、c、d的和是中间的数的

(3)验证：设中间的数为x,写出a、b、c、d的和，验证猜想的正确性;

(4)应用：设M=a+b+c+d+x,判断M的值能否等于2020,请说明理由.

21.(8分)先化简，再求值：(2x+y)2+(x—y)(x+y)—5x(x—y),其中x=&+l，y=42-l.

22.(10分)如图，二次函数丫=a*2+2*+。的图象与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3).

(1)求该二次函数的表达式;

(2)过点A的直线AD〃BC且交抛物线于另一点D,求直线AD的函数表达式

(3)在(2)的条件下，请解答下列问题:

①在x轴上是否存在一点P,使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在,

请说明理由;

②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒巫个单位的速度沿线段DB

5

从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，4DMN的面积最大，并求出这个最大值.

23.(12分)如图，AB〃CD,以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB,AC于E,F两点，再分别以

E,F为圆心，大于』EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P,连接AP,交CD于点M,若NACD=110。，求NCMA

2

的度数.

24.甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地

面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米,

现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）.求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及

飞行的最高高度.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解题分析】

■:a-2b=-2,

:.-a+2b=2,

-2a+4b=4,

/.4-2a+4b=4+4=8,

故选D.

2、A

【解题分析】

从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，

故选：A.

3、B

【解题分析】设多边形的边数为n,则有（n-2）xl80°=nxl50°,解得：n=12,

故选B.

4、D

【解题分析】

根据题意得出：NB=30。，AP=30海里，NAPB=90。，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案.

【题目详解】

解：由题意可得：NB=30。，AP=30海里，ZAPB=90°,

故AB=2AP=60（海里），

则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP=7AB2-AP2=30A/3（海里）

故选：D.

【题目点拨】

此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键.

5、D

【解题分析】

根据锐角三角函数的定义，余弦是邻边比斜边，可得答案.

【题目详解】

BDBCCD

cosa-----=-----=-----.

BCABAC

故选D.

【题目点拨】

熟悉掌握锐角三角函数的定义是关键.

6、D

【解题分析】

A选项，在△OABs/\oCD中，OB和CD不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似比，所以A选项不一定成立;

B选项，在A0ABs/\0CD中，NA和NC是对应角，因此。=力，所以B选项不成立；

C选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C选项不成立；

D选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D选项一定成立.

故选D.

7、C

【解题分析】

试题分析：连接AR,根据勾股定理得出AR=JA£>2+DR2的长不变,根据三角形的中位线定理得出EF=gAR,即

可得出线段EF的长始终不变，

故选C.

考点：1、矩形性质，2、勾股定理，3、三角形的中位线

8、C

【解题分析】

根据中位数、众数、极差和平均数的概念，对选项一一分析，即可选择正确答案.

【题目详解】

解：A、中位数=(5+5)+2=5(吨)，正确，故选项错误；

B、数据5吨出现4次，次数最多，所以5吨是众数，正确，故选项错误；

C、极差为9-4=5(吨)，错误，故选项正确；

D、平均数=(4x34-5x4+6x2+9x1)+10=5.3,正确，故选项错误.

故选：C.

【题目点拨】

此题主要考查了平均数、中位数、众数和极差的概念.要掌握这些基本概念才能熟练解题.

9、B

【解题分析】

分析：直接利用轴对称图形的性质进而分析得出答案.

详解：如图所示：将这两个三角形的一组等边重合，拼合成一个无重叠的几何图形，其中轴对称图形有4个.

图4

故选B.

点睛：本题主要考查了全等三角形的性质和轴对称图形，正确把握轴对称图形的性质是解题的关键.

10、C

【解题分析】

首先找出分式的最简公分母，进而去分母，再解分式方程即可.

【题目详解】

解：去分母得：

x2-x-l=(x+1)2,

整理得：-3x-2=0,

2

解得：x=--,

3

2

检验：当*=-—时，(x+1)Vo>

3

2

故*=--是原方程的根.

3

故选C.

【题目点拨】

此题主要考查了解分式方程的解法，正确掌握解题方法是解题关键.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

1

11,-2<x<-

2

【解题分析】

根据解不等式的步骤从而得到答案.

【题目详解】

1-x<3①

12x-l<0②‘

解不等式①可得：》之一2,

解不等式②可得：x<~,

2

故答案为一2夕<」.

2

【题目点拨】

本题主要考查了解不等式，解本题的要点在于分别求解①，②不等式，从而得到答案.

12、a1.

【解题分析】

根据哥的乘方法则进行计算即可.

【题目详解】

（叫2=消2=。4.

故答案为

【题目点拨】

考查塞的乘方，掌握运算法则是解题的关键.

13、（5,-8）

【解题分析】

各对应点之间的关系是横坐标加4,纵坐标减6,那么让点B的横坐标加4,纵坐标减6即为点B，的坐标.

【题目详解】

由A（-2,3）的对应点A，的坐标为（2,-13）,

坐标的变化规律可知：各对应点之间的关系是横坐标加4,纵坐标减6,

点B，的横坐标为1+4=5；纵坐标为-2-6=-8；

即所求点B，的坐标为（5,-8）.

故答案为（5,-8）

【题目点拨】

此题主要考查了坐标与图形的变化-平移，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律.

14、昱忑.

3

【解题分析】

试题分析：当点B的移动距离为走时，ZCiBBi=60°,则NABG=90。，根据有一直角的平行四边形是矩形，可判定

3

四边形ABCiDi为矩形；当点B的移动距离为若时，D、B1两点重合，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形,

可判定四边形ABCiDi为菱形.

试题解析：如图：

图1图2

当四边形ABCiD是矩形时，ZBiBCi=90°-30°=60°,

VBiCi=l,

ABBi=4G=1=6

tan60。一而一T"

当点B的移动距离为二巳时，四边形ABGDi为矩形;

3

当四边形ABCiD是菱形时，ZABDi=ZC1BDi=30°,

VBiCi=l,

_^=J_=A/3

/.BBi=tan30°色

T

当点B的移动距离为73时，四边形ABCiDi为菱形.

考点：L菱形的判定；2.矩形的判定；3.平移的性质.

15、2

【解题分析】

去分母得，»i-l-x=0.

•••方程有增根，/.m=2.

2

lfbi、y-——D

y

【解题分析】

分析：根据换元法，可得答案.

Y+]21*2y12

详解：-2=1时，如果设可，那么原方程化成以y为“元”的方程是y—-二1

%x+i%y

2

故答案为y-l=1.

y

X+]

点睛：本题考查了换元法解分式方程，把丁换元为y是解题的关键.

x

三、解答题(共8题，共72分)

2239

17、(1)a=-,k=3,B(--,-2)(2)--<x<0^x>3；(3)(0,-)或(0,0)

3324

【解题分析】

1)过A作AE±x轴，交x轴于点E,在RtAAOE中，根据tanZAOC的值，设AE=x，得到OE=3x,再由OA的长，利用勾股

定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值,确定出A坐标，将A坐标代入一次函数解析式求出a的值，代入反比例

解析式求出k的值，联立一次函数与反比例函数解析式求出B的坐标；

⑵由A与B交点横坐标，根据函数图象确定出所求不等式的解集即可；

(3)显然P与O重合时，满足APDC与4ODC相似;当PC±CD,BPZPCD=90°时，满足三角形PDC与三角形CDO相等,

利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等得到三角形PCO与三角形CDO相似，由相似得比例，根据

OD,OC的长求出OP的长，即可确定出P的坐标.

在RtAAOE中，OA=5/1Q,tanZAOC=—,

3

设AE=x,贝！JOE=3x,

根据勾股定理得：OA2=OE2+AE2,即I0=9X2+X2,

解得：x=l或x=-l(舍去)，

.\OE=3,AE=1,即A(3,1),

将A坐标代入一次函数y=ax-l中，得：l=3a-1,即a=J

将A坐标代入反比例解析式得：1=1,即k=3,

f21

联立一次函数与反比例解析式得：，3,

3

y=—

X

消去y得：x-1=—,

3x

解得：x=-三或x=3,

将x=-二•代入得：y=-1-1=-2,即B(-帝-2)；

(2)由A(3,1),B(-p-2),

根据图象得：不等式-止之的解集为-1<x<0或x>3；

3x2

(3)显然P与O重合时，△PDCS/\ODC；

当PC_LCD,即NPCD=90。时，ZPCO+ZDCO=90°,

VZPCD=ZCOD=90°,ZPCD=ZCDO,

AAPDC^ACDO,

VZPCO+ZCPO=90°,

/.ZDCO=ZCPO,

VZPOC=ZCOD=90°,

AAPCO^ACDO,

.CO_PO

••一9

DOCO

对于一次函数解析式y=-|"XT,令x=0,得至!jy=-l；令y=0,得到X=g

AC(—,0),D(0,-1),BPOC=—,OD=1,

22

2P09

2=3，即OP=一，

——4

12

9

此时P坐标为(0,-),

4

9

综上，满足题意P的坐标为(0,—)或(0,0).

4

【题目点拨】

此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有:待定系数法确定函数解析式,一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形

性质，勾股定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定与性质，利用了数形结合的思想，熟练运用数形结合思想是解题的

关键.

69

18、(1)b,-b--3,(2)图象见解析，y=—或);=——；(3)0

xx

【解题分析】

(1)将抛物线的解析式配成顶点式，即可得出顶点坐标；

(2)根据抛物线经过点M,用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得出图象，然后将纵坐标3代入抛物线的解析

式中，求出横坐标，然后将点再代入反比例函数的表达式中即可求出反比例函数的表示式；

(3)设出A的坐标，表示出C,D的坐标，得到CD的长度，根据题意找到CD的最小值，因为AD的长度不变，所

以当CD最小时，对角线AC最小，则答案可求.

【题目详解】

解：(1)y=x2—2bx—3=x2-2bx+b2-b2-3=(x-Z?)2+3),

二抛物线的顶点的坐标为(b-b2-3).

故答案为：(仇—3)

(2)将M(—2,—1)代入抛物线的解析式得：4+46—3=—1

解得：b=-g,

抛物线的解析式为y=f+%—3.

抛物线L的大致图象如图所示：

将＞=3代入,=/+%_3得:

尤~+x—3=3，

解得：%=2或%=-3

•••抛物线与反比例函数图象的交点坐标为(2,3)或(-3,3).

将(2,3)代入y=勺得：k=6,

X

6

...y=一.

x

将(一3,3)代入y=A得：左=—9,

X

9

・•・,=——•

x

69

综上所述，反比例函数的表达式为丁=—或y=—―.

xx

(3)设点A的坐标为(X,X2-2fct-3),

则点。的坐标为(X+1,尤2—2公一3),

C的坐标为(x+l,Y+(2-2b)x-2b-2).

:.DC=[x2-2bx-3)-[x2+(2-2b)x-2b-2]=-2x+2b-l

DC的长随x的增大而减小.

矩形ABC。在其对称轴的左侧，抛物线的对称轴为x=b,

:.x+l<b

:.x<b-\

二当x=〃—1时，。。的长有最小值，。。的最小值=-2(h—1)+2匕-1=1.

•AZ)的长度不变，

,当。C最小时，AC有最小值.

AC的最小值=ylAD2+DC2=0

故答案为：0.

【题目点拨】

本题主要考查二次函数，反比例函数与几何综合，掌握二次函数，反比例函数的图象与性质是解题的关键.

19、(1)证明过程见解析；(2)1.

【解题分析】

试题分析：(1)连接OD,由CD是。O切线，得到NODC=90。，根据AB为。O的直径，得到NADB=90。，等量代

换得到NBDC=NADO,根据等腰直角三角形的性质得到NADO=NA,即可得到结论；(2)根据垂直的定义得到

ZE=ZADB=90°,根据平行线的性质得到NDCE=NBDC,根据相似三角形的性质得到笑灌，解方程即可得到结

论.

试题解析：(1)连接OD,VCD是OO切线，/.ZODC=90°,即NODB+NBDC=90。，

；AB为。。的直径，/.ZADB=90o,即NODB+NADO=90。，/.ZBDC=ZADO,

VOA=OD,/.ZADO=ZA,.\ZBDC=ZA；

(2)VCE±AE,/.ZE=ZADB=90°,ADB/ZEC,AZDCE=ZBDC,；NBDC=NA,.*.ZA=ZDCE,

VZE=ZE,/.AAEC^ACED,A—AEC^DE.AE,/.11=2(2+AD),.*.AD=1.

DECE

20、(1)68；(2)4倍；(3)4x,猜想正确，见解析；(4)M的值不能等于1,见解析.

【解题分析】

(1)直接相加即得到答案；

(2)根据(1)猜想a+b+c+d=4x；

(3)用x表示a、b、c,d,相加后即等于4x；

(4)得到方程5x=L求出的x不符合数表里数的特征，故不能等于1.

【题目详解】

(1)5+15+19+29=68,

故答案为68；

(2)根据(1)猜想a+b+c+d=4x,

答案为：4倍；

(3)a=x-12,b=x-2,c=x+2,d=x+12,

:.a+b+c+d=x-12+x-2+x+2+x+12=4x,

二猜想正确；

(4)M=a+b+c+d+x=4x+x=5x,

若M=5x=l,解得：x=404,

但整个数表所有的数都为奇数，故不成立，

AM的值不能等于1.

【题目点拨】

本题考查了一元一次方程的应用.当解得方程的解后，要观察是否满足题目和实际要求再进行取舍.

21、9

【解题分析】

根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解

答本题.

【题目详解】

(2%+y)2+(x-y)(x+y)-5x(*-y)

=4尤2+4xy+y2+九2_>2_5%2+5孙

=9xy

当％=夜+1，y=0—1时，

原式=9(夜+1)(夜—1)

=9x(2-l)

=9x1

=9

【题目点拨】

本题考查整式的化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法.

22、(1)y=-x2+2x+3；(2)y=-x-l；(3)P(之,0)或P(-4.5,0)；当t=上也时，SAMDN的最大值为之.

522

【解题分析】

(1)把A(-1,0),C(0,3)代入y=ax?+2x+c即可得到结果；

(2)在y=-x2+2x+3中，令y=0,贝！|京+2*+3=0,得到B(3,0),由已知条件得直线BC的解析式为y=-x+3,由于AD/7BC,

设直线AD的解析式为y=-x+b,即可得到结论；

(3)①由BC〃AD,得至l」NDAB=NCBA,全等只要当生=必或"=%时，△PBCsaABD,解方程组

ADABABAD

y=一尤？+2x+3I—

<得0(4,-5),求得AD=5V2,AB=4,

y=-X-l

8。=3"设？的坐标为(x,0),代入比例式解得x或h-4.5,即可得到P1|,O］或P(-4.5,0)；

BF

②过点B作BF±AD于F,过点N作NE1AD于E,在RtAAFB中，ZBAF=45°,于是得到sinZBAF=——，求得

AB

BF=4义显=2A/2,BD=V26,求得sinZADB=—==久叵，由于DM=56-t,DN=叵t,于是得

2BDV26135

到SMDN=L0M,NE=L(5夜—4/_5")=_』t--+3,即可得到结果.

22、'5555(2)2

【题目详解】

0=〃-2+c

⑴由题意知：L

3=c,

d——1

解得

c=3,

...二次函数的表达式为y=-X2+2X+3；

22

(2)在y=-x+2x