安徽省蚌埠市2024届数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

安徽省蚌埠市重点中学2024届数学高一第二学期期末学业质量

监测模拟试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字

迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上

均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1.设数列M｝是公差不为零的等差数列，它的前〃项和为S,且SS、S成等比

nn124

数列，则｝等于（）

I

A.5B.4C.3D.2

2.若A（l,3）,B（-2,-3）,C（x,7）,设通=2,配=万，且同/，则工的值为（）

A.0B.3C.15D.18

3.下列关于函数f（x）=sinx-l（xE［0,2n］）的叙述，正确的是（）

A.在［。，冗］上单调递增，在［九，2可上单调递减

B.值域为［-2,2］

C.图像关于点伏兀，。）伏eZ）中心对称

D.不等式〃外>盘的解集为［工金兀。<4兀］

2166J

4.化简AB+BZ5—C25的结果是（）

A.ACB.ADC.Z5XD.CA

5.已知y=/（x）是定义在R上的奇函数，当X<。时，/（x）=x+2,那么不等式

2/。）一1<0的解集是（）

5］3.5

A<xl0<x<—>B《xlx<一一或0Vx<—'

2j22j

«xlx<--或Ovxv?■

C.-

22

6.圆心坐标为（1，一1）,半径长为2的圆的标准方程是（）

A.G-l>+(y+l>=2B.G+l>+(y-l>=2

C.G-l>+G+l>=4D.G+l»+(y-l)二4

7.设等差数列｛〃｝的前〃项和为S,若S=-2,5=0,5=3,则加=(

nnm-lmzn+1

A.3B.4C.5D.6

8.已知向量1=〃..〃，，则=()

A.B.C.D.

9.在AABC中，角48,C的对边分别为a,b,c,且。=3,A=—,sinC=2sinB,

3''

则4脑。的周长为（）

A.3+2/B.3+3C.3+3#D.3+376

10.一枚骰子连续投两次，则两次向上点数均为1的概率是（）

1111

A.—B.—■C.-T-D.—

6122436

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

.际）3〃

11.已知smk+a=三，贝qcosa的值为.

12.函数》二豕口^X在xw(_i,g］的值域是.

13.设数列｛〃｝满足〃=L4=4,々=9,a=a+a-aG?>4),

nIx3nw-1〃-2〃一3

2019

14.中，A8=5,AC=8,A=y,则BC=.

15.半径为2的圆上，弧长为。的弧所对圆心角的弧度数为.

16.已知一个扇形的周长为4,则扇形面积的最大值为.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.李克强总理在2018年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一

轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争

力.某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的

一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售

数据G,y）（i=l,2,…,6）,

如表所示：

//

单价X（千元）345678

销量y（百件）7065625956t

已知y=:乙y=60.

6，

/=1

（1）若变量苍，具有线性相关关系，求产品销量y（百件）关于试销单价%（千元）

的线性回归方程勺二温+力；

（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与x对应的产品销量的估计值5\

i

Zxy-nxy

（参考公式：线性回归方程中b.a的估计值分别为6=十二----->a=y-bx）

2-m

i

i=1

18.已知直线（：mx_2（m+l）y+2=0,/,:x_2），+3=0,/J工一y+l=0是三条

不同的直线，其中机£尺.

（1）求证：直线4恒过定点，并求出该点的坐标；

（2）若以4的交点为圆心，2。为半径的圆C与直线（相交于4,8两点，求卜回

的最小值.

19.（I）已知直线/过点（2,3）且与直线工+3〉+2=0垂直，求直线/的方程；

（II）求与直线y=2x+i的距离为"的直线方程.

20.如图，已知PA_L平面A5CO,A8CO为矩形，M、N分别为AB、PC的中点,

PA=AD,AB=2,AD=y/2.

（1）求证：MN“平面PAD-

（2）求证：面MFCJ■平面PC。；

（3）求点8到平面M/VC的距离.

21.已知函数/（太）=>/1+2*—21-21.

（1）证明函数/G）在定义域上单调递增；

（2）求函数/G）的值域；

（3）令gG）=2m，l-4r+£尺）,讨论函魏?Q）零点的个数.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1、A

【解题分析】

设等差数列M｝的公差为d（d。。），根据，=SS得出气与d的等量关系，即可计

n2141

算出子的值.

1

【题目详解】

设等差数列M｝的公差为d（dw°）,由于SrS、S成等比数列，则有S2=SS,

n1242I4

所以，（2。+d>=a（4〃+6d）,化简得d=2a,因此，&=幺土卫=工=5.

1111aaa

iii

故选：A.

【题目点拨】

本题考查等差数列前〃项和中基本量的计算，解题的关键就是结合题意得出首项与公差

的等量关系，考查计算能力，属于基础题.

2、B

【解题分析】

首先分别求出向量G,.,然后再用两向量平行的坐标表示，最后求值.

【题目详解】

AB=i7=(-3,-6),BC=5=G+2,10),

当4〃万时，(-3)X10-(-6)XQ+2)=0,

解得x=3.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了向量平行的坐标表示，属于基础题型.

3、D

【解题分析】

运用正弦函数的一个周期的图象，结合单调性、值域和对称中心，以及不等式的解集,

可得所求结论.

【题目详解】

函数/(x)=sinx+l(X€[0,2T:]),

在°，三)，(费，2兀)单调递增，<亍,=)上单调递减；

值域为@2]；

图象关于点(兀』)对称；

由/(x)>k可得smx>k，解得：-Tt<x<-n,

2266

故选：D.

【题目点拨】

本题考查三角函数的图象和性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.

4、A

【解题分析】

根据平面向量加法及数乘的几何意义，即可求解，得到答案.

【题目详解】

根据平面向量加法及数乘的几何意义，可得

AB+BD-Cb=Ab-Cb=AD+DC=ACf

故选A.

【题目点拨】

本题主要考查了平面向量的加法法则的应用，其中解答中熟记平面向量的加法法则是解

答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

5、B

【解题分析】

根据奇函数的性质求出>=/«的解析式，然后分类讨论求出不等式

2/*)—1<0的解集.

【题目详解】

因为y=是定义在R上的奇函数，所以有/(。)=。，显然工=0是不等式的解集;

3

当x<0时，2f(x)-1<0=2(x+2)-1<0=%<-彳；

当x>0时，f(x)==x-2,2/(x)-l<0=>2(x-2)-1<0=>0<x<1.,

f35'

综上所述：不等式2/(幻一IvO的解集是|xlx<一,或1故本题选B.

【题目点拨】

本题考查了利用奇函数性质求解不等式解集问题，考查了分类思想，正确求出函数的解

析式是解题的关键.

6、C

【解题分析】

根据圆的标准方程的形式写.

【题目详解】

圆心为(1,一1),半径为2的圆的标准方程是G-l»+(y+l>=4.

故选C.

【题目点拨】

本题考查了圆的标准方程，故选C.

7、C

【解题分析】

由S=0=>a=-a=-(5-S)=-2又。=S-S=3,可得公差

m1mmm-1m+1m+lm

d=a-a=1,从而可得结果.

m+lm

【题目详解】

•・・{〃}是等差数列

c+a）八

S=-----1----—=0

-2

=>a=-a=-（5-S）=-2

Immm-I

又。=S-S=3,

m+1m+1m

:•公差d=a-a=1

m+lmf

3=a=a+m=-2+m=>m=5故选C.

M+l1t

【题目点拨】

本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答

问题的能力，属于中档题.

8、C

【解题分析】

由向量的坐标运算表示五十小再由数量积的坐标运算即可得解.

【题目详解】

解：因为，则；

故选C.

【题目点拨】

本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目.

9、C

【解题分析】

根据sinC=2sinB,得到c=2b,利用余弦定理，得到关于b的方程，从而得到b,c

的值，得到△ABC的周长.

【题目详解】

b

在A"。中'由正弦定理蔡—=2R

sinBsinC

因为sinC=2sinB,所以c=2b

71

因为。=3,A4=y,所以由余弦定理得〃2=从+C2-2bccosA

即9=。2+4枕一解得b=JT,

所以c=2b=2jJ

所以.ABC的周长为3+3/♦

故选C.

【题目点拨】

本题考查正弦定理的角化边，余弦定理解三角形，属于简单题.

10、D

【解题分析】

连续投两次骰子共有36种，求出满足情况的个数，即可求解.

【题目详解】

一枚骰子投一次，向上的点数有6种，则连续投两次骰子共有36种,

两次向上点数均为1的有1种情况，概率为9.

故选:D.

【题目点拨】

本题考查古典概型的概率，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

3

5

【解题分析】

利用诱导公式将等式sin[1+Q）=|化简，可求出cosa的值.

【题目详解】

.（71）33

由诱导公式可得sm-+a=cosa=_,故答案为

【题目点拨】

本题考查利用诱导公式化简求值，在利用诱导公式处理化简求值的词题时，要充分理解

“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查运算求解能力，属于基础题.

12、[1,兀）

【解题分析】

利用反三角函数的性质及工可得答案.

【题目详解】

.,l1兀1

解：•・•X£（-L—n],且cos汽=-l,cos—=—ye[0,71],

232

•••y呜，兀），

7t、

故答案为：［r于，兀）

【题目点拨】

本题主要考查反三角函数的性质，相对简单.

13、8073

【解题分析】

对〃分奇偶讨论求解即可

【题目详解】

当〃为偶数时，a-a,=a-a一气=3

nn-1n-2n-321

当〃为奇数时，a—a—a—a—•••a—a—5

nrr-1/i-2n-332

故当〃为奇数时，

_ncn~\..今

a=a-a+a-a+…+〃-a+a=5x------+3x-------+1=4n-3

nnn-1n-1n-221122

故a=4x2019-3=8073

2019

故答案为8073

【题目点拨】

本题考查数列递推关系，考查分析推理能力，对〃分奇偶讨论发现规律是解决本题的关

键，是难题

14、7

【解题分析】

在A43C中，利用余弦定理得到=AB2+4C2=2A5-ACCOSA,即可求解，得

到答案.

【题目详解】

由余弦定理可得BCz=ABi+.402-2AB-ACcosA=524-82-2x5x8x-l=49,

2

解得8C=7.

故答案为：7.

【题目点拨】

本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的余弦定理，准确计算是解答

的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

n

15、

4

【解题分析】

根据弧长公式即可求解.

【题目详解】

由弧长公式/=a"可得

兀

I2兀

Q=—==一

r24

兀

故答案为：-

4

【题目点拨】

本题主要考查了孤长公式的应用，属于基础题.

16、1

【解题分析】

表示出扇形的面积，利用二次函数的单调性即可得出.

【题目详解】

设扇形的半径为一，圆心角为则弧长/=人,

/.2r+ra=4,即a=2-2,

r

•••该扇形的面积S=!(X"2=L(--2r2=-r2+2r=-(r-l)2+l<l,

22\rJ

当且仅当r=l，a=2时取等号.

,该扇形的面积的最大值为1.

故答案：L

【题目点拨】

本题考查了瓠长公式与扇形的面积计算公式、二次函数的单调性，考查了计算能力，属

于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17、(1)y=-4x+82(2)y=70,y=66,$=62,y=58,y=54,y=50

123456

【解题分析】

(l)先计算1=48,将数据代入公式得到方=-4,6=82,线性回归方程为

y=-4x+82

（2）利用（1）中所求的线性回归方程，代入数据4=3,4,5,6,7,8分别计算得到答案

【题目详解】

（1）由歹=!苫

y=60,可求得［=48,

O/

1=1

故Exy=1910,〃石=1980,EX2=199,n?=i81.5,

rii

r=l；=l

Exy-nxy

代入可前二节二一"—1910-1980__70_

199-181.5~\T5~~

乙X2-nx2

a=y—bx=60+4x5.5=82,

所以所求的线性回归方程为？=—4X+82.

（2）利用（1）中所求的线性回归方程亍=-4工+82可得，当匕=3时，y=70.当

x=4时，y=66.当x=5时，y=62.当x=6时，y=58.当x=7时，

2233445

y=54.当/=8时，y=50.

566

【题目点拨】

本题考查了线性回归方程的计算，求估计值，意在考查学生的计算能力和对于回归方程

公式的理解应用.

18、（1）证明见解析；定点坐标。（2』）；（2）2师

【解题分析】

（1）将（整理为：WQ-2J）-（2>'-2）=0,可得方程组，从而求得定点；（2）直线

方程联立求得圆心坐标，将问题转化为求圆心到直线（距离的最大值的问题，根据圆的

性质可知最大值为8,从而求得卜8|最小值.

【题目详解】

（1）证明：I：3_2（血+1））+2=0,可化为：w（x-2y）-（2y-2）=0

x-2y=0

令彳^o八，解得：x=2,>=1

2y-2=0

・二直线（恒过定点。（2』）

（2）将/,：x_2y+3=0,4：x-y+l=0联立可得交点坐标C（L2）

设C（l,2）到直线（的距离为d,则产|=2〃2-公=2也2-d2

则求|A目的最小值，即求d的最大值

由（1）知，直线/恒过点。（21）,则d最大时，8JL/,即d=CD

1max

•/\CD|=J（2-l>+（l-2>="

:.\AB\=271^2=2710

min

【题目点拨】

本题考查直线过定点问题的求解、直线被圆截得弦长的最值的求解，关键是能够根据圆

的性质确定求解弦长的最小值即为求解圆心到直线距离的最大值，求得最大值从而代入

求得弦长最小值.

19、（I）3x-y-3=0；（II）2x-y+6=0或2x-y-4=0.

【解题分析】

（I）根据直线/与直线x+3y+2=0垂直，求得直线/的斜率为k=3,再利用直线

的点斜式方程，即可求解；

（II）设所求直线方程为y=2x+，〃，由点到直线的距离公式，列出方程，求得〃，的

值，即可得到答案.

【题目详解】

（I）由题意，设所求直线/的斜率为％,

由直线x+3y+2=0的斜率为勺=一“

因为直线/与直线x+3y+2=0垂直，所以直线/的斜率为R=3,

所以所求直线的方程为直线/的方程为：y-3=3（x-2）,即3x-y-3=0.

（II）设所求直线方程为y=2x+",即2x-y+m=°,

直线y=2x+l上任取一点（0,1）,

由点到直线的距离公式，可得d=l/।=/,解得机=6或・4,

所以所求直线方程为：2x—y+6=0或2x_y_4=0.

【题目点拨】

本题主要考查了直线方程的求解，两直线的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式

的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）叵.

2

【解题分析】

（1）利用线面平行的判定定理，寻找面PAD内的一条直线平行于MN,即可证出；（2）

先证出一条直线垂直于面PCD,依据第一问结论知，MN也垂直于面PCD,利用面面

垂直的判定定理即可证出；

（依据等积法匕”“二匕”幢，即可求出点到平面的距离.

3）B-MNCN-MBC8MNC

【题目详解】

证明：（1）取尸。中点为G,连接NG,4G,M、N分别为AB、PC的中点，

:.NG〃CD,NG=gcD,AM〃CD,AM=lcD,.\AMNG是丑行四边形，

MV〃AG,AGu平面24。，MN«平面PAD,：.MN〃平面PAD

证明：（2）因为尸A_L平面ABC。，所以~4_LCO,而CD1AD,24cAO=A

「.CD_L而PAD,而4Gu面PAO,所以CO_LAG,

由94=4）,G为尸。的终点，所以AGJ_P。

由于AG±PD,AG_LCD,:.AG_L平面PDC,又由（1）知，MN//AG

MN_L平面PDC,MNu平面MPC，，平面MPC1平面PCD

解：（3）V=V=LsLpAt

B-MNCN-