期末专题06 概率（条件概率、全概率、贝叶斯公式）与统计大题综合（30题）（解析版）-备战期末高二数学

期末专题06概率（条件概率、全概率、贝叶斯公式）与统计大题综合（精选30题）1．（22-23高二下·湖北武汉·期末）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.(1)求次传球后球在甲手中的概率；(2)求次传球后球在乙手中的概率；(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，，则，记前n次传球后（即从第1次传球到第次传球后）球在甲手中的次数为，求.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，设次传球后球在甲手中的概率为，，分析可得，，由此可得，变形可得，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可；（2）记表示事件“经过次传球后，球在乙手中”，设次传球后球在乙手中的概率为，，分析可得，，由此可得，变形可得，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可；（3）结合第（1）问结论和题设条件，运用等比数列求和公式分组求和即可求解.【详解】（1）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，设次传球后球在甲手中的概率为，，若发生，即经过次传球后，球再次回到甲手中，那么第次传球后，球一定不在甲手中，即事件一定不发生，则有，，必有,即，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即.（2）记表示事件“经过次传球后，球在乙手中”，设次传球后球在乙手中的概率为，，若发生，即经过次传球后，球在乙手中，那么第次传球后，球一定不在乙手中，即事件一定不发生，则有，，必有,即，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即.（3）由题意次传球后球在甲手中的次数服从两点分布，且，所以，，由（1）得，则.2．（22-23高二下·广东韶关·期末）“颗颗黑珠树中藏，此物只在五月有．游人过此尝一颗，满嘴酸甜不思归．”东魁杨梅是夏天的甜蜜馈赠．每批次的东魁杨梅进入市场前都必须进行两轮检测，只有两轮检测都通过才能进行销售，否则不能销售，已知第一轮检测不通过的概率为，第二轮检测不通过的概率为，两轮检测是否通过相互独立．(1)求一个批次杨梅不能销售的概率；(2)如果杨梅可以销售，则该批次杨梅可获利400元；如果杨梅不能销售，则该批次杨梅亏损800元（即获利元）．已知现有4个批次的杨梅，记4批次的杨梅（各批次杨梅销售互相独立）获利元，求的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，640【分析】（1）求一个批次杨梅不能销售的概率，可用对立事件来求解，即两轮检查都通过.（2）每个批次杨梅销售情况相互独立且重复，基于此可快速利用独立事件的计算公式求出分布列,进而算出期望.【详解】（1）记“一个批次杨梅不能销售”为事件A，则，所以一个批次杨梅不能销售的概率为.（2）依据题意，X的取值为，，，400，1600，，，，，，所以X的分布列为：X4001600P3．（22-23高二下·吉林通化·期末）无论是国际形势还是国内消费状况，2023年都是充满挑战的一年，为应对复杂的经济形势，各地均出台了促进经济发展的各项政策，积极应对当前的经济形势，取得了较好的效果.某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销的活动，活动之初，利用各种媒体进行大量的广告宣传，为了解传媒对本次促销活动的影响，在本市内随机抽取了6个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下：卖场123456宣传费用2356812销售额303440455060(1)求y关于x的线性回归方程(2)预测当宣传费用至少多少万元时（结果取整数），销售额能突破100万元；附：参考数据，回归直线方程中和的最小二乘法的估计公式分别为：，.【答案】(1)(2)至少为25万元时【分析】先计算出最小二乘法中的，代入公式中求出，求出回归方程，再根据回归方程，将代入，求出x即可.【详解】（1），，所以，，所以；（2）令，解得（万元）.故当宣传费用至少为25万元时，销售额能突破100万元；综上，回归方程为，若欲销售额突破100万，则宣传费用至少25万.4．（22-23高二下·福建三明·期末）近几年，电商的蓬勃发展带动了快递行业的迅速增长.为了获得更大的利润，某快递公司在城市的网点对“一天中收发一件块递的平均成本（单位：元）与当天揽收的快递件数（单位：千件）之间的关系”进行调查研究，得到相关数据如下表：每天揽收快递件数（千件）23458每件快递的平均成本（元）5.64.84.44.34.1根据以上数据，技术人员分别根据甲、乙两种不同的回归模型，得到两个经验回归方程：方程甲：，方程乙：．(1)为了评价两种模型的拟合效果，完成以下问题：①根据上表数据和相应回归方程，将以下表格填写完整（结果保留一位小数）：每天揽收快递件数xi/千件23458每件快递的平均成本yi/元5.64.84.44.34.1模型甲预报值5.254.8随机误差－0.40.20.4模型乙预报值5.54.84.5随机误差－0.100.1（备注：称为相应于点的随机误差）②分别计算模型甲与模型乙的随机误差平方和，并依此判断哪个模型的拟合效果更好．(2)已知该快递网点每天能揽收的快递件数（单位：千件）与揽收一件快递的平均价格（单位：元）之间的关系是，根据（1）中拟合效果较好的模型建立的回归方程解决以下问题：①若一天揽收快递6千件，则当天总利润的预报值是多少？②为使每天获得的总利润最高，该快递网点应该将揽收一件快递的平均价格定为多少？（备注：利润＝价格－成本）【答案】(1)①表格见解析；②，，模型乙的拟合效果较好(2)①元；②6.75元【分析】（1）根据题意，利用其给出的公式，完成表格以及误差平方和，通过比较，可得答案；（2）根据题意，建立总利润的函数解析式，根据其求得函数值，结合函数单调性求得最值.【详解】（1）（1）①表中数据填写如下：每天揽收快递件数千件23458每件快递的平均成本元5.64.84.44.34.1模型甲预报值5.25.04.84.64.0随机误差－0.40.20.40.3－0.1模型乙预报值5.54.84.54.34.0随机误差－0.100.10－0.1②计算可得：，．因为，所以模型乙的拟合效果较好．（2）解法一：①设每天获得的总利润为，则当时，由回归方程得．由得，所以总利润的预报值（元）.②由，则，所以当时，取得最大值，此时，所以当揽收平均价格定为6.75元时，该网点一天的总利润最大．解法二：①每天获得的总利润为，则当时，由回归方程得．由得，所以总利润的预报值（千元）②设揽收一件快递的平均价格为元，由，得揽收快递件数，所以，平均成本，所以每天获得的总利润为．当时，该快递网点每天获得的总利润最大，所以当揽收平均价格定为元时，该网点一天的总利润最大．5．（22-23高二下·安徽滁州·期末）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某公司对电动汽车进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据：年代2016201720182019202020212022年份代码1234567利润（单位：百万元）29333644485259(1)请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合与的关系（精确到0.01）；(2)建立关于的回归方程，预测2024年该公司所获得的利润．参考数据：；；；；．参考公式：相关系数；回归方程中，，．【答案】(1)答案见解析(2)，百万元【分析】（1）首先求出，，再结合所给参考数据求出相关系数，即可得解；（2）求出、即可得到回归直线方程，再将代入计算可得.【详解】（1）已知，，所以，，所以，所以说明与的线性相关程度很强，则能用线性回归模型模拟与的关系；（2）由（1）知，所以，则，因为当时，其表示2016年，所以当时，其表示年，则（百万元），即预计年该公司所获得的利润为百万元．6．（22-23高二下·陕西渭南·期末）某公司对其产品研发的年投资额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：(1)求变量和的样本相关系数（精确到），并推断变量和的线性相关程度；（若，则线性相关性程度很强；若，则线性相关性程度一般，若，则线性相关性程度很弱.）(2)求年销售量关于年投资额的经验回归方程.并预测投资额为700万无时的销售量.（参考：）参考：，，.【答案】(1)，变量和的线性相关程度很强；(2)，投资额为700万时的销售量为千件.【分析】（1）计算出相关系数所需的数据，根据公式即可求出；（2）根据公式即可求出与的值，即可得出回归方程．【详解】（1）由题意，，，，，，，，变量和的线性相关程度很强；（2），，年销售量关于年投资额的线性回归方程为．当时，，所以研发的年投资额为700万元时，产品的年销售量约为千件．7．（22-23高二下·山东东营·期末）2021年4月7日，“学习强国”上线“强国医生”功能，提供智能导诊、疾病自查、疾病百科、健康宣传等多种医疗健康服务.(1)为了解“强国医生”使用次数的多少与性别之间的关系，某调查机构调研了200名“强国医生”的使用者，得到表中数据，根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关；男女总计使用次数多40使用次数少30总计90200(2)该机构统计了“强国医生”上线7天内每天使用该服务的女性人数，“强国医生”上线的第x天，每天使用“强国医生”的女性人数为y，得到以下数据：x1234567y611213466100195通过观察散点图发现样本点集中于某一条曲线的周围，求y关于x的回归方程，并预测“强国医生”上线第12天使用该服务的女性人数.附：随机变量0.050.020.010.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828其中参考公式：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为61.91.651.825223.98【答案】(1)表格见解析，有99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关(2)，3980人【分析】（1）根据已知数据完成表格，计算出与附表中值作比较可得答案；（2）将两边同时取常用对数，设，则，求出，可得y关于x的回归方程，把代入回归方程，可得答案.【详解】（1）男女总计使用次数多4080120使用次数少503080总计90110200，所以有99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关；（2）将两边同时取常用对数得，设，则，因为，所以，所以，所以y关于x的回归方程为把代入回归方程，得，所以“强国医生”上线第12天，使用该服务的女性约有3980人.8．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）随着人们生活水平的提高，健康越来越成为当下人们关心的话题，因此，健身也成了广大市民的一项必修课.某健身机构统计了2022年1∼5月份某初级私人健身教练课程的月报名人数（单位：人）与该初级私人健身教练价格（单位：元/小时）的情况，如下表所示.月份12345初级私人健身教练价格（元/小时）210200190170150初级私人健身教练课程的月报名人数（人）587911(1)求（，2，3，4，5）的相关系数r，并判断月报名人数y与价格x是否有很强的线性相关性?（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）(2)请建立关于的线性回归方程；（精确到0.001）(3)当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为多少人?（结果保留整数）参考公式：对于一组数据（，2，3，…，n），相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：.，，.【答案】(1)-0.929，与有很强的线性相关性(2)(3)4人.【分析】（1）利用公式求得相关系数判断；（2）利用公式分别求得，，写出回归方程；（3）将代入回归方程求解.【详解】（1）解：由已知数据可得：，，

相关系数因为，所以与有很强的线性相关性.（2）因为，，所以关于的线性回归方程为.（3）当时，，故当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为4人.9．（22-23高二下·辽宁沈阳·期末）区教育局准备组织一次安全知识竞赛．某校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，记A＝“性别为男”，B＝“得分超过85分”，且，，．(1)完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否推断该校学生了解安全知识的程度与性别有关？性别了解安全知识的程度合计得分不超过85分的人数得分超过85的人数男女合计(2)学校准备分别选取参与测试的男生和女生前两名学生代表学校参加区级别的竞赛，已知男生获奖的概率为，女生获奖的概率为，记该校获奖的人数为X，求X的分布列与数学期望．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)表格见解析，了解安全知识的程度与性别有关(2)分布列见解析，【分析】（1）根据条件概率的有关公式计算出列联表中男女人数，再根据卡方公式计算；（2）根据超几何分布的思想计算分布列和数学期望.【详解】（1）由，超过85分的人数为（人），不超过85分的人数为（人），因为，，，，所以，即，，，故200人中男性人数为（人），女性人数为（人），又，即不超过85分的人中，男性为（人），女性为（人），故在超过85分的人中，男性=（人），女性（人），列联表如下：性别了解安全知识的程度合计得分不超过85分的人数得分超过85的人数男20100120女305080合计50150200零假设为：该校学生了解安全知识的程度与性别没有关联．经计算得到根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以推断H0不成立，即认为了解安全知识的程度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001；（2）X可能取0，1，2，3，4．；；；；所以X的分布列为X01234P所以．综上，在犯错误的概率不大于0.001的前提下认为了解安全知识的程度与性别有关，数学期望为.10．（22-23高二下·辽宁朝阳·期末）乒乓球，被称为中国的“国球”，是一项集力量、速度、柔韧、灵敏和耐力素质为一体的球类运动，同时又是技术和战术完美结合的典型.打乒乓球能使眼球内部不断运动，血液循环增强，眼神经机能提高，因而能使眼睛疲劳消除或减轻，起到预防治疗近视的作用.乒乓球的球体小，速度快，攻防转换迅速，技术打法丰富多样，既要考虑技术的发挥，又要考虑战术的运用.乒乓球运动中要求大脑快速紧张地思考，这样可以促进大脑的血液循环，供给大脑充分的能量，具有很好的健脑功能.乒乓球运动中既要有一定的爆发力，又要有动作的高度精确，要做到眼到、手到和步伐到，提高了身体的协调和平衡能力.不管学习还是工作，每天都或多或少有点压抑，打球能使大脑的兴奋与抑制过程合理交替，避免神经系统过度紧张.某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示：乒乓球爱好者非乒乓球爱好者总计男4056女24总计100(1)补全列联表，并判断我们能否有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？(2)为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为X，求X的分布列和数学期望.参考公式：，.0.050.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关；(2)分布列见解析，【分析】（1）由的公式可求值，根据表格可判断有关；（2）由分层抽样确定男女生人数，根据X的取值分别求得概率，列分布列求期望即可.【详解】（1）依题意可得列联表如下：乒乓球爱好者非乒乓球爱好者总计男401656女202444总计6040100零假设为：是否为“乒乓球爱好者”与性别无关联，则，

我们有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关.（2）由（1）得抽取的3人中人为男生，人为女生.

则X的可能取值为0、1、2、3，所以，，，，所以X的分布列为：X0123P

所以.11．（22-23高二下·安徽黄山·期末）某高中学校在5月20日召开高三毕业典礼，为给高三学生创造轻松的氛围，典礼上有一个“开盲盒”游戏环节，主持人拿出10个盲盒，每个盲盒中装有一个学校标志建筑物的模型，其中有3个“校园”模型，4个“图书馆”模型，2个“名人馆”模型，1个“科技馆”模型.(1)一次取出2个盲盒，求2个盲盒为同一种模型的概率；(2)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是“图书馆”模型的概率；(3)甲同学是个“科技狂热粉”，特别想取到“科技馆”模型，主持人为了满足甲同学的愿望，设计如下游戏规则：在一个不透明的袋子中装有大小完全相同的10个小球，其中9个白球，1个红球，有放回的每次摸球一个，摸到红球就可以取走“科技馆”模型，游戏结束．现在让甲同学参与游戏，规定甲同学可以按游戏规则最多摸球10次，若第10次还是摸到白球，主持人直接赠予甲同学“科技馆”模型．设他经过第X次（X=1，2，…，10）摸球并获得“科技馆”模型，求X的分布列.【答案】(1)(2)(3)答案见解析【分析】（1）利用互斥事件的加法求2个盲盒为同一种模型的概率；（2）应用全概率公式求第2次取到的是“图书馆”模型的概率；（3）根据步骤写出X的分布列即可.【详解】（1）设事件“2个盲盒都是“校园”模型”，事件“2个盲盒都是“图书馆”模型”，事件“2个盲盒都是“名人馆”模型”，则与与为互斥事件，∵，，，∴2个盲盒为同一种模型的概率．（2）设事件“第次取到的是“校园”模型”，，设事件“第次取到的是“图书馆”模型”，，设事件“第次取到的是“名人馆”模型”，，设事件“第次取到的是“科技馆”模型”，.，，，，，，，∴由全概率公式知：第2次取到的是“图书馆”模型的概率为：.（3）∵，，，，，，，，，，1234567891012．（22-23高二下·河北保定·期末）某比赛前，甲､乙两队约定来一场热身赛，比赛采用三局两胜制．据以往经验，甲､乙两队实力相当，但是若甲队前一场胜，则下一场胜的概率为，若前一场负，则下一场胜的概率为，比赛没有平局．正式比赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和．(1)求热身赛中甲队获胜的概率；(2)设甲､乙､丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列与数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为【分析】（1）根据已知分类应用概率加法公式及独立事件发生的概率是概率积求解即可；（2）根据进入决赛人数分别写出概率及分布列最后计算数学期望即可.【详解】（1）设热身赛中甲队获胜为事件，则包含胜胜､胜负胜､负胜胜三种情况，所以．（2）甲队进入决赛的概率为；乙队进入决赛的概率为；丙队进入决赛的概率为．的可能取值为．；；．所以的分布列为0123所以．13．（22-23高二下·安徽阜阳·期末）为丰富中学生校园文化生活，某中学社团联合会设立了“数学社”.在某次社团活动中，数学社组织同学进行数学答题有奖游戏，参与者可从两类数学试题中选择作答.答题规则如下：规则一：参与者只有在答对所选试题的情况下，才有资格进行第二次选题，且连续两次选题不能是同一类试题，每人至多有两次答题机会；规则二：参与者连续两次选题可以是同一类试题，答题次数不限.(1)小李同学按照规则一进行答题.已知小李同学答对类题的概率均为0.8，答对一次可得1分；答对类题的概率均为0.5，答对一次可得2分.如果答题的顺序由小李选择，那么两类题他应优先选择答哪一类试题？请说明理由；(2)小王同学按照规则二进行答题，小王同学第1次随机地选择其中一类试题作答，如果小王第1次选择A类试题，那么第2次选择A类试题的概率为0.5；如果第1次选择B类试题，那么第2次选择A类试题的概率为0.8.求小王同学第2次选择A类试题作答的概率.【答案】(1)小李应该优先选择类题作答，理由见解析(2)0.65.【分析】（1）根据独立事件的乘法公式得出随机变量的数学期望，再根据数学期望判断即可；（2）应用全概率公式计算即可得解.【详解】（1）小李同学按照规则一进行答题，若先选择答类题，设小李获得的积分为随机变量，则的所有可能取值为.，，，.若先选择答类题，设小李获得的积分为随机变量，则的所有可能取值为.，，，.小李应该优先选择类题作答.（2）因为小王同学按照规则二进行答题，设“第次选择类试题作答”，“第1次选择类试题作答”，则与互斥.根据题意得.由全概率公式，得.因此，小王同学第2次选择类试题作答的概率为0.65.14．（22-23高二下·辽宁大连·期末）2023年世界乒乓球锦标赛决赛阶段比赛于2023年5月20日至5月28日在南非德班国际会议中心举行，中国男女选手包揽了各项目的冠军，国球运动又一次掀起了热潮．为了进一步推动乒乓球运动的发展，增强学生的体质，某学校在高二年级举办乒乓球比赛，比赛采用了5局3胜制，每场11分，每赢一球得1分，比赛每方球员轮流发两球，发完后交换发球，谁先达到11分谁获得该场胜利，进行下一局比赛．但当双方球员比分达到时，则需要进行附加赛，即双方球员每人轮流发一球，直至一方超过另一方两分则获得胜利．现有甲、乙两人进行乒乓球比赛．(1)已知某局比赛中双方比分为，此时甲先连续发球2次然后乙连续发球2次，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛乙以获胜的概率；(2)已知在某场比赛中，第一局甲获胜，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．两人又进行了局比赛后比赛结束，求的分布列与数学期望．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用相互独立的乘法公式分别求出后四球依次为甲乙乙乙，乙甲乙乙，乙乙甲乙三种的概率，再利用概率的加法公式求解即可.（2）由已知得随机变量的取值为，分别求出每个随机变量的概率，利用期望计算公式求解即可.【详解】（1）由已知条件得甲发球时乙得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，在双方比分为8∶8后甲先连续发球2次然后乙连续发球2次的情况下，乙以11∶9获胜此局分为三种情况：①后四球胜方依次是甲乙乙乙，概率为，②后四球胜方依次是乙甲乙乙，概率为，③后四球胜方依次是乙乙甲乙，概率为，所以，所求事件的概率为;（2）随机变量的取值为，,,,所以的分布列为.15．（22-23高二下·河北唐山·期末）《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理，优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：

(1)根据频率分布直方图，求样本平均数；(2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）[参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，.(3)假如企业包装时要求把3件优等品和4件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品的件数为X，求X的分布列以及期望值.【答案】(1)(2)(3)分布列见解析，；【分析】（1）结合频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表即可求得平均值；（2）先求得，则正品概率，然后利用正态分布概率数据即可得解；（3）X所有可能值为0，1，2，3，再利用超几何分布求出每个的取值所对应的概率即可得到分布列，然后求出数学期望即可.【详解】（1）由频率分布直方图可知，.（2）由题意可知，样本方差，故，所以，该厂生产的产品为正品的概率：；（3）X所有可能值为0，1，2，3.，，，.所以的分布列为数学期望.16．（22-23高二下·福建福州·期末）盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含小兔款玩偶；B款盲盒套餐包含2款不同单品，有的可能性出现小兔款玩偶．(1)甲、乙、丙三人每人购买1件B款盲盒套餐，记随机变量为其中小兔款玩偶的个数，求的分布列和数学期望；(2)某消费者在开售首日与次日分别购买了A款盲盒套餐与B款盲盒套餐各1件，并将6件单品全部打乱放在一起，从中随机抽取1件打开后发现为小兔款玩偶，求该小兔款玩偶来自于B款盲盒套餐的概率．【答案】(1)分布列见解析，(2)【分析】（1）根据二项分布的概率公式，进行计算得分布列及数学期望即可；（2）根据全概率公式及条件概率公式分析计算即可.【详解】（1）由题意，则，，所以的分布列为：0123P；（2）设事件A：随机抽取1件打开后发现为小兔款玩偶，设事件：随机抽取的1件单品来自于A款盲盒套餐，设事件：随机抽取的1件单品来自于B款盲盒套餐，，故由条件概率公式可得，即该小兔款玩偶来自于B款盲盒套餐的概率为．17．（22-23高二下·浙江舟山·期末）在某项测验中，共有20道多项选择题（15道双选题和5道三选题随机排列），每道题都给出了4个选项，其中正确的选项有两个（双选题）或者三个（三选题），全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．现有甲乙两位同学均已答完前19题，两人对于每一题的答对与否均不确定．(1)若甲同学在解答第20题时，随机选择一个选项作答，求他第20题得2分的概率；(2)若乙同学在解答第20题时，已正确判断出A选项是错误的，而对BCD三个选项的正确与否无法确定，现在有三个方案：①从BCD三个选项中随机选一个作为答案；②从BCD选项中随机选两个作为答案；③直接选择BCD作为答案；为使第20题得分的期望最大，乙同学应选择哪个方案作答，并说明理由．【答案】(1)(2)建议乙同学选择方案②作答，理由见解析【分析】（1）根据题意利用条件概率公式和全概率公式求解；（2）方法一：分别求正确答案为两个选项和正确答案为三个选项两种情况的得分期望，结合期望的性质求相应的期望，并对比分析；方法二：根据题意结合独立事件概率乘法公式求相应的分布列和期望，并对比分析.【详解】（1）设事件“第20题为双选题”，事件“第20题得2分”，则，根据全概率公式有.（2）解法一：在20道多项选择题中，双选题出现的概率为，三选题出现的概率为．①当乙从BCD三个选项中随机选一个作答时，设乙同学在解答第20题的得分为，若正确答案为两个选项，则得分的分布列为02此时的期望为；若正确答案为三个选项，则任意选一个均正确，得分，此时的期望为2；故；②当乙从BCD三个选项中随机选两个作答时，设乙同学在解答第20题的得分为.若正确答案为两个选项，则得分的分布列为05的期望为；若正确答案为三个选项，则得分的期望为2；故．③当乙同时选择BCD三个选项作答时，设乙同学在解答第20题的得分为，若正确答案为两个选项，则得分的期望为0：若正确答案为三个选项，则得分的期望为5；故．因此，建议乙同学选择方案②作答．解法二：在20道多项选择题中，双选项由现的概率为，三选题出现的概率为．①当乙从BCD三个选项中随机选一个作答时，设得分为变量，则的可能取值为0、2，则，的概率分布列为02所以；②当乙从BCD三个选项中随机选两个作答时，设得分为变量的可能取值为0、2、5则，的分布列为025所以；③当乙同时选择BCD三个选项作答时，设得分为变量的可能取值为0、5则，的分布列为05故；因此，建议乙同学选择方案②作答．18．（22-23高二下·福建漳州·期末）某学校组织“中亚峰会”知识竞赛，有两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答.若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.类问题中的每个问题回答正确得分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得分，否则得0分.已知学生甲能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若学生甲先回答类问题，，记为学生甲的累计得分，求的分布列和数学期望.(2)若，则学生甲应选择先回答哪类问题，使得累计得分的数学期望最大？并说明理由.【答案】(1)分布列见解析，(2)学生甲应选择先回答类问题，理由见解析【分析】（1）根据题意得的所有可能取值，求出取每个值的概率，可得分布列，根据数学期望公式得数学期望；（2）分别求出学生甲选择先回答类问题和先回答类问题时累计得分的数学期望，再比较数学期望的大小，可得结果.【详解】（1）由题知，，，.的分布列为：0201000.20.320.48.（2）学生甲选择先回答类问题时：，，，.学生甲选择先回答类问题时：，，，，.学生甲应选择先回答类问题.19．（22-23高二下·福建宁德·期末）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响．(1)要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值；(2)当时，求能使系统正常工作的设备数的分布列；(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元；方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”．请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由．【答案】(1)0.8(2)答案见解析(3)决策部门应选择方案2，理由见解析【分析】（1）先用表示出，结合题意即可求出的最小值；（2）由题意可知，满足二项分布，故易得能正常工作的设备数的分布列；（3）分别计算两种方案的损失期望值，即可做出决策.【详解】（1）要使系统的可靠度不低于0.992，设能正常工作的设备数为，则，解得，故的最小值为0.8．（2）设为正常工作的设备数，由题意可知，，，，，，从而的分布列为：01230.0270.1890.4410.343（3）设方案1､方案2的总损失分别为，，采用方案1，更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，可知计算机网络断掉的概率为：，故万元．采用方案2，花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”，计算机网络断掉的概率为：，故万元．因此，从经济损失期望最小的角度，决策部门应选择方案2．20．（22-23高二下·河北秦皇岛·期末）“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，建立纵向到底、横向到边的网络学习平台.“学习强国”学习平台提供权威、准确、详尽、丰富的学习资源，通过组织管理和积分奖励等方法，实现“有组织、有管理、有指导、有服务”的学习.某校团委组织全体教职工参加“学习强国”知识竞赛.现从全校教职工中随机抽取100人，对他们的分数（满分：100分）进行统计，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于90分的人数为X，求随机变量X的分布列和期望.(2)由频率分布直方图，可以认为该地参加竞赛人员的分数Y服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.经计算知样本分数的平均数，样本分数的方差.已知该校教职工共有1000人，估计该校这次竞赛分数不低于87.61分的教职工人数.参考公式：若随机变量Z服从正态分布，则，，.参考数据：.【答案】(1)分布列见解析；(2)159【分析】（1）由题意得到X的所有可能取值为0，1，2，分别求得其相应概率，列出分布列，再求期望；（2）根据题意得到，，再求得即可.【详解】（1）解：由题意可知这100人中得分不低于90分的人数为，则X的所有可能取值为0，1，2，，，.X的分布列为X012P故.（2）由题可得，，则.故该校这次竞赛分数不低于87.61分的教职工人数为.21．（22-23高二下·广东·期末）某篮球联赛分为初赛和复赛两个阶段，组委会根据初赛成绩进行第一阶段排名（假设排名不重复），前六名的球队直接进入复赛，第七、八名的球队进行第一场复活赛，胜者进入复赛；第九、十名的球队进行一场比赛，胜者与第一场复活赛的败者进行第二场复活赛，本场的胜者成为进入复赛的最后一只球队.假设各场比赛结果互不影响，且每场比赛必须分出胜负(1)若初赛后，甲、乙、丙、丁四队分别排在第七、八、九、十名，丁队与甲、乙、丙队比赛获胜的概率分别是0.4，0.5，0.6，甲队与乙队比赛获胜的概率是0.6，则丁队进入复赛的概率是多少?(2)若甲，乙两队进入复赛，在复赛中，甲队与乙队需进行一场五局三胜制的比赛，只要其中一方获胜三局，比赛结束、假设各局比赛结果互不影响.若乙队每局比赛获胜的概率为，设比赛结束时乙队获胜的局数为X，求X的概率分布列与均值.【答案】(1)0.276；(2)分布列见解析，.【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件及全概率公式计算作答.（2）求出的可能值及对应的概率值，列出分布列并求出期望作答.【详解】（1）依题意，记丁队进入复赛的事件为，丁队进入复赛需参加两场比赛，第一场战胜丙队，记为事件，第二场战胜甲乙比赛中的败者，记为事件，甲队战胜乙队记为事件，则，，因此，所以.（2）依题意，的可能值为，，，，，所以的概率分布列为：0123数学期望为.22．（22-23高二下·广东珠海·期末）设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外其他都相同的四个球，其中甲箱有两个黄球和两个黑球，乙箱有三个红球和一个白球，丙箱有两个红球和两个白球.完成以下步骤称为一次“操作”：先一次从甲箱中随机摸出两个球，若从甲箱中摸出的两个球同色，则从乙箱中随机摸出一个球放入丙箱，再一次从丙箱中随机摸出两个球；若从甲箱中摸出的两个球不同色，则从丙箱中随机摸出一个球放入乙箱，再一次从乙箱中随机摸出两个球.(1)求一次“操作”完成后，最后摸出的两个球均为白球的概率；(2)若一次“操作”最后摸出的两个球均为白球，求这两个球是从丙箱中摸出的概率；(3)若摸出每个红球记1分，摸出每个白球记-2分.用表示一次“操作”完成后，最后摸到的两个球的分数之和，求的分布列及数学期望.【答案】(1)(2)(3)分布列见解析，【分析】（1）结合组合数知识，根据概率的乘法和加法公式求解即可；（2）利用条件概率计算即可；（3）确定X的所有可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，代入数学期望公式计算即可.【详解】（1）设“从甲箱摸出两个球为同色”为事件，“从乙箱摸出一个球为红色”为事件，“从丙箱摸出一个球为红色”为事件，“一次操作完成后，最后摸出的两个球均为白色”为事件D，则，所以，，所以，所以，所以.（2）设“这两个球是从丙箱中摸出”为事件，则（3）由题意知，的所有可能值为，，，，所以的分布列为所以.23．（22-23高二下·广东珠海·期末）月日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了名高一学生进行在线调查，得到了这名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成、、、、、、、、九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求这名学生日平均阅读时间的中位数（保留到小数点后两位）；(2)为进一步了解这名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在、、三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中、、、、.当最大时，写出的值，并说明理由.【答案】(1)(2)分布列见解析，(3)，理由见解析【分析】（1）设中位数为，分析可知，，利用中位数的定义可得出关于的等式，解之即可；（2）计算出按分层抽样所抽取的人中，从日平均阅读时间在内的学生抽取的学生人数，分析可知，的可能取值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；（3）分析可知，计算得出，利用二项式系数的性质可求得当取最大值时，的值.【详解】（1）设中位数为，前四个矩形的面积之和为，前五个矩形的面积之和为，所以可设中位数为，由中位数的定义可得，解得.（2）由频率分布直方图，得这名学生中日平均阅读时间在、、三组内的学生人数分别为：，，，若采用分层抽样的方法抽取了人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取人，从这人中随机抽取人，则的可能取值为、、、，，，，，所以，的分布列为数学期望.（3）可知，原因如下：由频率分布直方图，得，解得，所以，学生日平均阅读时间在内的概率为，从该地区所有高一学生中随机抽取名学生，日平均阅读时间在内的学生人数，则，所以，其中，由组合数的性质，得当时，最大，则最大.24．（22-23高二下·山西运城·期末）某中学为宣传传统文化，特举行一次《诗词大赛》知识竞赛.规则如下：两人一组，每一轮竞赛中小组两人分别答两题.若小组答对题数不小于3，则获得“优秀小组”称号.已知甲、乙两位同学组成一组，且甲同学和乙同学答对每道题的概率分别为，.(1)若，，求在第一轮竞赛中，他们获得“优秀小组”称号的概率；(2)若，且每轮竞赛结果互不影响.如果甲、乙同学想在此次竞赛活动中获得6次“优秀小组”称号，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？【答案】(1)；(2)12轮.【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解作答.（2）求出每轮竞赛中获得“优秀小组”称号的概率及范围，再利用二项分布的期望建立不等式，求出竞赛轮数的最小值作答.【详解】（1）甲答对1题，乙答对2题，其概率；甲答对2题，乙答对1题，其概率；甲答对2题，乙答对2题，其概率；所以在第一轮竞赛中，他们获得“优秀小组”称号的概率为.（2）他们在每轮竞赛中获得“优秀小组”称号的概率为，由，，得，则，因此，令，，于是当时，，要竞赛轮数取最小值，则每轮竞赛中获得“优秀小组”称号的概率取最大值，设他们小组在轮竞赛中获得“优秀小组”称号的次数为，则~，，由，即，解得，而，则，所以理论上至少要进行12轮竞赛.【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.25．（22-23高二下·河北邢台·期末）西部某村在产业扶贫政策的大力支持下，用2000亩地发展中药材的种植，中药材的平均亩产量（单位：千克/亩）主要是开花结果时节受当地7月底~8月初的平均气温（单位：℃）的影响，下表是该村所在县20年来当地7月底~8月初的平均气温.平均气温年数24662在当地7月底~8月初的平均气温的影响下，中药材的平均亩产量如下表.平均气温中药材的平均亩产量1717233232将上表平均亩产量的频率作为概率.若中药材的平均亩产量不低于30千克/亩，则称为“高产量”，计划种植3年中药材，设这3年中药材获得“高产量”的年数为.(1)求的分布列；(2)求的数学期望及方差.【答案】(1)分布列见解析；(2).【分析】（1）先根据图表计算每年药材获得“高产量”的概率，因为3年中药材获得“高产量”的年数，再根据二项分布的概率公式分别求出的概率，列出分布列即可；（2）根据数学期望和方差的计算公式求解.【详解】（1）计划种植3年中药材，这3年中药材获得“高产量”的年数的可能取值为，每年中药材获得“高产量”的概率为，则，，，，的分布列为0123（2）由题意知，则，.26．（22-23高二下·福建南平·期末）某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案：方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元：方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额.(1)求随机变量的分布列和数学期望：(2)用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案?请说明理由.【答案】(1)分布列见解析，(2)应选择方案一，理由见解析【分析】（1）分析可知的值可能为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；（2）法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则，利用二项分布的期望、方差公式结合期望、方差的性质求出、的值，可知，再比较、的大小关系，可得出结论；法二：分析可知，的值可能为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得、的值，可知，再比较、的大小关系，可得出结论.【详解】（1）解：由题意可知，的值可能为、、，，，..（2）解：法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则.，，，，.，因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一；法二：的值可能为、、、，，，，，则，，因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一.27．（22-23高二下·广东佛山·期末）机动车辆保险即汽车保险（简称车险），是指对机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险.机动车辆保险一般包括交强险和商业险两部分，其中商业险包括基本险和附加险.经验表明新车商业险保费（单位：元）与购车价格（单位：元）近似满足函数，且上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率.佛山市某机动车辆保险公司将上一年的出险次数与下一年的保费倍率的具体关系制作如下表格：上一年出险次数012345次以上（含5次）下一年保费倍率85%100%125%150%175%200%连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折王先生于2021年3月份购买了一辆30万元的新车，一直到2022年12月没有出过险，但于2023年买保险前仅出过两次险.(1)王先生在2023年应交商业险保费多少元？(2)保险公司计划为前来续保的每一位车主提供抽奖的机会，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励100元的奖券，抽到黑球则奖励50元的奖券，第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励50元的奖券，车主所获得的奖券可以抵扣续保费.为了激励车主谨慎驾驶，保险公司规定：上一年没有出险的车主可以抽奖6次，车主每增加一次出险就减少一次抽奖机会.记车主第i次抽奖所得的奖券数额的数学期望为.（i）写出与的递推关系式（其中且）；（ii）若按照保险公司的计划，且王先生不放弃每一次抽奖机会，王先生在2023年续保商业险时，实际支付保费的期望值为多少？【答案】(1)元(2)（i），；（ii）【分析】（1）首先求出2022年3月份王先生需交商业险费，即可求出在2023年应交商业险保费；（2）（i）首先求出，再由整理可得；（ii）由（i）可得，则是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式，从而求出抽奖获得奖券数额的期望值之和，即可得解.【详解】（1）王先生于2021年买新车时需交商业险为：元，由于2021年3月份至2022年3月份没有出险，所以2022年3月份王先生需交商业险费为：元，但在2023年买保险前出过两次险，故王先生在2023年3月应交商业险费为：元.（2）（i）因为袋中装有6个红球和4个黑球，所以从中任意抽取一个是红球的概率为，是黑球的概率为，所以，当时，车主第次抽到奖券数额的期望为，且；（ii）由（i）知，，当时，，即，而，因此是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，由于王先生在2023年买保险前出过两次险，故续保时只有次抽奖机会，所以次抽奖获得奖券数额的期望值之和为，按照保险公司的计划，王先生在2023年续保商业险时，实际支付保费的期望值为：元.28．（22-23高二下·江苏泰州·期末）某软件科技公司近8年的年利润y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如下表所示