期末专题11 数列大题综合（附加）（30题）（解析版）-备战期末高二数学

期末专题11数列大题综合（附加）（精选30题）1．（22-23高二下·吉林白城·期末）设各项都是正数的数列的前项和为，，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用与的关系计算即可；（2）利用错位相减法计算即可.【详解】（1）已知，得，两式作差，得，即．又数列的各项都是正数，所以，所以，显然数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以．（2）由（1）得，所以，①．②①－②，得，所以．2．（22-23高二下·山东日照·期末）已知各项均为正数的数列，满足，．(1)求数列的通项公式；(2)记，试比较与9的大小，并加以证明．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）利用因式分解推得，从而得到是等比数列，进而求得，由此得解；（2）构造函数，利用导数证得，令，从而推得，再利用错位相减法即可得证.【详解】（1）因为，所以，因为的各项均为正，所以，故，即，所以是以2为公比的等比数列，因为，又公比为2，所以，所以.（2），证明如下：令，则，当时，，即在上单调递减，所以，则，即，设，所以，所以，记，则，所以，即，则，所以，所以.3．（22-23高二下·山东潍坊·期末）已知递增等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，.(1)求数列和的通项公式；(2)若，请判断与的大小关系，并求数列的前20项和.【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用等比数列基本量和等差数列基本量计算即可；（2）利用（1）求出即可判断，再利用并项求和思想结合等比数列前n项和公式求解.【详解】（1）设等比数列的公比为q，由题意得，即，解得，或，又等比数列单调递增，所以，所以，所以，，所以等差数列的公差为1，故；（2）由（1）知，所以，所以.4．（22-23高二下·山东潍坊·期末）已知正项数列中，，点在直线上，，其中.(1)证明：数列为等比数列；(2)设为数列的前项和，求；(3)记，数列的前项和为，试探究是否存在非零常数和，使得为定值?若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，为定值1【分析】（1）由题意，即，可得，即可得证结论；（2），结合对数运算及等比数列求和公式求解；（3）求得，又由得，进而可得，由裂项相消法求得，将代入题中式子，可得的值，从而得出答案.【详解】（1）因为点在直线上，所以，令，则，解得或(舍)，因为，故，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）知，，所以．（3）由（2）知，，所以，又，，故，所以.故要使上式为定值，只需故所以当时，为定值1．5．（22-23高二下·山东东营·期末）已知正项数列与，且为等比数列，,,从条件①的前3项和；②；③.任选一个补充在上面问题中，并解答下列问题：(1)求证：数列为等差数列；(2)求数列的前项和.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据递推关系式，可得，根据，可得，从而证得结论；（2）确定，再设等比数列的公比为，选择条件①②③可得的值，从而得通项，再根据错位相减法求和即可得前项和.【详解】（1）由可得，又，所以，则，即.∴是以1为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）可得设等比数列的公比为，且若选①，则，解得或又因为各项为正数，∴，故；若选②，又，得，又，则解得或又因为各项为正数，∴，故；若选③，因为，则，则解得或又因为各项为正数，∴，故；所以即则相减得：所以.6．（22-23高二下·广西南宁·期末）已知等比数列的公比，且，，成等差数列，数列前项和为，且.(1)分别求出数列和的通项公式；(2)设，其中数列前项和为，求.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用等差中项的意义结合等比数列求出公比即可求出，再利用前n项和公式求出数列的通项作答.（2）利用错位相减法求和作答.【详解】（1）由成等差数列，得，而，且等比数列的公比，则，即，解得，因此；由，得当时，，当时，，满足上式，即，所以数列和的通项公式分别为，.（2）由（1）知，，则，于是有，两式相减得：，所以.7．（22-23高二下·江西·期末）已知数列满足，，且，.(1)证明：数列为等差数列；(2)记数列的前n项和为，求数列的通项公式，并求出使得不等式成立的n的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)，的最小值为.【分析】（1）结合对数运算和等差中项证明等差数列即可；（2）根据通项公式求和后解不等式求出最小值.【详解】（1）因为，所以，即；又因为，所以；所以，整理可得：，所以是等差数列；又因为，，所以，可得公差为1；所以是以为首项，为公差的等差数列.（2）由第（1）问可知，又因为；所以，.那么；；所以的最小值为.8．（22-23高二下·江苏南通·期末）设是等差数列的前n项和，．(1)求证：数列是等差数列；(2)若，，求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为d，写出其前n项和得到，然后根据等差数列的定义即得；（2）由，，求得，进而得到，然后利用错位相减法即得.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d，所以，则，所以，，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列；（2），．，则，设数列的前n项和为，所以，，所以所以.9．（22-23高二下·吉林长春·期末）已知等比数列的前n项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；【答案】(1)(2)【分析】（1）设等比数列公比为q，利用可得答案；（2）根据等差数列前n项和公式可得，设，分n为偶数、n为奇函数讨论，利用的单调性可得答案.【详解】（1）设等比数列的公比为q，当时，有，则①，当时，，两式相减可得：，整理得，可知，代入①可得，所以等比数列的通项公式为；（2）由已知在与之间插入n个数，组成以为首项的等差数列，设公差为，所以则，设，则是递增数列，当n为偶数时，恒成立，即，所以；当n为奇函数时，恒成立，即，所以；综上所述，的取值范围是．10．（22-23高二下·安徽合肥·期末）已知数列是首项为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)设__________，求数列的前项和为．①，②，③．从这三个条件中任选一个填入上面横线中，并回答问题．【答案】(1)，(2)选择见解析，答案见解析【分析】（1）根据条件求出，，再根据数列为等差数列，数列为等比数列，即可求出结果；（2）选择条件①，利用错位相减法即可求出结果，选择条件②，利用裂项相消法即可求出结果，选择条件③，利用分组求和法即可求出结果.【详解】（1）设数列的公差为，数列的首项为，由题知，，因为，解得，所以，又，即，解得，所以．所以数列的通项公式为，数列的通项公式为．（2）选条件①：，则，故，两式相减得，．选条件②：，，．选条件③：，，．11．（22-23高二下·广东广州·期末）正数数列满足，且成等差数列，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)求证：．【答案】(1)；.(2)证明见解析.【分析】（1）根据题意，由等差中项与等比中项的性质列出方程，结合递推关系可得数列是以为首项，为公差的等差数列，再由数列的通项公式可得数列的通项公式；（2）根据题意，由裂项相消法分，与分别证明，即可得到结果.【详解】（1）成等差数列，成等比数列，，，数列为正数数列，，当时，，，，且，则，，，，，，数列是以为首项，为公差的等差数列，，，当时，满足上式，，当时，，当时，满足上式，.（2）证明：当时，；当时，；当时，.综上所述，对一切正整数，有.12．（22-23高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知等差数列前n项和为，数列是等比数列，，，，．(1)求数列和的通项公式；(2)若，求数列的前2n项和．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）设的公差为，的公比为，由已知列出方程组求得后可得通项公式；（2）求出，然后按奇偶项分组求和．【详解】（1）设的公差为，的公比为，由题意，解得，∴，；（2）由（1）得，为奇数时，，为偶数时，，．13．（22-23高二下·广东韶关·期末）已知数列为等比数列，，，且.(1)求数列的通项公式；(2)记，设的前n项和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）解法一：设出公比，利用等比数列的基本量求出首项和公比，即可求出通项公式；解法二：求解二次方程的根即可求出，，从而求出等比数列的首项和公比，即可求出通项公式；（2）利用对数运算化简，利用裂项相消法求出其前n项和，利用符号法证明不等式.【详解】（1）解法一：设的公比为q，由题得：，即，解得或，因为，所以，，所以；解法二：设的公比为q，由，，所以，是方程的两个根，所以或，所以或，因为，所以，，所以.（2）由（1）可得：所以，因为，所以.14．（22-23高二下·江西南昌·期末）在数列中，，，且.设为满足的的个数.(1)求，的值；(2)设，数列的前n项和为，对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由递推式判断是等差数列，利用等差通项公式求基本量，进而得到，结合已知可得，即可写出对应项；（2）应用裂项相加求和得，研究数列单调性求最值，结合恒成立求参数范围即可.【详解】（1）因为，所以，则是等差数列，设数列的公差为，由，则，解得，则，因为是满足的的个数，所以，则，.（2）由（1）得，则，设，则，即递增，故，因为对任意，恒成立，即恒成立，整理得恒成立，即恒成立，解得，所以的取值范围是.15．（22-23高二下·江西萍乡·期末）已知函数关于点对称，其中为实数.(1)求实数的值；(2)若数列的通项满足，其前项和为，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数中心对称性，整理方程，解得答案；（2）根据倒序相加法，可得答案.【详解】（1）由题知，即，整理得，解得；（2）由题知，，且，则，又，故，即.16．（22-23高二下·安徽芜湖·期末）已知等比数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项；(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据递推关系求出等比数列的公比，由等比数列的通项公式求解；（2）利用错位相减法求和，然后分析即可.【详解】（1）当时，，即，当时，，即，又因为是等比数列，所以的公比为3，且，即，所以；（2）由（1）可得，所以，则，所以令，①所以，②①②：所以，因为，所以.17．（22-23高二下·浙江·期末），，递增数列前项和为．(1)证明：为等比数列并求；(2)记，为使成立的最小正整数，求．【答案】(1)证明见解析；(2)14【分析】（1）由题意可得为递增数列：，（），根据等比数列定义即可证明结论，并求得；（2）归纳可得为周期数列：，利用数列的周期性即可求得答案.【详解】（1）证明：由于，，当时，；当时，依次取值为，（）时，总存在使得成立，证明该结论，只需证明能被3整除，由于，即能被3整除，即上述结论成立，当时,，由于能被3整除，则不是3的倍数，即时，不适合题意；综合上述，为递增数列：，（），故，即是以为首项，公比为4的等比数列，则.（2）由（1）可得，则，为使成立的最小正整数，当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，，故此时使成立的最小正整数为14，当时，，故此时使成立的最小正整数为11，故为周期数列：，周期为2，则.18．（22-23高二下·山西朔州·期末）若数列满足，则称数列为“平方递推数列".已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，(1)证明:数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列;(2)设，，求数列的前10项和.【答案】(1)证明见解析(2)436【分析】（1）根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明即可；（2）求出表达式，再分段求前10项和即可.【详解】（1）点在函数的图象上，，，数列是“平方递推数列”，因为，对两边同时取对数得，数列是以1为首项、2为公比的等比数列；（2）由（1）知，所以所以.19．（22-23高二下·安徽合肥·期末）设，，，(1)求数列通项公式；(2)若数列，求数列的前n项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据题意，由递推关系可得为首项为2，公比为2的等比数列，即可得到其通项公式；（2）根据题意，由裂项相消法即可得到结果.【详解】（1）由题意可得，，所以为首项为2，公比为2的等比数列，，（2）或

前n项和20．（22-23高二下·广西桂林·期末）已知①；②；③，在这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并给出解答．设正项等比数列的前n项和为，数列的前n项和为，________，，对都有成立．(1)求数列、的通项公式；(2)若数列的前n项和为，证明．【答案】(1)条件选择见解析，，(2)证明见解析【分析】（1）根据求得，利用即可求得的通项公式；选①或②或③，都是求得等比数列的公比，即可求得的通项公式；（2）由（1）结果可得，利用错位相减法求得，即可证明结论.【详解】（1）时，，∴，时，，又符合上式，∴，∴，因为为正项等比数列，设其公比为q，∴．选①，，∴，∴或（舍），∴；选②，，∴，∴；选③，由得，∴或（舍），∴，故数列、的通项公式分别为，．（2）证明：由（1）知，故，则，故，得，故．21．（22-23高二下·安徽亳州·期末）已知数列中，是公比为2的等比数列．(1)求；(2)，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，由等比数列的通项公式可得，然后结合累乘法即可得到结果；（2）根据题意，由（1）中结论可得，从而得到，然后结合裂项相消法即可得到结果.【详解】（1）因为是公比为2的等比数列，且，即，所以，当时，，累乘可得，，则，当时，也满足上式，所以.（2）由（1）可得，，则，则，即，所以.22．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)已知，求数列的前20项和.【答案】(1)(2)5【分析】（1）根据题意，由条件可得，然后与原式作差，即可得到结果；（2）根据题意，由分组求和即可得到结果.【详解】（1）当时，可得，当时，，，上述两式作差可得，因为满足，所以的通项公式为.（2）因为，所以，.+=5所以数列的前20项和为5.23．（22-23高二下·广西北海·期末）已知函数的首项，且满足.(1)求证：为等比数列，并求；(2)对于实数，表示不超过的最大整数，求的值.【答案】(1)证明见解析，(2)610【分析】（1）根据条件，得出，再利用等比数列的通项公式求出，进而求出结果.（2）分组求和得出.根据错位相减法求，得出，即可得出，然后根据，即可得出答案.【详解】（1）因为，所以，又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，整理得到，所以.（2）因为，所以.设，所以，所以所以，所以.因为，所以，所以.24．（22-23高二下·湖南·期末）在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并作答.已知数列的前项和为，若_____.(1)求数列的通项公式；(2)当，时，求区间上所有整数的和的表达式.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据递推关系，得到时的表达式，相减或者相除即可求解，验证即可，（2）根据等差数列的求和公式即可求解.【详解】（1）选①：∵，时，，∴两式相减得，即，又当时，，满足上式，∴.选②：∵，时，，∴两式相除得，当时，，满足上式，∴.（2）由（1）可知，，，上所有整数依次为，，，…，，它们构成首项为，公差为1的等差数列，且项数为，所以25．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的首项，且满足.(1)求证：数列是等比数列；(2)若，求满足条件的最大的正整数.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知递推公式得，由此可得证；（2）由（1）得，根据等比数列的求和公式可求得，再得的单调性和可得答案.【详解】（1）由，得，则，又因为所以数列是以为首项，以为公比的等比数列（2）由（1）得因为，所以即又因为为单调增函数,所以满足的最大正整数为32即满足条件的最大正整数26．（22-23高二下·辽宁辽阳·期末）从①，②两个条件中任选一个填入横线上，并解答下列问题．已知正项等差数列的前项和为，且________．(1)证明：数列为等差数列．(2)若，证明：．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）选①，由已知可得，根据等差数列的定义可得答案；选②先求得，可得，根据等差数列的定义可得答案；（2）先求得，再利用裂项相消法可得答案.【详解】（1）选①设的公差为，由，得，则，则，或（舍去），所以数列是首项为，公差为的等差数列．选②设的公差为，由，得，则，则，或（舍去），所以数列是首项为，公差为的等差数列．（2）．因为，所以，解得或（舍去）．，所以．27．（22-23高二下·广东·期末）设数列的前n项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)解关于n的不等式：.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用给定条件，结合“”求解作答.（2）由（1）的结论，利用二项式定理化简不等式，再利用指数函数单调性求解作答.【详解】（1）在数列中，，当时，，解得，当时，，则，因此数列是等比数列，首项为1，公比为2的等比数列，则，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，因此原不等式化为，而函数在上单调递增，又，则，所以原不等式的解为.28．（22-23高二下·安徽合肥·期末）已知数列的前项和．(1)求；(2)设，数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小整数值．【