期末专题10 数列小题综合（附加）（40题）（解析版）-备战期末高二数学

期末专题10数列小题综合（附加）（精选40题）一、单选题1．（22-23高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知等比数列中，，，则等于（

）A．16 B．－16 C．－64 D．64【答案】A【分析】根据等比数列的性质计算.【详解】是等比数列，又，∴，∴．故选：A．2．（22-23高二下·吉林通化·期末）已知数列为等比数列，公比为负数，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作差，因为的符号不确定，所以与的大小不确定，故AB都不正确；根据等比中项可知C正确，D不正确.【详解】数列为等比数列，公比为负数，所以，当时，，当时，，故AB都不正确；因为，故C正确，D不正确.故选：C.3．（22-23高二下·安徽宣城·期末）等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则（

）A．4 B．16 C．32 D．64【答案】D【分析】通过讨论的取值情况，确定，利用等比数列的求和公式，建立方程组，求出和，进而求得的值．【详解】当公比时可得，代入，与矛盾，所以.由等比数列的前项和公式，可得，两式相除，得，可解得或（舍），当时，代入原式可求得，则由等比数列的通项公式.故选：D4．（22-23高二下·黑龙江大庆·期末）等差数列和的前项和分别为和，如果，的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合等差数列的性质，得到，再结合即可求解出结果.【详解】由等差数列的性质知，，又，所以，故选：C.5．（22-23高二下·浙江·期末）数列首项为，接下来项为，再接下来项为，再后面项为，以此类推（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令数列首项为，公差为的等差数列，且数列首项为，接下来项为，再接下来项为，再后面项为，可用归纳推理发现有个，个，等等可推得有个，通过数列前项和公式即可求出中的，则答案可求.【详解】令数列首项为，公差为的等差数列，前项和为，有个，个，等等可推得有个令可得所以故选：C.6．（22-23高二下·福建福州·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．若“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列，则（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意，根据等差数列求和公式，写出通项公式，可得答案.【详解】由题意可得：，，，，，对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：D.7．（22-23高二下·安徽滁州·期末）某书院数科考试中有这样一道题：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山问：夫子切了六斤桃花一共饮了几壶酒（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意得到数列前项都是，从第二项开始，构成以公比为的等比数列求解.【详解】解：由题意可知，数列前项都是，从第二项开始，构成以公比为的等比数列，所以前项和为：，.故选：B．8．（22-23高二下·福建厦门·期末）设数列的前n项和为，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意，得到，利用裂项相消法求数列的前项和公式，得出前100项的和，结合选项，即可求解.【详解】由，所以，所以，故选：A.9．（22-23高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2023项和（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件可得，利用累加法求出数列的通项，再利用等比数列前n项和公式求解作答.【详解】依题意，，当时，，而满足上式，因此，所以.故选：D10．（22-23高二下·辽宁铁岭·期末）已知数列满足，．设，若对于任意的，．恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，求出数列，的通项，再求出数列的最大项作答.【详解】由数列满足，，得是首项为1，公比为的等比数列，，于是，，当，时，当且仅当时取等号，当时，，因此当时，数列单调递增，当时，数列单调递减，则当或时，，而任意的，恒成立，则，所以实数的取值范围是.故选：A【点睛】关键点睛：涉及求数列最大项问题，探讨数列的单调性是解题的关键，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答.11．（22-23高二下·安徽合肥·期末）若数列和满足，，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据递推关系可得是以2为首项，2为公比的等比数列，进而得，即可根据代入求解.【详解】因为，，所以，即，又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，又，即，所以所以；故选：B12．（22-23高二下·安徽黄山·期末）数列中，，对任意正整数都满足，数列，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题设，即得，结合已知等量关系及等比数列前n项和列方程求参数.【详解】由题意，又，则，，…，，累加得，所以，则，可得.故选：C13．（22-23高二下·江西赣州·期末）已知数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（

）A．数列为等比数列 B．数列为等比数列C． D．【答案】C【分析】由，得，两式相除得，从而可得数列是隔项成等比数列，进而可求得数列的通项，再根据等比数列的定义及等比数列前项和公式即可得解.【详解】由，得，两式相除得，所以数列的奇数项和偶数项都是以为公比的等比数列，又，则，所以，因为，所以数列不为等比数列，故A错误；由，，得，，则，故，而等比数列中不能出现为的项，所以数列不为等比数列，故B错误；由AB选项可得，当为奇数时，，当为偶数时，，则，故D错误；，故C正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：由，得，两式相除得，得出数列是隔项成等比数列，是解决本题的关键.14．（22-23高二下·辽宁沈阳·期末）已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有，．若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（

）A．12010 B．12100C．11200 D．11202【答案】D【分析】先由与的递推关系式推出的通项公式，进而得到的通项公式，然后根据与的通项公式，找出它们相同的项，从而可求的前100项的和.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，所以，，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即，可得，，，，，，，，，不合题意，所以.故选：D.15．（22-23高二下·河北邢台·期末）数列单调递减，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用数列单调递减，可知，可化为，再判断数列的单调性，即可求出的取值范围.【详解】∵数列单调递减，∴，∴，则，令，，令，可知在区间上单调递增，则数列为单调递增数列，对所有的正整数都成立只需时，成立，即，解得，∴的取值范围是，故选：C.二、多选题16．（22-23高二下·江苏南通·期末）已知是数列的前n项和，，且则下列结论正确的是（

）A． B．数列为等比数列C． D．【答案】ABD【分析】对分奇偶讨论，利用构造法求出的表达式，即可判断ABC，再利用分组求和法即可求出，即可判断D.【详解】当为奇数时，，则，当为偶数时，，对A选项，为偶数，则，故A正确；对B，当为偶数时，，用替换上式中的得，，当为奇数时，，用替换上式中的得，，则，两边同加3得，，则数列是首项为4，公比为3的等比数列，故B正确；对C，，，当为奇数时，，用替换上式中的得，，则，两边同加1得，，因为，则，则是以4为首项，公比为3的等比数列，则，则，，则C错误；对D，由B得，则，，，故D正确.故选：ABD.17．（22-23高二下·山东东营·期末）已知数列的首项，且，满足下列结论正确的是（

）A．数列是等比数列B．数列是等比数列C．D．数列的前n项的和【答案】BC【分析】计算数列前三项可判断A；利用，构造等比数列，可判断B，C；结合C的结果以及等比数列前n项和公式可判断D.【详解】由题意数列的首项，且满足，则，则，故数列不是等比数列，A错误；由得，，否则与矛盾，则，则数列是等比数列，B正确；由B分析知数列是等比数列，首项为，公比为，则，所以，C正确；数列的前n项的和为，D错误.故选：BC18．（22-23高二下·安徽合肥·期末）已知数列满足，，则（

）A．数列为等比数列 B．C．， D．【答案】ABD【分析】根据递推关系得是以为首项，为公比的等比数列，即可求解其通项，结合选项即可逐一求解.【详解】对于A，依题意，由可得，整理得，∵，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确；对于B，，∴，，故B正确；对于C，易知关于单调递减，∴数列是递减数列，又，∴数列为递增数列，故C错误；对于D，，故D正确．故选：ABD19．（22-23高二下·辽宁沈阳·期末）在数列中，，且对任意不小于2的正整数n，恒成立，则下列结论正确的是（

）A．B．C．成等比数列D．【答案】BCD【分析】先求出，然后当时，由，得，两式相减化简可得，从而可求得，然后逐个分析判断即可.【详解】当时，，当时，，则，所以，所以，所以，所以，所以因为不满足上式，所以，所以A错误，对于B，因为，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，则，所以成等比数列，所以C正确，对于D，因为，所以当时，，当时，满足上式，所以，所以D正确，故选：BCD20．（22-23高二下·安徽芜湖·期末）已知数列有无限项且满足：，其中为大于0的常数，则下列说法正确的有（

）A．当时，若数列是等差数列，则B．当时，若数列是单调递增数列，则C．存在，数列是单调递增数列D．任意，数列不可能是单调递增数列【答案】ABD【分析】对于A，根据等差数列的定义，结合题目中等式，建立方程，解得公差，可得答案；对于B，根据单调递增数列的定义，建立方程与不等式，可得答案；对于C、D，利用分类讨论的思想结合累加法和递增数列的定义，根据作差法，可得答案.【详解】对于A，由数列为等差数列，可设其公差为，则，解得，由，则，解得，故A正确；对于B，由数列为递增数列，则，设，，两式相减可得：，解得，故B正确；对于C、D，当时，，显然此时数列不是递增数列；当且时，由，，，，则，则，同理可得：，两式相减可得：，当时，必定存在，当时，，则数列不是递增数列；，当时，必定存在，当时，，则数列不是递增数列.故C错误，D正确.故选：ABD.21．（22-23高二下·新疆·期末）已知为等差数列，其前项和为，则（

）A．的公差为B．C．的前50项和为D．的前项和为【答案】AC【分析】对A：利用等差中项化简已知条件，从而计算得的值，即可得公差；对B：利用等差数列求和公式计算；对C：根据的正负计算出的的前50项和；对D：将数列的通项公式代入并化简，利用裂项相消法求和即可.【详解】设的公差为，因为，所以，，所以，故A正确；因为，所以，因为，当时，，时，，所以故的前50项和为，故B不正确，C正确；因为，所以的前项和为，故D不正确.故选：AC22．（22-23高二下·广东韶关·期末）已知数列满足，，则（

）A． B．是的前项和，则C．当为偶数时 D．的通项公式是【答案】AD【分析】利用并项求和法可判断B选项；推导出，分为奇数、偶数两种情况求出数列的通项公式，可判断ACD选项.【详解】数列满足，，因为，，所以，，B错；由题意，①，②，由②①得，，由，，所以，当为奇数时，设，则，当为偶数时，设，则，综上所述，对任意的，，C错D对；，A对.故选：AD.23．（22-23高二下·江苏镇江·期末）设是公比为的等比数列的前项和，且成等差数列，则下列说法正确的有（

）A．B．成等差数列C．成等比数列D．成等差数列【答案】BD【分析】根据给定条件，利用数列前n项和的定义，结合等比数列通项求出公比的关系，再逐项判断作答.【详解】依题意，，即有，有，而数列是公比为的等比数列，则，又，所以，A错误；由于，因此成等差数列，B正确；显然，由，得，由，得，因此，不成等比数列，C错误；由，得，因此，成等差数列，D正确.故选：BD24．（22-23高二下·辽宁大连·期末）数列满足（且），则（

）A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是等差数列C．若，则数列中存在最大项与最小项 D．若，则【答案】ABD【分析】由等比数列和等差数列的概念可判断A，B，利用B中结论求得，利用函数单调性可判断C，利用数学归纳法及作差法判断选项D．【详解】选项A，因为若，，所以，，…，，即，，是等比数列，故A正确；选项B，令，而，，又，数列是以1为公差的等差数列，故B正确；选项C，由选项B的结论及可知：，，显然，数列在上单调递减，故当时，有最大值2，没有最小值，故C错误；选项D，用数学归纳法证明，(1)当时，，(2)假设当，时，不等式成立，即，即，当时，，满足，故当时，不等式也成立，综合(1)(2)，对任意，有，下面证明，，，上面不等式中的等号不成立，，，故，故D正确．故选：ABD．25．（22-23高二下·湖北孝感·期末）设是数列的前项和，，则（

）A．B．数列是等比数列C．当时，D．数列的前100项和为【答案】BCD【分析】根据递推公式可求解选项A；利用构造法和等差、等比数列的定义求解选项B；根据的关系可求解选项C；利用错位相减法可求解选项D.【详解】对A，由及，得，A错误．对B，因为，所以，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，则，即，所以，则数列是等比数列，B正确．对C，由，得，当时，，即，则，C正确．对D，设，则，两式相减得，即，D正确．故选:BCD.26．（22-23高二下·湖南长沙·期末）已知数列中，，且对任意的，都有，则下列选项正确的是（

）A．的值随n的变化而变化B．C．若m，n，，，则D．为递增数列【答案】BD【分析】令，可得，从而可判断A；根据等差数列的求和公式可判断D；根据等差数列的性质可判断BC.【详解】数列中，已知，且对于任意的，都有，令时，，故,为常数，故A错误；则数列是以1为首项，2为公差的等差数列，，，，所以为递增数列，故D正确；因为，（m，n，），由等差数列的性质可得，,故B正确，C错误.故选:BD.27．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，则下列叙述正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若是等差数列，则数列是等比数列D．若，则数列是等差数列【答案】AC【分析】由等差求和公式判断A；由裂项相消求和法判断B；由定义判断C；由前三项不成等差数列判断D.【详解】对于A：由通项公式易知，数列为等差数列，则，故A正确；对于B：，，故B错误；对于C：设等差数列的公差为，则，则数列是等比数列，故C正确；对于D：，则数列不是等差数列，故D错误；故选：AC28．（22-23高二下·江西·期末）“内卷”是一个网络流行词，一般用于形容某个领域中发生了过度的竞争，导致人们进入了互相倾轧､内耗的状态，从而导致个体“收益努力比”下降的现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）；它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第3个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为，后续各正方形边长依次为，，，；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为，后续各直角三角形面积依次为，，，，下列说法正确的是（

）

A．数列与数列均是公比为的等比数列B．从正方形ABCD开始，连续4个正方形的面积之和为C．和满是等式D．设数列的前n项和为，则【答案】AC【分析】根据题意，，都是等比数列，从而可求，的通项公式，再对选项逐个判断即可得到答案．【详解】对于A选项，由题意知，且，所以，又因为，所以数列是以4为首项，为公比的等比数列，可得，，所以，由得数列与数列均是公比为的等比数列，故A正确；对于B选项，由上，，，，，所以，故B错误；对于C选项，，，所以，所以，故C正确；对于D选项，因为，且，所以，因为时，是单调递增函数，所以，而，故D错误.故选：AC．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是求出，的通项公式，考查了学生思维能力、计算能力.29．（22-23高二下·江西赣州·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为2，4，8，15，26，42，64，则下列结论正确的是（

）(参考公式:)A．数列为二阶等差数列 B．C．满足的最大的n的值为20 D．【答案】AB【分析】根据题中定义，结合累加法、等差数列前项和公式、题中所给的公式逐一判断即可.【详解】高阶等差数列为2，4，8，15，26，42，64，…，令数列为2，4，7，11，16，22，…，令数列为2，3，4，5，6，…，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，则，由题中定义可知数列为二阶等差数列，则选项A正确；由，所以，所以，则选项B正确；由得，，令得，检验得满足条件最大的n的值为18，则选项C错误；，则选项D错误.故选：AB【点睛】关键点睛：利用累加法，结合题中定义、所给的公式是解题的关键.30．（22-23高二下·山东日照·期末）已知有穷数列各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的序号构成新数列，称数列为数列的序数列．例如数列，，，满足，则其序数列为1，3，2．若有穷数列满足，（n为正整数），且数列的序数列单调递减，数列的序数列单调递增，则下列正确的是（

）A．数列单调递增B．数列单调递增C．D．【答案】ACD【分析】根据新定义直接判断AB，根据数列单调性可得，，据此利用累加法求通项判断D，并项求和结合等比数列求和公式判断C.【详解】由题意，数列的序数列单调递减，故数列单调递增，故A正确；由数列的序数列单调递增，故数列单调递减，故B错误；因为数列是单调递增，所以，即，因为，所以，因此，所以，由数列单调递减，同理可得，，所以，也符合该式，故D正确；，故C正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：理解新定义数列的序数列是判断数列单调性的关键，再由单调性及不等式的性质分别得出，是解决问题的第二个关键点，利用累加法求通项公式，利用并项求和是解决本题的第三个关键点.三、填空题31．（22-23高二下·山东德州·期末）已知数列满足，，，，则；设，其中表示不超过的最大整数，为数列的前n项和，若，则n的最小值为【答案】292022【分析】根据数列满足，，，，递推求得，再由，变形为，得到是等比数列，再由，利用累加法求得，进而求得求解.【详解】因为数列满足，，，，所以，由，得，则是以2为首项，以3为公比的等比数列，所以，则，，则，所以，所以，因为，所以n的最小值为2022.故答案为：29；202232．（22-23高二下·广东珠海·期末）已知非零数列，点在函数的图象上，则数列的前2024项和为.【答案】【分析】根据等差数列的定义求得数列的通项公式，进而可得数列的通项公式，利用裂项相消法求和.【详解】由已知条件，可得，所以①，，因为点在函数的图象上，所以，将①代入可得，,化简得，，，当时，由，则，得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，，因为，所以，故答案为:.33．（22-23高二下·湖北武汉·期末）设数列为等比数列，且每项都大于1，则值为.【答案】2023【分析】分公比为1和公比不为1两种情况结合等比数列的性质和对数的运算性质求解即可.【详解】当公比为1时，，当公比不为1时，设公比为，则所以，综上值为2023，故答案为：202334．（22-23高二下·广东广州·期末）已知数列满足，若，则数列的前n项和.【答案】【分析】变形给定的等式，利用数列前n项和与第n项的关系求出，再利用裂项相消法求和作答.【详解】数列中，由，得，当时，，两式相减得，整理得，而满足上式，因此，，所以.故答案为：【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．35．（22-23高二下·广东广州·期末）已知等比数列满足：，.数列满足，