期末专题13 新定义综合（函数新定义、数列新定义）（附加）（30题）（解析版）-备战期末高二数学

期末专题13新定义综合（函数新定义数列新定义）（附加）（精选30题）一、单选题1．（22-23高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2023项和（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件可得，利用累加法求出数列的通项，再利用等比数列前n项和公式求解作答.【详解】依题意，，当时，，而满足上式，因此，所以.故选：D2．（23-24高二上·湖北·期末）定义：在数列中，若对任意的都满足为常数，则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题中条件可求得数列的通项公式，继而，利用通项公式计算即可.【详解】因为为等差比数列，，，，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，所以故选：3．（23-24高二上·甘肃金昌·期中）定义表示不超过的最大整数，例如：．若，数列的前项和为，则（

）A．64 B．70 C．77 D．84【答案】C【分析】根据取整函数分段求出通项公式进而求和即可.【详解】因为，所以当时，；当时，；当时，；当时，．所以．故选：C．4．（22-23高二下·山西大同·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，，则下列叙述正确的是（

）A．是偶函数 B．在上是增函数C．的值域是 D．的值域是【答案】B【分析】根据奇偶性的定义即可判断A,根据常见函数的单调性即可判断B,由函数的单调性即可判断C，根据高斯函数的定义即可求解D.【详解】，对于A，由于，所以，故不是偶函数，故A错误，对于B,由于单调递增且恒为正，所以为单调递增，B正确，对于C，，，所以，故C错误，对于D，由于，所以，故D错误，故选：B5．（22-23高二下·福建泉州·期末）对于定义在区间上的函数，若满足：且，都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”，且，又当时，恒成立，下列命题中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】令，则有，求得，可判定A不正确；根据“非减函数”的定义，结合赋值法，逐项判定，可得判定B、C不正确，D正确.【详解】对于A中，由，令，则有，可得，故A不正确；对于B中，当时，，又由，所以，因为，故B不正确；对于C中，因为，因为且，都有，所以当时，，故C不正确；对于D中，当时，，可得，又由，所以时，，所以，故D正确；故选：D.6．（22-23高二下·湖南·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列：1，1，3，27，729…是一阶等比数列，则的值为（参考公式：）（

）A．60 B．120 C．240 D．480【答案】B【分析】设，则由题意可知为等比数列，其中，，从而可求出，利用累乘法可求出，从而可求出，然后利用分组求和法可求得结果.【详解】由题意，数列1，1，3，27，729，…为，且为一阶等比数列，设，所以为等比数列，其中，，公比为，所以，则，，所以，，因为，，也适合上式，所以，所以.故选：B.7．（23-24高二上·全国·期末）已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数(例如)，则（

）A．4048 B．4046 C．2023 D．2024【答案】D【分析】由条件构造等差数列，结合累加法求，再得，利用高斯函数的定义计算即可.【详解】由题设知，故是首项为4，公差为2的等差数列，则，由累加法可知当时，，所以，又也符合该式，所以，所以又时，，时，，所以.故选：D8．（23-24高二上·广东东莞·期末）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得新数列按照同样的方法进行构造，可以不断形成新的数列．现对数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…依次构造，记第n（）次得到的数列的所有项之和为，则（

）A．1095 B．3282 C．6294 D．9843【答案】B【分析】根据给定条件，得到第次构造后数列的和与第次构造后数列的和的关系，再求出数列的通项即可.【详解】设第次构造后得的数列为，则，则第次构造后得到的数列为，于是，，显然，而，因此数列是以为首项，3为公比的等比数列，则，即,所以.故选：B【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.9．（22-23高二下·安徽合肥·期末）定义高阶等差数列：对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶差数列，再令，则数列是数列的二阶差数列．已知数列为2，5，11，21，36，，且它的二阶差数列是等差数列，则（

）A．45 B．85 C．121 D．166【答案】C【分析】利用二阶差数列是等差数列，由此将原数列一一列举即可.【详解】该数列的一阶差数列为3，6，10，15，，则二阶差数列为3，4，5，，因为二阶差数列是等差数列，故二阶差数列后面的项为6，7，8，，所以一阶差数列后面的项为21，28，36，，从而原数列后面的项为57，85，121，，故．故选：C二、多选题10．（22-23高二下·辽宁沈阳·期末）若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，若函数和之间存在“隔离直线”，则实数的取值可以是（

）A．-5 B．0 C．4 D．7【答案】CD【分析】根据隔离直线的定义，即可将问题转化为和对任意的恒成立，求解最值即可求解.【详解】若函数和之间存在隔离直线，则对任意的，，即，而，当时等号成立，所以；对任意的，，则.因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以，所以实数的取值可以是4或7.故选：CD.11．（22-23高二下·山东烟台·期末）对于函数，若在其定义域内存在使得，则称为函数的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据一元二次方程的判别式可判断A，根据零点存在性定理可判断B,由特殊值可求解C,利用导数求解函数的单调性,进而求解函数的最值即可判断D.【详解】对于A,定义域为,则，由于,故方程无实数根，故A错误，对于B,定义域为,，记，则的图象是连续不断的曲线，,,根据零点存在性定理可知在存在零点，故B正确，对于C,定义域为，，由于，所以是的一个不动点，故C正确，对于D,的定义域为，，令，则，故当单调递减，当单调递增，故当时，取极大值也是最大值，故，故在无实数根，故D错误，故选:BC12．（22-23高二下·湖北武汉·期末）已知定义在上的函数满足：对，都有，则对于，，下式成立的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】设函数判断A选项,结合判断B,C,D选项.【详解】,,B选项正确;,C选项正确;,,D选项正确;定义在上的函数满足：对，都有，设,,A选项错误.故选:BCD.13．（23-24高二上·安徽合肥·期末）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心．已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（

）A． B．函数既有极大值又有极小值C．函数有三个零点 D．对任意，都有【答案】AB【分析】根据拐点定义二次求导可计算可求出函数解析式即可判定A，根据导数研究其极值可判定B，结合B项结论及零点存在性定理可判定C，利用函数解析式取特殊值可判定D.【详解】由题意可知，，而，故A正确；此时，，显然或时，，则在上单调递增，时，，即在上单调递减，所以在时取得极大值，在时取得极小值，故B正确；易知，结合B结论及零点存在性定理可知在存在一个零点，故C错误；易知，故D错误.故选：AB14．（22-23高二下·山东德州·期末）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列2，4进行构造，第1次得到数列2，6，4；第2次得到数列2，8，6，10，4；…；第次得到数列2，，，，⋯，，4.记，则（

）A． B．为偶数C． D．【答案】ACD【分析】通过计算求出，，，的值，并且归纳出每一项与前一项的关系，以及的变化，从而运用归纳法得到，之间的关系，以及之间的关系，利用累加法可得，逐项判断即可得答案.【详解】由题意得：，此时，此时，则，不为偶数，故B不正确；，此时，故A正确；，此时归纳可得，此时，故C正确；则，，，……，累加可得所以，则，即，故D正确.故选：ACD.15．（22-23高二下·辽宁·期末）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函为，与函数，为“同族函数”．下列函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据“同族函数”存在不同区间能取到相同值域，结合各项函数的性质判断是否满足条件即可.【详解】由题设，“同族函数”存在不同区间能取到相同值域，显然不符合，对于关于对称，必存在不同区间能取到相同值域，满足题设，对于在两侧各自递增，且值域均为R，满足题设；对于，在、上对应的值域相同，满足题设.故选：BCD16．（22-23高二下·江西新余·期末）太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：若一个函数的图象能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆的一个“太极函数”，设圆，则下列说法中正确的是（

）

A．函数是圆的一个太极函数B．函数的图象关于原点对称是为圆的太极函数的充要条件C．圆的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数D．函数是圆的一个太极函数【答案】AD【分析】根据题中所给的定义对四个选项逐一判断即可.【详解】选项A：设，因为，所以函数是奇函数，它的图象将圆周长与面积分别等分，如下图所示：

所以函数是圆O的一个太极函数，故本说法正确；选项C：如下图所示：函数是偶函数，也是圆O的一个太极函数，故本说法不正确；

选项B：根据选项C的分析，圆O的太极函数可以是偶函数不一定关于原点对称，故本说法不正确；选项D：因为是奇函数，所以它的图象将圆周长与面积同时等分，下图所示：因此函数是圆O的一个太极函数，故本说法是正确的；

故选:AD.17．（22-23高二下·浙江舟山·期末）设函数，其中表示中的最小者，则下列说法正确的是（

）A．B．当时，则C．当时，则D．【答案】ABD【分析】根据题意画出的大致图象,然后依据图象逐个检验即可．【详解】根据，作出以下图形，对A选项，，结合图象可知为偶函数，所以恒成立，故选项A正确；对B选项，当时，，，显然根据图象得，故B正确；对C选项，当时,，当时，，而，此时，故C错误；对D选项，由图知,当时,,且时，恒成立，可令,则，故，所以，故选项D正确；故选：ABD.18．（23-24高二上·安徽六安·期末）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值可以是（

）A．1 B． C． D．【答案】BCD【分析】由题意可得，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，再次转化为与的图象有2个交点，然后画出图象，根据图象可求得答案.【详解】依题意，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，即方程有两个根，即：，令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；又在处的切线方程为，如图，由图可知，要使方程有两个根，则或．故选：BCD【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的几何意义，考查函数的新定义，解题有关键是对新定义的正确理解，从而将问题转化为方程有2个根，然后构造函数，利用函数图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题.19．（22-23高二下·吉林长春·期末）定义：对于定义在区间I上的函数和正数，若存在正数M，使得不等式对任意恒成立，则称函数在区间I上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（

）A．函数在上满足阶李普希兹条件B．若函数在上满足一阶李普希兹条件，则M的最小值为C．若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且方程在区间上有解，则是方程在区间上的唯一解D．若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且，则对任意函数，，恒有【答案】ACD【分析】根据李普希兹条件的概念直接可以判断AB选项，再利用反证法判断C选项，通过分类讨论可判断D选项.【详解】A选项：不妨设，，即，故，对，均有，A选项正确；B选项：不妨设，在单调递增，，，即，即对，恒成立，即在上单调递减，对恒成立，所以对恒成立，即，即的最小值为，B选项错误；C选项：假设方程在区间上有两个解，，则，这与矛盾，故只有唯一解，C选项正确；D选项：不妨设，当时，，当时，，故对，，故D选项正确；故选：ACD20．（23-24高二上·江苏无锡·期末）斐波那契数列由意大利数学家斐波那契发现，因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列在很多方面都与大自然神奇地契合，小到向日葵、松果、海螺的生长过程，大到海浪、飓风、宇宙系演变，皆有斐波那契数列的身影，充分展示了“数学之美”．斐波那契数列用递推的方式可定义如下：数列满足：，，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．是奇数【答案】ACD【分析】根据递推公式判断选项A，利用累加判断选项BC，利用数学归纳法证明结论3的倍数项为偶数，其他项为奇数证明选项D.【详解】对A：由，可得，即有，故A正确；对于B：由题意，，，，以上式子累加得：，故B不正确；对于C：因为，则，则，故C正确；对于D：根据通项公式可得斐波那契数列为，3的倍数项为偶数，其他项为奇数，下面用数学归纳法证明：①当，2，3时，，，满足规律，②假设当，，时满足为偶数，，为奇数，③当，，时，，因为，为奇数，所以为偶数，，因为为奇数，为偶数，所以为奇数，，因为为奇数，为偶数，所以为奇数，故3的倍数项为偶数，其他项为奇数得证，2024项是非3的倍数项，故D正确；故选：ACD【点睛】方法点睛：本题A选项的判断比较常规，选项BC的关键是要通过适当的变形然后利用累加法判断，选项D根据数列规律猜想3的倍数项为偶数，其他项为奇数，利用数学归纳法证明.21．（22-23高二下·江西赣州·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为2，4，8，15，26，42，64，则下列结论正确的是（

）(参考公式:)A．数列为二阶等差数列 B．C．满足的最大的n的值为20 D．【答案】AB【分析】根据题中定义，结合累加法、等差数列前项和公式、题中所给的公式逐一判断即可.【详解】高阶等差数列为2，4，8，15，26，42，64，…，令数列为2，4，7，11，16，22，…，令数列为2，3，4，5，6，…，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，则，由题中定义可知数列为二阶等差数列，则选项A正确；由，所以，所以，则选项B正确；由得，，令得，检验得满足条件最大的n的值为18，则选项C错误；，则选项D错误.故选：AB【点睛】关键点睛：利用累加法，结合题中定义、所给的公式是解题的关键.22．（22-23高二下·山东日照·期末）已知有穷数列各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的序号构成新数列，称数列为数列的序数列．例如数列，，，满足，则其序数列为1，3，2．若有穷数列满足，（n为正整数），且数列的序数列单调递减，数列的序数列单调递增，则下列正确的是（

）A．数列单调递增B．数列单调递增C．D．【答案】ACD【分析】根据新定义直接判断AB，根据数列单调性可得，，据此利用累加法求通项判断D，并项求和结合等比数列求和公式判断C.【详解】由题意，数列的序数列单调递减，故数列单调递增，故A正确；由数列的序数列单调递增，故数列单调递减，故B错误；因为数列是单调递增，所以，即，因为，所以，因此，所以，由数列单调递减，同理可得，，所以，也符合该式，故D正确；，故C正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：理解新定义数列的序数列是判断数列单调性的关键，再由单调性及不等式的性质分别得出，是解决问题的第二个关键点，利用累加法求通项公式，利用并项求和是解决本题的第三个关键点.三、填空题23．（22-23高二下·江西上饶·期末）定义：满足下列两个条件的有穷数列，，…，为阶“期待数列”．①，②．试写出一个3阶“期待数列”；若2023阶“期待数列”是递增的等差数列，则．【答案】（答案不唯一）【分析】根据给定条件，直接写出一个3阶“期待数列”即可；利用等差数列性质结合条件①求出，再由条件②及前n项和公式求出作答.【详解】符合条件的一个3阶“期待数列”为：；，数列是等差数列，且，则，即，又数列递增，且，则，即，所以.故答案为：；【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.24．（21-22高二下·浙江温州·期末）在数列的每相邻两项之间插入这两项的和，组成一个新的数列，这样的操作叫做这个数列的一次“拓展”.先将数列1，2进行拓展，第一次拓展得到；第二次拓展得到数列；第次拓展得到数列.设，其中，.【答案】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可．【详解】解：由题意可知，第1次得到数列1，3，2，此时，第2次得到数列1，4，3，5，2，此时，第3次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此时，第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时，第次得到数列1，，，，，，2，此时，由上述列出的数列可得：，所以，所以，故答案为：；；25．（21-22高二下·辽宁营口·期末）斐波那契数列，又称黄金分割数列，被誉为最美的数列，若数列满足，，（，），则称数列为斐波那契数列，则．【答案】/0.5【分析】根据数列的性质，可得到为，所以，代入即可得出答案.【详解】因为，，，所以：，，，所以所以，所以.故答案为：.四、解答题26．（22-23高二下·江苏南京·期末）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数．(1)已知,,判断和是不是倒函数，并说明理由；(2)若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件．【答案】(1)是倒函数，不是倒函数；理由见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据倒函数的定义判断可得答案；（2）根据倒函数的性质，先证充分性，再证必要性即可,【详解】（1）对于，定义域为，显然定义域中任意实数有成立，又，是倒函数，对于，定义域为，故当时，，不符合倒函数的定义，所以不是倒函数；（2）因为，又是上的倒函数，所以，所以，故，充分性：当时，且，又在上是严格增函数，所以，，所以，，故.必要性：当时，有，又恒大于0，所以，因为，所以，因为在上是严格增函数．所以，即有成立.综上所述：是的充要条件．27．（22-23高二下·山西朔州·期末）若数列满足，则称数列为“平方递推数列".已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，(1)证明:数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列;(2)设，，求数列的前10项和.【答案】(1)证明见解析(2)436【分析】（1）根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明即可；（2）求出表达式，再分段求前10项和即可.【详解】（1）点在函数的图象上，，，数列是“平方递推数列”，因为，对两边同时取对数得，数列是以1为首项、2为公比的等比数列；（2）由（1）知，所以所以.28．（22-23高二下·江西赣州·期末）对于函数，若在定义域内存在实数x满足，则称函数为“局部奇函数”.(1)若函数在区间上为“局部奇函数”，求实数m的取值范围；(2)若函数在定义域R上为“局部奇函数”，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据是定义在区间上的“局部奇函数”可知，由此求出m的解析式，根据函数的值域即可求得m的取值范围.（2）根据是定义在区间R上的“局部奇函数”可知，由此求出m的解析式，利用换元法，构造函数，求出函数的值域，即可求得m的取值范围.【详解】（1）由在区间上恒有意义，所以，即，因为是定义在区间上的“局部奇函数”，存在实数，满足，所以，所以，即，又，所以，所以实数m的取值范围为；（2）依题意，，使得，则，即