动能定理课件

动能定理

力的功

动能定理

功率与功率方程

质点和质点系的动能

机械能守恒§13-1力的功一、常力在直线路程上的功M1M2sθ常力在直线路程上的功等于力在路程方向上的投影与路程的乘积。功的单位：功的量纲：功：代数量二、变力在曲线路程上的功元功：MM’M1M2θ力在全路程上所做的功注意到：xzyOM1MM2mgz1z2三、几种常见力的功1、重力的功质点M的重力mg的投影值为：∴重力从M1→M2时所做的功为xzyOM1MM2mgz1z2对于质点系（或刚体）质点i的重力mig的功为：质点系的全部重力所做的功为：由质心坐标公式有：得：质点系的重力所做的功为：质点系总重力与质心下降高度的乘积。2、弹性力的功弹簧的自然长度为，刚度系数为k。Mxδ1δδ2M1M2从M1到M2

弹簧的弹性力的功为：弹簧的弹性力为：结论：弹性力的功为2、弹性力的功Mxδ1δδ2M1M2弹性力的功为当时，（起始伸长大于最后伸长）弹性力做正功当时，（起始伸长小于最后伸长）弹性力做负功yxzRA3、定轴转动刚体上作用力的功刚体绕z轴转动，力的元功为：注意到：得到：从到，力的功特别地，若为常数，平面运动=随基点的平动+绕基点的转动在动力学中，应取质心为基点平面运动=随质心的平动+绕质心的转动4、刚体作平面运动结论：作用在平面运动刚体上力系的元功为：力系的主矢力系对质心的主矩质心的位移绕质心的转角C证明：取质心为基点，当刚体有微小位移时，力的作用点Mi

的位移为：力的元功为：由于力系全部力所做的功为得到：刚体作平面运动时作用力所作的功等于： 作用力主矢在质心位移上所作的功与对质心的主矩在绕质心转动中所作的功之和。结论：作用在平面运动刚体上力系的元功为：功为：例题AθCT半径为r的圆盘在水平力T作用下沿斜面纯滚动上升，写出水平力T的元功当轮心C有微小位移时，解：圆盘作平面运动§13-2质点和质点系的动能一、质点的动能二、质点系的动能定义：量纲：单位：J（焦耳）三、刚体的动能1、平移刚体的动能

平移刚体的动能等于把刚体的质量集中于质心时质心的动能证明：由于刚体作平移以及得到：代入：

定轴转动刚体的动能等于刚体对于定轴的转动惯量与转动角速度平方乘积的一半。3、定轴转动刚体的动能证明：刚体绕Z轴作定轴转动，转动角速度为ω得到：注意到：yxz3、平面运动刚体的动能

平面运动刚体的动能等于刚体跟随质心平移的动能与相对于质心转动动能之和。平面运动=随质心的平移+绕质心的转动平面运动=绕速度瞬心P

的转动CPω平面运动=绕速度瞬心P

的转动∵∴由转动惯量的平行移轴公式得到CPωd∵得到：例题已知：半径为R，质量为m的均质圆盘，在地面上作纯滚动，中心的速度为求：该物体的动能C解：圆盘作平面运动代入：得到：例题求：该物体的动能已知均质杆长l，质量为m，B端的速度为v。vBAφ图示位置，P解：AB杆作平面运动，速度瞬心在P点CvBAφAm1x´y´θlOxm2BvA已知滑块A的质量为m1，质点B的质量为m2,。AB杆的长度为l、不计质量，可以绕A点转动，滑块的速度为

vA

。求：系统的动能例题例题1ve解：1、运动分析与速度分析滑块作直线运动，速度为vA；质点B作平面运动。以A为基点，其牵连速度与相对速度分别为Am1x´y´θlOxm2BvAvr例题1解：3、计算系统动能滑块的动能质点B的动能Am1x´y´θlOxm2BvA例题1解：3、计算系统动能滑块的动能质点B的动能系统的总动能Am1x´y´θlOxm2BvA§13-3动能定理一、质点的动能定理质点动能的微分等于作用在质点上力的元功微分形式质点从某一位置运动到另一位置，其动能改变量等于运动过程中作用在质点上的力所作之功。积分形式定理的证明：由牛顿第二定律：动能定理微分形式积分上式动能定理积分形式

对于有n个质点的质点系，将n个方程相加质点系动能定理微分形式：质点系动能的微分等于作用在质点系上所有力的元功之和二、质点系的动能定理

对于第i个质点：质点动能的微分等于作用在质点上合力的元功得到：式中：

所有有功力——既包括外力，也包括内力； 既包括主动力，也可能包括约束力质点系动能定理积分形式：质点系动能改变量等于运动过程中作用在质点系上的所有有功力所作之功的代数和将上式积分，得：由质点系动能定理微分形式三、内力的功与理想约束的概念xzyFAFBAB系统内力FA＝－FB

这一对内力在什么情形下作功？什么情形下不作功？1、内力的功xzyFAFBABrArB

FA和FB在drA和drB上所作之元功为：

内力之功与理想约束力之功xzyFAFBBrArBA

这一结果表明：当两点之间的距离发生变化时，这两点之间的内力所作之元功不等于零。

内力之功与理想约束力之功

关于内力之功对于一个刚体，内力功恒等于0对于刚体系，内力功一般不等于0

关于内力之功

内力不能改变质点系的动量和动量矩，但是内力作功可能改变系统的能量；2、理想约束的概念由于对于质点系（刚体系），内力功一般不等于0，此时，可将作用力分为：主动力约束反力理想约束：约束反力的功等于0的约束研究质点系上作用力的功时，将力分为外力和内力，并不方便。3、几种常见的理想约束（1）光滑接触面约束

约束反力：作用于接触点，沿二个接触面的公法线方向（若为尖点和面的接触，则沿该面的法线方向）。⊥光滑接触面约束为理想约束（2）柔索特点：只能受拉，不可伸长。ABαβA、B两点的位移在绳索中心线上的投影必然相等。柔索约束为理想约束（3）光滑铰支座和轴承在不考虑其内部的摩擦力时，由于约束反力与位移方向始终相互垂直，约束反力不做功。光滑铰支座和轴承也是理想约束销钉销钉孔（4）连接两个刚体的铰链两个刚体的连接铰链处的相互约束反力总是大小相等、方向相反。O当铰链O有微小位移时，连接两个刚体的铰链是理想约束纯滚动时，滑动摩擦力(约束力)不作功OvOC*FFN

C*

为瞬时速度中心，在这一瞬时C*点的位移为零。作用在C*点的摩擦力F所作元功为四、摩擦力的功1、纯滚动时，滑动摩擦力(约束力)所做的功2、动滑动摩擦力的功M2MM1摩擦阻力总是做负功，并与路程的途径有关。特别地：若FN为常数式中：S为曲线M1M2

的长度。五、动能定理的另一常用形式对于具有理想约束的质点系，动能定理可表示为：动能定理：对于具有理想约束的质点系，质点系动能改变量等于运动过程中作用在质点系上的所有主动力所作之功的代数和。对于具有摩擦力的约束，将摩擦力作为主动力处理后，仍可将它们视为理想约束例题质量为m，半径为r的均质圆柱，纯滚动，斜面倾角为θ，摩擦系数为f，均为已知。求：圆柱下降S长度后，中心的AθCSAθCS解：由动能定理代入：外力功：代入动能定理得：解得：AθCS求C点的加速度，可利用（a）式将（a）式的两边对t求导，得解得：利用质心运动定理可进一步求得圆柱上的约束反力。例题鼓轮半径为R1、质量为m1，质量分布在轮缘上，圆柱质量为m

2，半径为R2，质量均匀分布，鼓轮在力偶矩M带动下绕固定轴O转动，带动圆柱纯滚动上升，轨道的倾角为θ。求：圆柱中心C经过路程s时的速度和加速度。OθMC解：以鼓轮和圆柱为研究系统OθMC设C点上升s后，鼓轮的角速度为

，圆柱中心C的速度为由系统的受力图可知，系统主动力所做的功为：ω1OθMCω1系统的动能为：上式中：得到：代入动能定理得：OθMCω1系统的动能为：由动能定理得：代入：解得：将（a）式的两边对t求导，得bl－b

链条总长度为l，线质量密度为，下垂部分长度为b，链条从禁止开始，在自重作用下运动。不考虑链条与台面之间的摩擦。求：链条完全离开台面时的速度例题例题6bl－b链条的动能变化链条重力所作之功应用动能定理求得链条完全离开台面时的速度1、定义：单位时间内力所作之功

力的功率等于该力在其作用点速度方向上的投影与速度的乘积。§13-4功率、功率方程、机械效率一、功率2、力的功率

作用在转动刚体上的力矩的功率等于力矩与刚体转动角速度的乘积。3、转矩的功率4、功率的单位功率的单位：功率的量纲：二、功率方程质点系动能定理的微分形式等式两边同除以dt——功率方程输入有用无用输入有用无用得：输入有用无用

系统的输入功率等于有用功率、无用功率、以及系统动能变化率之和。三、机械效率η一般定义：有用输入有效功率输入功率本书中规定：有效功率=有用例题带式运输装置，胶带速度v=1m/s，输送量 输送高度h=5m。胶带转动的机械效率，机械传动的效率求：所需电动机的功率vh解：输送机的总效率为有用vh有用由功率效率方程：有用输入有用输入解得：输入车床电动机的功率P输入＝5.4kW。传动零件之间的摩擦损耗功率为输入功率的30％。工件的直径d＝100mm。求：转速n=42r/min和n=112r/min

的允许最大切削力。例题解：车床正常工作时，工件匀速旋转，动能无变化其中切削力F与工件在切削力作用点的速度v同向当

n=42r/min

时当

n=112r/min

时§13-5势力场、势能、机械能守恒定理1、力场物体在空间任一点上都受到一个大小和方向都由点的位置所确定的力的作用，该空间称为力场。一、势力场2、势力场物体在力场中运动时，所受力场作用力的功，与物体运动轨迹无关，仅取决于其起始位置和最终位置。重力场、弹性力场，都是势力场3、有势力物体在势力场中所受的力二、势能1、定义：势力场中，从点M运动到任一点M0，有势力所做的功，称为点M相对于点M0的势能。点M0—零势能点，可任意选取。2、重力场的势能xzyOMM0z0z在重力场中，一般选地面作为零势能点3、弹性力场的势能由弹性力的功的计算公式：若取弹簧的自然位置点作为零势能点，弹性力场的势能为：四、质点系的势能质点系从原始位置到其零势能位置的运动过程中，所有有势力的功的代数和。五、质点系势力场中运动时，有势力所做的功结论：质点系势力场中运动时，有势力所做的功等于质点系在运动过程中起始位置和终了位置的势能之差。五、机械能守恒定理

保守系统