2024年高考数学专项复习：数列大题基础练（解析版）

2024年高考数学专项突破数列大题基础练（解析版）

数列大题基础练-新高考数学复习

分层训练（新高考通用）

1.（2022•浙江•模拟预测）己知数列｛。“｝满足，a„+1=«„+2.（-1）".

（1）若4=1,数列｛%,｝的通项公式；

（2）若数列｛。“｝为等比数列，求为.

2.（2022•海南省直辖县级单位•校联考一模）等差数列｛%｝的首项4=1,且满足a2+%=12,数列抄/满足

a=2。”.

（1）求数列｛。“｝的通项公式；

（2）设数列｛"｝的前〃项和是北，求人

3.（2023•黑龙江大庆•统考一模）设｛%｝是公差不为0的等差数列，％=2,%是为，%的等比中项.

⑴求｛%｝的通项公式；

3

⑵设〃=——，求数列也｝的前〃项和

anan+\

4.（2023•广东惠州•统考模拟预测）数列｛%｝中，％=2,a„+1=2a„-l.

⑴求证：数列｛%-1｝是等比数列；

⑵若bn=a„+n,求数列也｝的前n项和T„.

5.（2023•广东江门•统考一模）已知数列｛%｝（"N+）满足为=1,%包=也土且"=".

n"

⑴求数列｛"｝是通项公式；

⑵求数列｛4｝的前〃项和S”.

6.（2023•江苏•统考一模）己知等比数列｛%｝的各项均为正数，且出+%+%=39,%=2%+3%.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵数列也｝满足。=一,求也｝的前力项和Tn.

7.（2023・重庆・统考二模）已知数列｛。“｝的前〃项和为S”,且满足+1）。“=5,且％R-5.

⑴求证:数列为常数列，并求｛%｝的通项公式；

⑵若使不等式5“>20成立的最小整数为7,且为eZ,求生和S”的最小值.

,、an+\

8.（2023•海南海口•校考模拟预测）已知数列｛%｝的前〃项和为S.，为=4,.

2n

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵记g=*-l,数列｛g｝的前"项和为7；,求;+/+…+J的值.

9.（2023•山东青岛・统考一模）已知等差数列｛%｝的前〃项和为*,公差4*0,邑，/，工+4成等差数

列，a2,%，%成等比数列.

⑴求S“；

（2）记数列他,｝的前〃项和为7；,2-”=吟,证明数列1

为等比数列，并求抄,｝的通项公式.

10.（2023•山东济南•一模）已知数列｛%｝满足%=l,f+1-（〃+1）%=1.

⑴若数列｛"｝满足"=4，证明：｛4｝是常数数列；

n

（2）若数列仁｝满足c“=sin（支1+2"“，求｛%｝的前2〃项和邑“.

11.（2022•辽宁鞍山•统考一模）已知等差数列｛。,｝满足首项为1。8315-1。8310+；1。834的值，且%+%=18.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵设“二一1—,求数列也｝的前“项和人

anan+\

12.（2023・广东•统考一模）已知各项都是正数的数列｛叫，前〃项和与满足a；=2S"—"（〃eN*）.

（1）求数列｛%｝的通项公式.

⑵记只是数歹的前〃项和，2是数歹的前〃项和.当〃22时，试比较只与。”的大小.

〔S"

13.（2022・吉林长春•东北师大附中校考模拟预测）从①E,=〃，+言］；②邑=4，%=%2；③/=2,%

是的,4的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答.

已知等差数列｛%｝的前〃项和为s“，公差d不等于零，.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵若b„=邑,“-%,数列也｝的前n项和为匕，求wn.

14.(2022・广东珠海・珠海市第三中学统考二模)已知数列｛0｝,｛2｝的前〃项和分别为S“，T”,

nx2

an+bn=2-+2n-\,Tn-Sn^2"-n-1.

(1)求4,4及数列｛%｝,也｝的通项公式；

⑵设C“=/peN,求数列C"的前2"项和号.

[bn,n=2k'/

15.(2022・云南大理・统考模拟预测)已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且满足q=1,二%=。向-1.

n

(1)求数列｛。“｝的通项公式；

⑵若数列£,=[：'〃?嚼将，求数列｛Q｝的前2〃项和心.

[2〃+3/为偶数，

16.(2022•湖南永州•统考一模)已知数列｛%｝,｛4｝满足：%=々=1,且%+2%-%4=0.

⑴若数列｛%｝为等比数列，公比为见求也｝的通项公式；

(2)若数列｛%｝为等差数列，an+l-an=\,求也｝的前"项和配

17.(2022•广东韶关•统考一模)已知数列｛%｝的首项%=?,且满足。用=%，设-1.

(1)求证：数列也｝为等比数列；

⑵若140,求满足条件的最小正整数〃.

a2a3an

18.(2022•河北•模拟预测)已知数列也｝的前〃项和为%%=3,且S.+S角=2%-3.

⑴求数列｛0“｝的通项公式；

(2)①bn=anlog3an；②“=------------------；③2=a“-log3an.

j34〃+2

iog3alog

从上面三个条件中任选一个，求数列也,｝的前〃项和.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19.（2022•广东广州•统考一模）已知公差不为0的等差数列｛%｝中，6=1,%是%和4的等比中项.

（1）求数列缶“｝的通项公式：

（2）保持数列｛%｝中各项先后顺序不变，在％与at+l（k=1,2,…）之间插入2J使它们和原数列的项构成一个新

的数列也J,记也,｝的前〃项和为北，求心的值.

20.（2023・湖北•荆州中学校联考二模）已知数列｛a,J,若.

（1）求数列｛%,｝的通项公式；

（2）求数列的前〃项和北.

I%%J

从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解.

（T）Q]++%---;

②。]=1,。4=7,2a„=an_1+an+1（weN,,w^2）；

③4=1,点/（〃,6）,+在斜率是2的直线上.

21.（2023•江苏南通•二模）已知正项数列｛%｝的前〃项和为，且%=1,S；…S；=8",„6N,.

⑴求S“；

（2）在数列｛《,｝的每相邻两项%.，%+i之间依次插入%，％…，时,得到数列

｛6j：%,%,a2,%,a2,a3,%,a2,a3,a4......求｛"｝的前100项和.

22.（2023•江苏南通•海安高级中学校考一模）已知数列｛%｝满足24=4-+°用（〃22）,且

ax=2,4+%+%=18

（1）求｛%｝的通项公式；

⑵设6“=（亚广-1000,求数列也｝的前15项和几（用具体数值作答）.

23.（2023•安徽•模拟预测）已知｛%｝为等差数列，也｝是公比为2的等比数列，且电--

（1）证明：4=4；

⑵求集合｛左心=。„,+知1<m<500）中元素个数.

，、a5n—4

24.（2023•河北衡水•河北衡水中学校考三模）已知｛。,｝为等差数列，工=丁二9=1.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）若b“=4++14）'为抄“｝的前"项和,求心

25.（2023・广东广州・统考二模）设数列｛%｝的前"项和为S"，且S”=2%-2（"eN*）.

（1）求｛。,｝的通项公式；

（2）设-----；-------,记也｝的前〃项和为《，证明：Tn<\.

log2a„-log2a„+1

26.（2023•江苏泰州•统考一模）在①几邑“4成等比数列，②&=2%+2,③5=S4+品-2这三个条件中

任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.

己知数列｛%｝是公差不为0的等差数列，其前〃项和为S,,且满足，.

⑴求｛4｝的通项公式；

1111

（2）求---+----+----+…+------.

。2。3。3。4anan+\

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.

27.（2023•黑龙江・黑龙江实验中学校考一模）已知数列｛%｝,前“项和为国，且满足练+i=2a“-a.T，n>2,

〃eN*,%+%=14,跖=70,等比数列也,｝中，bl+b2=12,且々也+6,4成等差数列.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式；

⑵记q,为区间伍也］（〃eN*）中的整数个数，求数列匕｝的前〃项和匕.

28.（2023・吉林•统考二模）已知数列的前〃项和为斗，％=3,数列是以2为公差的等差数列.

（1）求｛%｝的通项公式；

⑵设b„=㈠）（…）,求数列出｝的前2〃项和耳.

44+1

29.（2023•山西•校联考模拟预测）已知数列｛叫满足。“>0,a^=anan+l+2a；,且3%,%+3,%成等差

数列.

⑴求｛%｝的通项公式；

a?,几为奇数

⑵若bn=<logia“，及为偶数，求数列也｝的前2n项和T2„.

、2

30.(2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨三中校考二模)已知数列｛g｝满足：%=5,%+[=3%-4,设6“=%-2,

HGN*.

⑴求数列抄,｝的通项公式；

(2)设.一一^一+一仇+…+二一'("eN),求证：Tn<-.

数列大题基础练-新高考数学复习

分层训练(新高考通用)

1.(2022•浙江•模拟预测)己知数列｛。“｝满足，a„+1=«„+2.(-1)".

(1)若4=1,数列｛%,｝的通项公式；

(2)若数列｛。“｝为等比数列，求为.

【答案】(1)%=T；

⑵为=1.

【分析】(1)利用累加法求知即可；

(2)根据%+1=。“+2-(-1)"得到。2=。「2,«3=a2+2,联立得到9=-1,然后代入求％即可.

【详解】(1)由题意得%

所以a2n=(42"一。2"-1)+一。2片2)+…+(。2-%)+4

=2.(-1)2，，-1+2.(-1)2"2+…+2x[])+]

=-2+1=-1

(2)设数列｛%｝的公比为,

因为。”+i=。0+21),所以出=%—2,%=%+2,两式相加得。§=%，家=%，所以q=±i,

当4=1时，%=%=%-2不成立，所以g=-l,&=-%=%-2,解得%=1.

2.(2022•海南省直辖县级单位•校联考一模)等差数列㈤｝的首项为=1,且满足。2+%=12,数列也,｝满足

或=2“”.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)设数列｛4｝的前"项和是看,求骞.

【答案】⑴。“=2〃-1；

,2〃+lQ

⑵小丁-1

【分析】（1）由已知可得2%+5d=12,代入4=1,求出1=2,即可得到通项公式；

（2）由（1）知，“=gx4",得到｛"｝是。=2为首项，以4为公比的等比数列.进而根据等比数列前〃项

和公式，即可求出答案.

【详解】（1）解：设｛%｝公差为d.

由。2+。5=12可得，2%+5d=12.

又4=1,所以d=2.

所以%=l+2（«-l）=2n-l.

21

（2）解：由（1）知，bn=T-=2"-=-X4\

则恭=4,故抄/是4=2为首项，以4为公比的等比数列.

所以/=4+%+••也=2X（4"）=2X4"2=Q_Z.

1-4333

3.（2023•黑龙江大庆・统考一模）设｛。,｝是公差不为0的等差数列，为=2,%是%,。”的等比中项.

（1）求｛。,｝的通项公式；

3

⑵设。=——，求数列也｝的前〃项和

anan+\

【答案】⑴。"=3"T

【分析】（1）设｛%｝的公差为d，由题意可得（2+24）2=2（2+101）,求出〃=3,即可求出｛%｝的通项公式;

（2）由裂项相消法求和即可得出答案.

【详解】（1）设｛%｝的公差为d,因为％=2,%是%,%］的等比中项，

所以（2+2d）=2（2+10d）,所以d2-3d=0.

因为d/0,所以d=3,故。”=2+3（〃-1）=3〃一1.

33__1_____1

（2）因为“=-

a/〃+i（3«-1）（3«+2）3W-13〃+2'

%

所以S〃

&i+4

4.(2023•广东惠州・统考模拟预测)数列｛%｝中，%=2,an+l=2an-l.

(1)求证：数列｛。0-1｝是等比数列;

⑵若bn=an+n,求数列也｝的前〃项和7；.

【答案】(1)证明见解析

几23〃

(2)(=2〃+———-1

【分析】(1)由已知等式变形得出&呷=2,结合等比数列的定义可证得结论成立；

(2)求出数列也,｝的通项公式，利用分组求和法可求得4.

【详解】(1)解：因为。，用=2%-1,所以a“+「l=2(a“-l),

因为q=2,贝lj%=2%—1=3,a3=2a2—1=5,L,

a—1

以此类推可知，对任意的〃GN*,anN2,所以，口r二2,

anT

又%-1=1,所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.

(2)解：由(1)可知%-1=2-〃eN*,所以a=a“+〃=2"T+〃+l,

2

又由题知Tn=4+%+4+—卜b〃=(2。+2-优+3卜(2+4)…+g〃，+〃+1)

12M1H24W+1

=(2°+2+2+---+2-)+[2+3+4+---+(/7+l)]=yy+^2^

2

=2„+M+3H_L

2

5.(2023・广东江门•统考一模)已知数列｛%｝("eN+)满足％=1,0用=即±2%,且

nn

(1)求数列｛4｝是通项公式；

(2)求数列｛。“｝的前〃项和S“.

【答案】⑴6”=3"

(2〃-1)3"1

⑵S〃=

44

【分析】(1)将％换为血代入%+1=如口。"中化简，根据定义即可判断也｝为等比数列，由首项公比写出

n

通项公式即可；

(2)由(1)中的通项公式求得。”，再利用乘公比错位相减得出前〃项和即可.

【详解】(1)解：因为。用=生E%,所以削=3%，

又所以％=耳，所以卧=3,又A=q=l,

所以数列｛2｝是以1为首项，3为公比的等比数列，所以6“=3”，

(2)由(1)知，2=%=3"一，所以,

n

所以S“=1-3°+2-31+3-32+4-33+•••+(«-l)-3"-2+w3n-1,

3S„=1-3'+2-32+3-33+4-34+•••+(«-l)-3n-1+«-3",

两式相减可得：-2S„=3°+31+32+33+34+---+3,,-1-»-3",

所以一2'="一"3,故S”(2〃T)3"+L

2"44

6.(2023・江苏•统考一模)已知等比数列｛%｝的各项均为正数，且%+%+%=39,%=2%+3%.

(1)求｛。,｝的通项公式；

⑵数列也,｝满足4=一，求也｝的前〃项和&

an

【答案】⑴为=3"、

2_汩

⑷"44x3",

【分析】(1)根据等比数列基本量的运算可得为,q,即可得数列｛%｝的通项公式；

(2)由题可得“，然后利用错位相减法求解即可；或利用裂项相消法求和即得.

【详解】⑴设数列叫的公比为qq>0,贝1J丫，，，《>0,解得，

=2a]/+3%g2[g=3

所以4=3内，即｛«„｝的通项公式为an=3"T；

(2)方法一：由题可知”=言，

皿T123n-\n

贝K=l+-r1+-r2+---+—r+-r，

333“23"T

所以》=1+:+:+:+…

,T_96〃+9

一“一14x3〃.

方法二：b=n/'[("I)

"a3"3"T

XO+

所以[=〃+伪+.••+”1

3°r1

39

92〃+496〃+9

43"--4-4x3w

7.(2023•重庆•统考二模)已知数列｛%｝的前〃项和为S〃，且满足照+「(〃+1”“=5,且4产-5.

(1)求证:数列｛产｝为常数列，并求｛%｝的通项公式;

(2)若使不等式5“>20成立的最小整数为7,且为eZ,求生和S”的最小值.

【答案】(1)证明见解析，an=(5+(21)»-5

(2)%=-3；S”的最小值为:-4

【分析】⑴中两边同除再结合裂项即可同构出所需数列;(2)中由不等式5“>20成立的最小整数为7

可以确定A为二次函数且开口向上，结合qeZ,即可求出%，从而S.就确定了.

【详解】(1)因为〃％用-("+1)。"=5,两边同除+得，

aa

„+l„,5=5__5_

n+1n77(77+1)nn+V

所以叽+上=&+』

n+1n+\nn

所以数列为常数列；

所以氏+5=%；5=%=（5+%）〃-5.

（2）由（1）知，数列｛%｝是等差数列，

所以$="%+%）=〃[%+（5+%）"-5]=（5+"a—』

"-22・2

因为5。＞20,化简得（5+%）/+（0-5]）〃一40＞0；

令/⑺=（5+/川+（a_5]）〃-40,

则/（"）＞0成立的〃最小值为7,

/(6)<0

/(7)>08555

所以

/(1)<028121

%>—5

因为qeZ,所以q=-3；

所以5“=/_4〃,故Sn的最小值为S2=-4.

,、an+\

8.（2023•海南海口•校考模拟预测）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，％=4,方=丁.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵记C“=*-1,数列｛c,J的前”项和为7；,求：+/+…+J的值.

2，21n

【答案】⑴见=5+1）2"

⑵T

【分析】（1）根据为=[:'”:1、.得到[⑦]是以2为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式;

[S"-S"T，"221«+1J

（2）由（1）得4=驾-1=〃，由等差数列求和公式得到!=2（1一一二），利用裂项相消法求和.

2Tn\nn+\）

【详解】（1）由于=方-得到S〃=*,

Sn2nn+1

当心2时，S“T=2（〃T/T,

n

两式相减，有%=也-2（〃-1）的,

n+1nn77+1

由于“22,又匚=2・生，

n+\n

因为3=2,由上述递推关系知4/0,

所以｛含｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以4=2x2"—,所以%=（〃+1）2".

〃+1

（2）由（1）矢口：cn=^-l=n,则cw+i-c“=〃+1-〃=1,

所以数列｛4｝为等差数列,

m,1114

所以书+/+・“+彳=21-

9.（2023•山东青岛・统考一模）已知等差数列｛%｝的前〃项和为*,公差dwO,S2,S4,工+4成等差数

列，a2,%，%成等比数列.

⑴求S“；

〃+2

（2）记数列仍,｝的前n项和为1,2b”-T=为等比数列，并求抄,｝的通项公式.

n飞一，证明数列ai

【答案】（l）S"="2+〃

(2坨="+2-

【分析】（1）根据等比中项以及等差中项，结合等差数列基本量的计算即可求解公差和首项，

〃+2

（2）根据2，-北=一结合前〃项和与通项之间的关系即可证明等比数列，由等比数列的定义即可求解通

项.

【详解】（1）由邑，邑，Ss+4成等差数列，a2,%,网成等比数列可得

5%+10d+4+2%+d=2(4q+6d)

S5+4+S2=2S4

=><2=>Q]=2,d=2,

。4=(q+3d)=(%+d)(%+7d)

n\n

S=2n+^1-x2=n2+n

n2

(2)由2"一1得26]-7；=4=5,2方n+2E21

乙+r*

〃(加+1)

21

故24M=(讨+—-——两式相减可得

n+1n+2

2b〃+i-2b〃=be+-^—一―H■―nb-11

n+ib„­

n+1n+2nn+1〃+1〃+2n

,所以n31

而竹_不+-L为公比为2的等比数列,且首项为二一，

In+1

故或--+=2,7-1,进而=-----1+

nn+\nn+\

10.（2023•山东济南•一模）已知数列｛氏｝满足=1/。〃+1-（〃+1）4=1.

⑴若数列｛4｝满足”=必，证明：｛4｝是常数数歹

n

⑵若数列｛%｝满足c„=sin+求｛c」的前2〃项和SIn,

【答案】（1）证明见解析

24,,+1-2

⑵$2“=

3

计算出b-b=叶4手-4=o,得到也“｝是常数数列;

【分析】(1)n+in

n+\n

71

(2)在(1)的基础上，得到a=2n-l,c„=sinrm---+-22--1,利用分组求和得到答案.

n2

1+4+i1+%/0+,+J—(-+D(1+%)」+—(〃+1)—(「+1)〃

【详解】(1)因为a+i—%

n+\n

“+1-("+1)「0

(〃+1)〃

所以%=",

所以也｝是常数数列.

(2)因为%=1,所以〃=4=(=2,

所以4=2,

n

所以a”=2n-1.

IT2"T=sin%7t--\+纤,

因为c〃=sin—(2«-1)+2

(2；

所以82〃=sin—+sin—+sin—+•••+sin\2nTtr--j+(2工23+25+••-+24M4

222I2jI

2(1—42〃)24«+1_2

(1-1+1-1+-«-1)+--------二-----

1-43

24H+1-2

所以邑“=

3

11.（2022•辽宁鞍山•统考一模）已知等差数列｛4｝满足首项为Iog315-log310+；log34的值，且%+%=18.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设求数列也｝的前〃项和却

anan+\

【答案】⑴。”=2〃T

n

⑵2n+l

【分析】（1）利用对数的运算法则求得｛%｝的首项的，再利用等差数列的通项公式代入%+%=18即可求解;

（2）将（1）中。“=2〃-1代入“=」一，利用裂项求和法即可求得北.

aa

nn+l

x

【详解】⑴根据题意得，ax=log315-log310+^-log34=log3+log3V4=log3^+log32=log3|2]=：,

因为数列｛%｝是等差数列，设公差为d,则由%+%=18,得/+2d+%+6d=18,解得d=2,所以

%=1+(〃一l)x2=2〃-l.

1

（2）由（1）可得〃=

(21)(2〃+1)

111-1n

所以北二+…H---

2323522n+l

12.（2023•广东•统考一模）已知各项都是正数的数列｛%｝,前〃项和S”满足晨=2S“-。

（1）求数列｛4｝的通项公式.

⑵记只是数列!的前〃项和，Q„是数列，的前”项和.当〃上2时，试比较p„与a的大小.

〔SJ1%/

【答案】UM=〃

(2)4＜。.

【分析】（1）根据S”与%的关系，结合等差数列的通项公式进行求解即可;

（2）根据裂项相消法，结合等比数列前〃项和、二项式定理进行求解即可.

【详解】（1）当〃=1时，=2豆-4,所以4=1或4=0（舍去），

、匕、右册=2S-册，

当〃22时，有J2n

an-\~23〃_i—Q〃T，

两式相减得端=2an-an+an_x=an+an_x,

整理得(%+%)(%-%)=%+%，

因为｛%｝的各项都是正数，所以%=

所以｛%｝是首项为1,公差为1的等差数列，

所以%=l+b（H-l）=M;

n(n+l]

(2)由(1)得——』

〃2

111(.11111=2(1--'

所以A-----1----H---H-----=2\1----—----I-------

E$2S,223nn\-1I冰1)

11

由（1）得斯二2"T

「一一

所以2,

a

%。2%2n-x222〃T]_j_

一一2

n(n+l)/、

因为2〃=(1+1)〃=1+〃+12―~~1—〉1+〃〉0(〃之2),

所以^1-->i-——

2"1+H

所以当〃上2时，Pn<Q„.

13.（2022•吉林长春•东北师大附中校考模拟预测）从①S0=71"+5j;②邑=%，%=%&；③％=2,%

是外,4的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答.

已知等差数列｛6｝的前〃项和为S“，公差d不等于零，.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵若b„=S2H+i-S2„,数列也｝的前n项和为匕，求Wn.

【答案】(1)条件选择见解析，。“=2〃

⑵匕=4向+2"1-6

【分析】(1)选①：先计算出％=2,得到前〃项和公式，进而计算出方差和通项公式；

选②：得到关于首项和公差的方程组，求出首项和公差，求出通项公式；

选③：根据等比中项，列出方程，求出公差，通项公式；

(2)在第一问的基础上，计算得到数列｛，｝的通项公式，进而利用分组求和计算出前〃项和.

【详解】(1)选①.

易得%=H=1+],解得：％=2,即S“=/+”,

所以邑=4]+4=6,即4=4,故d=4-4=2,

所以4=2+2(/-1)=2〃.

选②.

2%+d=q+2d

易得所以q=d=2,

q+3d=%(q+d)，

所以4=2+2(”1)=2〃.

选③.

易得即(2+3dp=(2+d)(2+7d),解得：d=2(d=。舍去),

所以4=2+2(〃-1)=2〃.

(2)由(1)知S,="+〃，

所以2=S*-S?，=(2"+1)2+2向-(2")2-2"=3-4"+2”,

所以%=3(4+42+43+…+4")+(2+2?+23+…+2")

4(1-4")2(1-2,")

=3--------2-------=4"i一4+2-1-2=4n+1+2n+1-6•

1-41-2

14.(2022•广东珠海•珠海市第三中学统考二模)已知数列｛。"｝,｛4｝的前〃项和分别为S“，Tn,

nln2

an+bn=2-+2n-l,Tn-Sn^2-n-1.

(1)求4,4及数列｛叫，也｝的通项公式;

(2)设c,=107化eN,求数列c”的前2〃项和心.

【答案】⑴q=1也=1,。〃=2〃-1也=2〃T；

r\1n-v\0

(2)2«2-«+-----------.

33

2

【分析】(1)先根据Tn-Sn=l--n-\得到bn-an=2"_-2〃+1,再结合%+6“=2“+2〃-1,求出数歹|包｝,

扬,｝的通项公式：

(2)在第一问的基础上利用分组求和进行求解.

【详解】(1)在7；-S“=2"-『7中，

当n—\时，bi-ai—0,

当心2时，Z>„-«„=7；,-S„-S„_J=2--n2-l-2"-1+(n-l)2+l=2"-1-2»+1,

显然bi-a；=0适合上式，

所以60—=2"'—2〃+1,N*,

又a"+4=2i+2〃-l,

所以两式相减得%=2"-l,两式相加得a=2片

且a/=l,bi=I；

\a„,n-2k-\,

⑵因为(左©N),

[bn,n=2k')

(2〃一1,n=2k—1/*、

结合⑴中所求，C"=|(〃eN),

2,n=2k'7

故8〃=9+°2+°3+…+=%+Z+%+”…+a2n-\+b2n

〃(1+4〃-3)20-4〃)

=(q+。3+…+4为―1)+(%+d+…怎)~\

15.(2022・云南大理・统考模拟预测)已知数列｛0,｝的前〃项和为S“，且满足4=1,二，=。向-1.

n

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵若数列£,=；'〃?奇言将，求数列｛6｝的前2〃项和匕.

[2〃+3/为偶数，

【答案】(1)4=21

⑵氏=：(4"-1)+2〃2+5〃

a.a111

【分析】(1)根据s“与%的关系可得"。用-("+1)。“=1，进而得==------7,由累加法即

可求解；

(2)根据分组求和，由等差等比数列的求和公式即可求解.

(1)

2s

因为--=a„+i-1,所以250="%+]-〃，①

当"22时，2s“_[=(〃-1)。“-(〃-1),②

①-②得：2an=nan+l-(n-l)a„-1,即+1)%,

所以餐-组=—

n+1nn(n+l)nn+l

所以一^—T~=，由。2=3,可得a〃=2〃—1,

n22n

当〃=1时，％=1,符合上式,

所以。〃=2〃—1.

2〃力为奇数,

由题意得，c=

n2〃+3/为偶数,

则%〃=C+03+…+°2〃T)+(G+04+…+G〃)

_2(1-4〃)〃(7+4〃+3)

=|(4"-l)+2ra2+5n>

1-42

所以Q=g(4"T)+2"2+5〃.

16.（2022•湖南永州•统考一模）已知数列｛0.｝,｛4｝满足：%=々=1,且%+24+1也=0.

⑴若数列｛%｝为等比数列，公比为求｛2｝的通项公式;

⑵若数列｛%｝为等差数列，an+l-an=\,求低｝的前〃项和配

4n-l

【答案】（1）"=4"T或

⑵n+1

【分析】（1）先求出的=；或|，从而求出公比，根据题干条件得到T=）（"©*），即｛"｝是等比数歹U,

从而求出通项公式;

（2）先求出｛%｝的通项公式，再用累乘法求出抄“｝的通项公式，再利用裂项相消法求和.

【详解】⑴因为数列｛叫为等比数列，公比为q，且%

1、3

所以=万或。2=~

所以^=a=；或］,

622

又ajn+i-ah=0

所以»"（〃eN*),

即数列也,｝是以4=1为首项，）为公比的等比数歹U,

4n-l

故A=4〃T或

(2)依题意得公差d=l,即〃“=l+(〃-l)d=〃，

由于%+24+1-%”=()

ba1

所以亡二*nN2,nsN)

从而“工.工A.%.仇=。吐

%4an+la„

=刍"===2化一L](心2)

册。计1n(n+1)(〃n+\J

又4=1满足上式,

T“=4+4+&+~+4=2

17.(2022•广东韶关•统考一模)已知数列｛%｝的首项%=?,且满足。用==二，设-1.

⑴求证：数列也｝为等比数列；

⑵若L+L+J-+...+J->140,求满足条件的最小正整数〃.

a2a3an

【答案】(1)证明见解析

(2)140

【分析】(1)利用等比数列的定义证明即可;

(2)禾烟分组求和的方法得到‘+1+L+…+'="+1/3,然后利用"+1/3丫的增减性解不等式

axa2a3anJ

工+上+上+…+L>]4。即可

a

ax%〃3n

【详解】⑴.

1(1-%)=3

—4(~“)-4，

4=71T1="所以数列｛"｝为首项为4=；，公比为:等比数列.

(2)由⑴可得

(%)(%)1%)”)

4

3

而〃+1—随着〃的增大而增大

1111…(3丫

要使一+—+—+…+—〉140,即〃+1_2>140,则〃2140,

axa2a3an(4J

/.n的最小值为140.

18.(2022•河北•模拟预测)已知数列｛与｝的前〃项和为"，%=3,且S,+S用=2°向-3.

(1)求数列S"｝的通项公式；

⑵①b„=a„log3an；②b"=:•；③6,=logsa„.

l°g3,l°g3an+2

从上面三个条件中任选一个，求数列｛b„｝的前〃项和Z,.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)。“=3”

(2)答案见解析

【分析】(1)由已知可得当“22时，S“M-Si=2a”+「2%,进而得与旦=3(〃22),可求数列｛%｝的通项

an

公式；

(2)若选①：6,=anlog3an=n-3".错位相减法可求北.若选②：bn=^-(----二)，可求北.若选③：bn=3"-n,

2nn+2

分组求和可求1.

【详解】(1)当"22时,•.4+5,+产2%+1-3,.•.洋_+邑=2%-3,

S〃+1-S“T=2%+1-2an,an+i+an=2an+l-2an,=3(〃>2),

当〃=1日寸，S]+*S*2=2a2—3.4+%+a2=2。2—3.「.4=9,

二£=3,.•.数列｛%｝是以q=3,3为公比的等比数歹U,

Q〃=3X3〃T=3〃.

(2)若选①：bn=anlog3an=n-3",

.-.7；,=1X3+2X32+3X33+---+W3",

37；,=1X32+2x33+■••+(«-1)-3"+??-3"+1,

.-.-27；=3+32+33+---+3"-W3"+1

止力_〃.叫1a

3—x

1-322

3

=(-n-+-.

4

111(LJ,

若选②：b=

nlogs%・嚏3%+2〃(几+2)2nn+2

------)=—(1+--------------------)

n+22277+1n+2

_32〃+3

-72(〃+l)5+2)

若选③：bn=an-log3an=3"-n,

=(3-l)+(32-2)+(33-3)+---+(3"-»)

=3+3?+33+…+3"-(1+2+3+…+〃)

_3(1-3")_〃(〃+l)_3,,+1-M2-H-3

1-32--2

【点睛】数列求和的常见方法：

①错位相减法

②裂项相消法

③分组求和

④公式法

⑤倒序相加法

19.(2022・广东广州•统考一模)已知公差不为0的等差数列｛%｝中，％=1,%是电和％的等比中项.

⑴求数列｛%｝的通项公式：

（2）保持数列｛%｝中各项先后顺序不变，在《与ak+l（k=1,2,…）之间插入2J使它们和原数列的项构成一个新

的数列色｝,记也J的前〃项和为骞，求数的值.

【答案】（1）。“=〃

（2）2101

【分析】（1）公式法解决即可；（2）与与右.（左=1,2,...）之间插入2J说明在数列｛a