两条直线的位置关系（八大题型）（讲义）-2024年高考数学复习（新教材新高考）（解析版）

第02讲两条直线的位置关系

目录

〔考:情:砥ff]

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考点要求考题统计考情分析

（1）能根据斜率判定两条直高考对两条直线的位置关系的考查比

线平行或垂直.较稳定，考查内容、频率、题型难度均

（2）能用解方程组的方法求变化不大，备考时应熟练掌握两条直线

2022年上海卷第7题，5分

两条直线的交点坐标.的位置关系、距离公式、对称问题等，

2020年/〃卷第8题，5分

（3）掌握平面上两点间的距特别要重视两条直线的位置关系以及

2020年上海卷第7题，5分

离公式、点到直线的距离公点到直线的距离公式这两个考点.

式，会求两条平行直线间的距

离.

平行

两条直线的位置关系

・夯基•必备基础知识梳理

知识点一：两直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示.

两直线方程平行垂直

/[：4]+耳>+£=oA%—=0且

44+B[B?-0

12:4%+B2y+C2=0gG—B?C]w。

Z.:y=kx+b―,

>'y:（斜率存在）

i2-y=k2x+b2ky=k2,bxwZ?2或人能=-1或勺与心中有一个为

"（斜率不存在）0,另一个不存在.

l2:x=x2

知识点二：三种距离

1、两点间的距离

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平面上两点勺（%,%）,£（9,%）的距离公式为I片61=.西一%）2+（乂一%）2-

特别地，原点。（0,0）与任一点P（x,y）的距离IOP1=Jx2+y2.

2、点到直线的距离

点心（无。,%）到直线l-.Ax+By+C=Q的距离d=坐+为。+0

VA2+B2

特别地，若直线为/：x=m,则点心（尤0,%）到/的距离4=|帆-%|；若直线为/：y=n,则点心（尤0,%）到

/的距离d=|w-%|

3、两条平行线间的距离

已知44是两条平行线，求44间距离的方法：

（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.

（2）设/］：加+为+£=0,/,:小+加+0,=0,则4与h之间的距离d=厚二£1

一一一VA2+B2

注：两平行直线方程中，x,y前面对应系数要相等.

4、双根式

双根式=+q±屈/+3+4型函数求解,首先想到两点间的距离，或者利用单调性

求解.

【解题方法总结】

1、点关于点对称

点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点P（x，%）关于点Q（x0,为）的对称点为P（%2,%），则根据

%+々

xo=

中点坐标公式,有V2

弘+%

%=2

f

可得对称点P（x2,%）的坐标为（2%-%,2%-%）

2、点关于直线对称

点P（%,%）关于直线/:Ax+5y+C=0对称的点为，连接尸P，交/于M点，则/垂直平分

kl-kpP>——1

pp'，所以PPJL/，且M为pp中点，又因为M在直线/上，故可得Jx+xv+v，解出

（电,%）即可•

3、直线关于点对称

法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求

出直线方程；

法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.

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4、直线关于直线对称

求直线4：办+by+c=O，关于直线6：公+"+/=()(两直线不平行)的对称直线4

第一步：联立4算出交点P(x0,%)

第二步：在人上任找一点(非交点)0(%,%)，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点0(々，为)

第三步：利用两点式写出4方程

5、常见的一些特殊的对称

点(x,y)关于x轴的对称点为(无，-y),关于V轴的对称点为(-x,y).

点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线丁=-工的对称点为(_y,-尤).

点(x,y)关于直线x=。的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b—y)•

点(x,y)关于点(a,6)的对称点为(2a-x,2b-y)-

点(x,y)关于直线无+y=左的对称点为(左-y,左-尤)，关于直线x-y=上的对称点为(左+y,x-左).

6、过定点直线系

过已知点尸(%,%)的直线系方程y-%=k(％-尤0)(左为参数).

7、斜率为定值直线系

斜率为左的直线系方程y=fcv+6(万是参数).

8、平行直线系

与已知直线Ax+胡+C=0平行的直线系方程4r+By+4=O(4为参数).

9、垂直直线系

与已知直线Ax+B>+C=0垂直的直线系方程&-Ay+2=0(2为参数).

10、过两直线交点的直线系

过直线/]：4x++G=0与6：4x++C?=0的交点的直线系方程：

A.x+B^+Q+2(4^+52y+C2)=0(九为参数).

一提升•必考题型归纳

题型一：两直线位置关系的判定

例1.(2023・高二课时练习)直线2x+y+2=0与依+4y-2=。互相垂直，则这两条直线的交点坐标为()

A.(1,T)B.(0,-2)

c.(-ho)D.[agj

【答案】c

【解析】易知直线2尤+、+2=。的斜率为—2,

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由两直线垂直条件得直线…—斜率一:；，解得唯一2；

2x+y+2=0x=-l

联立幺+4y=。,解得

y=0

即交点为（-1,0）

故选：C.

例2.（2023•江苏南通・高二江苏省如皋中学校考开学考试）已知过点4-2,附和点5（私4）的直线为",

，2：y=-2%+113：y=----X---.若4/〃212,,3，则.+〃的值为()

nn

A.-10B.-2

C.0D.8

【答案】A

【解析】因为“4,所以"^=上2=—2,解得机=一8,又…，所以（」］x（-2）=-l,

m+2vnJ

解得”=一2.所以〃2+"=—10.

故选：A.

例3.（2023・浙江温州・高二乐清市知临中学校考开学考试）设直线4：尤+20-5=0,/2：（34-1及-到-2=0,

则a=1是乙_L4的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

［解析］当a=l时，直线4：x+2y-5=0,l2:2x-y-2=0,

止匕时匕=-g,&=2,贝岫？履J，所以故充分性成立；

当口时，lx（3a-l）+2ox（-a）=0,解得a=l或a=：,故必要性不成立；

所以“a=1”是的充分不必要条件，

故选：C.

变式L（2023・广东东莞•高三校考阶段练习）直线/1：m+2y+2=0与直线4：%+（根-l）y=0平行，则加二

()

A..-1或2B.2C.—1D.—2

【答案】A

【解析】因为直线4：mx+2y+2=0与直线4：x+O—l)y=。平行，

所以m(m-l)-2xl=0nm=2或机=—1,

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当帆=-1时，直线4：x-2y-2=0,直线/?：无-2y=0,

此时直线4与直线6平行，满足题意，

当〃z=2时，直线4：尤+y+l=O,直线/2：x+y=O,

此时直线4与直线6平行，满足题意，

故选：A.

变式2.（2023•全国•高三专题练习）已知直线，|：ax+2y+l=O,/2：（3—a^x—y+a=0,则条件"a=l"

是““。的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不必要也不充分条件

【答案】B

【解析】若4U，则（3-少（-3=-l,

解得a=1或a=2.

故a=1是乙的充分不必要条件.

故选：B

变式3.（2023・黑龙江牡丹江・牡丹江一中校考三模）已知直线/1"+〉=0,/2：6+办+1=0,若/1/2，则。+）=

（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】因为直线4：x+y=0,4：ax+by+l=0,J.Zj1Z2,则＞4+12=0,

所以a+b=0.

故选：B

变式4.（2023・全国•高三专题练习）已知4-1,2）,8（1,3）,C（0,—2）,点。使AOLBC,AB//CD,则

点D的坐标为（）

3813

【答案】D

【解析】设。（尤，y）./.x+5y—9=0,

x+i1-0

x+5y—9=0

1.x—2》一4=0,由得

x1-(-1)x-2y-4=0

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故选：D.

变式5.(2023・甘肃陇南.高三统考期中)已知AABC的顶点3(2,1),C(-6,3),其垂心为7/(-3,2),则其顶

点A的坐标为

A.(-19,-62)B.(19,-62)C.(-19,62)D.(19,62)

【答案】A

【解析】H为AABC的垂心:.AHLBC,BH±AC

3-11,2-11

又凝c=

-6-24BH-3-25

直线AH,AC斜率存在且心“=4,心c=5

^AH=二二4

x+3x=-19

设A(x,y),则,解得:.•.4(-19,-62)

y=-62

^AC=金=5

x+6

本题正确选项：A

变式6.(2023•全国•高三专题练习)直线小尤+(l+a)y=l-a(aeR),直线小工-夫，下列说法正确的是

()

A.BaeR,使得B.BaeR,

C.VaeR,4与6都相交D.3aeR,使得原点到《的距离为3

【答案】B

【解析】对A,要使乙〃/2,则尢〃a所以-1匚=-=，解之得。=1,此时乙与6重合，选项A错误；

对B,要使人,3Qh",[一2J[一g[=T，解之得”=一|，所以B正确；

对C,4：x+(l+a)y=l-。过定点(2,-1),该定点在4上，但是当。=1时，4与4重合，所以C错误；

,如o+B为+。|1-«|

对D'd=—=3,化简得86-20a+17=°'此方程△<€!,"无实数解'所以D

错误.

故选：B.

变式7.(2023•全国•高三对口高考)设a,瓦。分别为，ABC中ZA,N3,NC所对边的边长，则直线

sinA・尤+ay+c=0与直线6x-sinB-y+sinC=0的位置关系是()

A.相交但不垂直B.垂直C.平行D.重合

【答案】B

【解析】由题意可知直线sinA-x+ay+c=0与直线Z?x-sin8-y+sinC=。的斜率均存在且不为0,

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直线5近4%+。>+。=0的斜率勺=一^!^,

a

b

直线次一sin8•y+sinC=0的斜率k=------,

2sinB

由正弦定理可得左色=-吧4义1）=-华=-1,

asmBab

所以两直线垂直，

故选：B

【解题方法总结】

判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设

4：Ax+4y+C1=0（4,4不全为0）,l2:A,x+B2y+C2=0（4，用不全为0）,则：

当A4-44*0时，直线44相交；

当4与=4耳时，4,直线平行或重合，代回检验；

当44-4员=0时，/］，直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆.

题型二：两直线的交点与距离问题

例4.（2023•全国•高三专题练习）若直线/:>=履-6与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线/

的倾斜角的取值范围是（）

71717171

A.B.

6,?6J2

兀兀兀兀

C.D.

652

【答案】D

373+6

x=----------

2+3%

【解析】法一：联立两直线方程，得解得，

6"2君’

y~

2+3%

所以两直线的交点坐标为（正心,竺二2亘）.

2+3左2+3左

悝江＞0

2+3左解得“W

因为两直线的交点在第一象限，所以；

6左-200

、2+3%

设直线/的倾斜角为仇贝hand〉立，又。80,兀），所以。€（［谭）.

362

法二：由题意，直线/过定点尸（0,-6）,

设直线2x+3y—6=0与x轴、y轴的交点分另IJ为3（3,0）,A（0,2）.

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如图，当直线/在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易用kpB=也，

PB3

.♦•直线/的倾斜角的取值范围是6（）.

62

故选：D

例5.（2023・上海浦东新•华师大二附中校考三模）已知三条直线，i：x-2y+2=。，l2-.x-2=0,l3:x+ky=0

将平面分为六个部分，则满足条件的左的值共有（）

A.1个B.2个C.3个D.无数个

【答案】C

【解析】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，

fx=2

联乂4:x-2y+2=0与4：x-2=0,解得1,

〔》=2

fx=2

则将<c代入4：尤+切=。中，2k+2=O,解得上=—1,

[y=2

当Z,：x+6=0与4：》-2了+2=。平行时，满足要求，此时左=一2,

当4：x+6=0与4：尤-2=0平行时，满足要求，此时左=0,

综上，满足条件的人的值共有3个.

故选：C

例6.（2023•全国•高三专题练习）若三条直线4：4%+>=3,/2：〃忒+>=0,/3：%-加〉=2不能围成三角形，则实

数加的取值最多有（）

A.2个B.3个

C.4个D.6个

【答案】C

【解析】三条直线不能构成三角形,至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.

若《〃6，贝!1"2=4;若k〃％,则=l;

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若4〃4，则一“=i：.m的值不存在;

若三条直线相交于同一点，

’3

x=----

4x+y=34-m33m\

直线4和4联立：，•••直线乙和4交点为

iwc+y=03m'4-m5m-4），

y-

Im-A4

3m+2

x=

4x+y=3l+4m/3m+2-5]

直线《和4联立：，，直线4和4交点为。

x-my=2-5'J+4m'1+4mJ

y=

l+4m

33m+2

「三条直线相交于同一点二2Q两点重合；.尸了1+色.»=1或

3m_-53

、机-4l+4m

故实数用的取值最多有4个.

故选:C

变式8.（2023•江苏宿迁•高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）若点P（尤,＞）在直线2x+y-5=0上，。是

原点，则。尸的最小值为（）

A.2也B.2C.小D.4

【答案】C

【解析】由题意可知，。尸的最小值即为原点。到直线2x+y-5=0的距离，

故选：C

变式9.（2023•吉林长春高二东北师大附中校考期中）已知点尸（知方）在直线力-4〉-10=0上，则斤商

的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】&+靖就是尸（知几）到原点距离,

P（不，儿）到原点距离的最小值为〃=千=2

则仆；+%2的最小值为2,

故选：B.

变式10.（2023・高二课时练习）已知点P（a,2）、A（-2,-3）、8（1,1）,^\PA\=\PB\,则”.

9

【答案】

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【解析】已知点尸（。，2）、A（-2,-3）、B（l,l）,且照=|冏,

则J5+21+（2+3）2="1J+（2可,解得。=一|.

9

故答案为：.

变式11.（2023・全国•高二专题练习）已知点与点N（2,3）间的距离为7&,则》=.

【答案】9或-5

【解析】由|肱V|=70,

^\MN\=7（%-2）2+（-4-3）2=772,

BPx2-4x-45=0>解得x=9或一5.

故答案为：9或-5.

变式12.（2023•全国•高二课堂例题）已知点4（2,1）,8（3,4）,C（-2,-l）,则ABC的面积为

【答案】5

【解析】设边上的高为"贝Me就是点C到所在直线的距离.

易知\AB\=J（3_2,+（4_丁=M.

由两点式可得的边所在直线的方程为言岭—5"

|3x(-2)-(-l)-5|

点到直线3x-y-5=0的距离〃==7io,

所以ABC的面积为S“C=：X|AB|X/7=；XMXM=5.

故答案为：5

变式13.（2023•江苏淮安・高二统考期中）已知平面上点P（3,3）和直线/:2y+3=0,点p到直线/的距离为

d,贝!Jd=.

Q

【答案】—/4.5

【解析】依题意，直线/：）=-；,而点尸（3,3）,

39

所以d=3_(_])=5.

9

故答案为：—

变式14.（2023•黑龙江哈尔滨・高三哈尔滨七十三中校考期中）点（。,-1）到直线丁二左（％+2）的距离的最大值

是.

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【答案】A/5

【解析】因为直线.=笈（%+2）恒过点4（-2,0）,

记8（0,-1）,直线y=%（x+2）为直线/,

则当时，此时点3（0,-1）到直线y=0（x+l）的距离最大,

•••点（0,-1）到直线y=M》+l）距离的最大值为:

\AB\=^(0+2)2+(-1-0)2=占.

故答案为：75.

■>

X

变式15.（2023•高二课时练习）过直线4"一2、+3=0与直线J2X+38=0的交点，且到点尸（0,4）的距

离为1的直线I的方程为

【答案】3x+4y-n=。或一

x-2y+3=0x=l

【解析】解析：由解得

2x+3y-8=0y=2：

所以〃，/2的交点为（1,2）.

显然，直线X=1满足条件;

当直线斜率存在时，设直线方程为y-2=M尤T），

即kx—y+2—女=0,

依题意有华驾=1,解得％=一±

y/1+k24

所以所求直线方程为3x+4y-ll=。或x=l.

故答案为：3x+4y—11=0或x=l.

变式16.（2023•江西新余•高二校考开学考试）若点P（3,l）到直线/:3x+4y+a=0（a>0）的距离为3,则

a=.

【答案】2

【解析】因为点P（3J）到直线/：3x+4y+o=0的距离为3,

|3x3+4xl+a|

可得=3,即,+13]=15,解得〃=2或a=—28,

732+42

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又因为。＞0,所以4=2.

故答案为：2.

变式17.（2023・全国•高三专题练习）点（0,0）,（3,4）到直线/的距离分别为1和4,写出一个满足条件的直

线/的方程：.

【答案】尸一1或7元一24＞—25=0或3x+4y-5=O（填其中一个即可）

【解析】设M（0,。），N（3,4）,连接MN,则⑷=5.

以M为圆心，1为半径作圆以N为圆心4为半径作圆N,则两圆外切，

所以两圆有3条公切线，即符合条件的直线/有3条.

当公切线的斜率不存在时，显然公切线的方程为尤=-1.

=l①

J]_1,"2

当公切线的斜率存在时，设公切线的方程为丫=依+》，则有t,

由①②得|3左+6—4|=4同，所以3左一36=4或3左+5b=4.

k」

74

由①及3左-36=4得|，由①及女+5》=4得＜4

b=-—b=-

I24

所以公切线方程为7尤-2分-25=0或3x+4y-5=0.

综上，直线/的方程为无=-1或7x-24y-25=。或3x+4y-5=0.

故答案为：*=-1或7x-24y—25=0或3尤+4、-5=0

变式18.（2023•浙江温州•高二乐清市知临中学校考开学考试）若两条直线4：x+2y-6=。与4:x+ay-5=0

平行，贝也与4间的距离是.

【解析】，-两条直线Z,：x+2y-6=。与:》+冲-5=。平行,

Q-2X1=0解得〃=2,

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经检验a=2时，，2：x+2y-5=0,两直线不重合；

所以。=2,

则4与4间的距离上空1="，

故答案为：

变式19.（2023・江苏宿迁•高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）平行直线4：3x-4y+6=O与

4：6尤-8y+9=。之间的距离为.

3

【答案】—/0.3

10

9

【解析】由题意得6：6x—8y+9=。即/2：3x-4y+5=0

|6-2|

则平行直线4：3x-4y+6=。与:6x-8y+9=0之间的距离为「21=」,

舟+（-4/10

3

故答案为：—

变式20.（2023・新疆•高二校联考期末）已知不过原点的直线《与直线/2：x-y+0=O平行，且直线4与4的

距离为1,则直线4的一般式方程为.

【答案】x-y+2y/2=0

【解析】直线4不过原点且与4平行，，可设直线4：x-y+a=0（aw。），

与4之间的距离d=Wm=l，解得：a=2近或。=。（舍），

V2

:•直线4的一般式方程为：X-J+2V2=o.

故答案为：x-y+2y[2=0.

【解题方法总结】

两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构.

题型三：有关距离的最值问题

例7.（2023・北京•高三强基计划）J（x一9）2+4+Jd+/+J（y一3>+9的最小值所属区间为（）

A.[10,11]B.（11,12]

C.（12,13]D.前三个答案都不对

【答案】C

【解析】如图，设尸（苍0）,2（0,y）,A（9,-2）,B（-3,3）.

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根据题意，设题中代数式为则A/=|AP|+|PQ|+|QB|,|4B|=J122+52=13,

等号当P,。分别为直线A8与x轴，y轴交点时取得.

因此所求最小值为13.

故选：C.

例8.(2023・全国•高三专题练习)己知实数占,超,必,必，满足x；+y；=4,考+y；=9,芯/+%%=。，则

上+%-呼+上+%-9|的最小值是.

【答案】18-V26/-V26+18

【解析】依题意，方程x；+y；=4、x；+y；=9分别表示以原点。为圆心，2、3为半径的圆，

㈤ZQW阳、9,取线段"中点尸‘连接则加平,

因此点尸在以原点为圆心，巫为半径的圆上，

2

而归+%一9|+民+%-4=应()，

"372-+'+712'

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即卜+乂一9|+民+%-9|表示点4,8到直线/：龙+〉-9=0的距离和的0倍，

过A,8分别作直线/的垂线，垂足分别为M,N,过尸作尸£>垂直于直线/于点O,

于是AM//PD/ABN,\AM\+\BN\=2\PD\,

\xl+yl-9\+\x2+y2-9\=y/2(\AM\+\BN\')=2^2\PD\,原点。到直线/的距离1=、,

显然|尸。24-|。2|=、-半，当且仅当点。，尸共线，且点尸在线段0D上时取等号,

所以(归+%-9|+履+%-9|)1nm=2扬P0nm==18-726.

故答案为：18-回

例9.(2023•全国•高三专题练习)如图，平面上两点P(0,l),2(3,6),在直线y=x上取两点使|肱V|=VL

且使|〃图+|W|+|NQ|的值取最小，则N的坐标为.

【解析】产关于直线y=x的对称点为尸'(1,0),则有俨M+I政V|+|NQ|=|尸M+|M7V|+|NQ|.过Q(3,6)作平行

于y=x的直线为〉=工+/，由6=3+人得6=3,即此时直线为y=X+3.过M作M0//NQ,贝U

\MQ\=\NQ\,\QQ\=\MN\=>/2,则HM+|MV|+|NQ|=|p'M+pw|+|M2］.由于|MV|是常数，要使

\PM\+\MN\+\NQ\的值取最小，则归M+M。］的值取最小，即三点共线时最小.设

Q'(a,a+3)(a<3),由(0=|政V|=|得一3『+(6-a-3?=夜,即2(。-3)2=2,解得4=2(“=4舍

去.)，即0(2,5).设加伍力，则£^=1^=5,解得后，即哈［］，设照㈤，人>；由即=应

得2,一j=2,91

解得〜或.(舍去),故N

5®9一

故答案为:

4b

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变式21.（2023・全国・高二专题练习）已知点尸,。分别在直线/1：X+〉+2=0与直线/2"+，-1=0上,且尸。，4,

点A（-3,-3）,5（3,0）,则|明+|「。|+四目的最小值为

【答案］3A/I^+30

2

【解析】易知"4,作出图象如下，过8点作直线贝UPQ/〃,

直线/:y=x-3,过尸作直线尸C〃沙，与直线/交于点C,易知四边形尸CBQ为平行四边形,

故PC=,且8到直线4的距离等于C到4的距离,

|r+r-3+2|_|3+0-1|,解得用3或』51（舍），所以c33

设C（9—3）,则一广，-

V222

而|AP|+|PQ|+|QB|=|AP|+|PQ|+「Cj,且|PQ卜三，见='=孚（定值），

2

3

故只需求出IAPI+IPCI的最小值即可，显然|AP|+pq>\AC\=-3--I+1-3+-

222

故|”|+|尸0+|。用的最小值为3炳；30

故答案为：吗逑

变式22.（2023・全国・高二课堂例题）已知直线/：丘+〉+2-%=0过定点〃,点P（工,丁）在直线2%-〉+1=0上,

则的最小值是（）

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非

A.5B.6r3

5

【答案】B

【解析】由"+y+2T=0得y+2=Ml-x）,所以直线/过定点M（l,-2）,

依题意可知\MP\的最小值就是点M到直线2x-y+l=0的距离,

^±^=75.

由点到直线的距离公式可得1MplmM=

V4+1

故选:B.

变式23.（2023・全国•高三专题练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休.”事

实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：”』-「）2+（＞-4可以转化为点（演耳到点（4,6）

的距离，贝1|J7W+一4%+8的最小值为（）.

A.3B.2A/2+1C.2A/3D.岳

【答案】D

【解析】Vx2+1+&-4x+8=^(x-O)2+(O-l)2+J(尤_21+(0-2)2,

可以看作点P（x,。）到点4（0,1）,3（2,2）的距离之和，

作点A关于x轴的对称点A（O,-l）,显然当2,P,A三点共线时，取到最小值，

最小值为B,4间的距离后序=713.

故选：D.

变式24.（2023•贵州•校联考模拟预测）已知x,yeR+,满足2x+y=2,则x+必帝的最小值为（）

A.-B.-C.1D.

553

【答案】B

【解析】

如图，过点。作点。关于线段2元+y=2的对称点C,则|PO|=|PC|.

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（）8

>x-2=-lx=

o784

设则有“解得4,所以C

5；5

2义包+&=2Vc二一

I22

设P（x,y）,则|PO卜J/+y2,所以正行=|尸o|=|PC],

又x,yeR+,所以点P到>轴的距离为x,

所以，x+J/+y2可视为线段2x+y=2上的点P（x,y）到y轴的距离和到C（|,f的距离之和.

过尸作/切，x轴，显然有|尸q+|PCj21co当且仅当C,尸,£>三点共线时，和有最小值.

过点C作CHLx轴，则|S|即为最小值，CH与线段的交点片，即为最小值时产的位置.

OQ

因为|C"卜力，所以的最小值为:

故选：B.

变式25.（2023•江西•高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点4（0,-2）,点8。，。），尸为直

线2x-4y+3=。上一动点，贝U|M+|烟的最小值是（）

A.75B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】设点4（。,-2）关于直线2x-4y+3=0的对称点为A（x,y）,

11

2x/x+3=0x=-----

宁，解得

则I

…/1112

所以A卜1，（

所以|「闻+|尸邳=|尸4|+|尸8罔48=4,

当且仅当点P为线段A3与直线2尤-4y+3=0的交点时等号成立,

所以|R4|+|冏的最小值是4,

故选：B.

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变式26.(2023•高二课时练习)已知点A。,3),3(5,-2),点尸在无轴上使|AP|-怛尸|最大，求点尸的坐标.

【解析】点4(1,3)关于工轴的对称点为4”,-3),如图所示，若尸点不在直线上则|AP|-忸月

连接48并延长交x轴于点P,-忸尸|=|AP|-怛尸卜|A3|即为|4尸|-怛尸|最大值.

44

令y=o,得x=13.

则点P的坐标是(13,0).

变式27.(2023•天津和平•高二天津市汇文中学校考阶段练习)在直线/：3》-丫-1=0上求一点尸，使得:

(DP到4(4,1)和5(0.4)的距离之差最大；

(2)尸到4(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.

【解析】(1)画出直线/：3x-y-l=0和点4(4,1)和3(0,4),如图：4,3在/:3x-y-l=0两侧，

作B关于直线l-.3x-y-1=Q的对称点B',连接AB',

则直线AB'和直线I的交点即为P,

设。为/上异于尸的一点，贝"。3|=|。笈|,|抬|=|依'|,

第2