上海市长宁区2021-2022学年中考冲刺卷数学试题含解析

上海市长宁区重点名校2021-2022学年中考冲刺卷数学试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图是一个空心圆柱体，其俯视图是（）

2.如图是一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体是（

俯

视

图

A.三棱柱B.正方体C.三棱锥D.长方体

3.3的倒数是（

4.化简—;---j—5--------1-----的结果是（

x—1x—2%+1x+1

2x-2

(x+1)2

5.如图所示是由相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，那么该

几何体的主视图是（）

A•曲B.曾C丑D.冲

6.若抛物线y=x2—（m—3）x—m能与x轴交，则两交点间的距离最值是（）

A.最大值2,B.最小值2C.最大值20D.最小值20

7.有15位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前8位同学进入决赛.某同学知道自己的分数后，要判

断自己能否进入决赛，他只需知道这15位同学的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

8.在刚过去的2017年，我国整体经济实力跃上了一个新台阶，城镇新增就业1351万人，数据“1351万”用科学记数

法表示为（）

A.13.51X106B.1.351X107C.1.351X106D.0.1531X108

9.如图，这是由5个大小相同的整体搭成的几何体，该几何体的左视图是（）

10.中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，

二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车,

若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（）

A.3(x-2)=2x+9B.3(x+2)-2x-9

x+9

C.D.十2=

11.下列说法正确的是（）

A,掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件

B.甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是S甲2=0.4,S乙2=0.6,则甲的射击成

绩较稳定

C.“明天降雨的概率为!”，表示明天有半天都在降雨

D.了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式

12.如图，AB是。。的直径，点C,D,E在。O上，若NAED=20。，则NBCD的度数为（）

A.100°B.110°C.115°D.120°

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.已知，在同一平面内，NABC=50。,AD〃BC,ZBAD的平分线交直线BC于点E,那么/AEB的度数为

14.如图，△ABC中，CD_LAB于D,E是AC的中点.若AD=6,DE=5,则CD的长等于.

15.因式分解：3X2-12=.

16.若函数y=三的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，则m的取值范围是.

17.如图，在菱形ABC。中，AB^BD.点E、歹分另lj在A3、AO上，KAE=DF.连接5尸与OE相交于点G,连

接CG与相交于点下列结论：①△AEO0△£）歹B；②S四边形BCDG=且CG?；③若A歹=2。尸，贝！JBG=6G尸.其

18.如图，已知根//“，Z1=1O5°,/2=140°则/。=.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）雅安地震，某地驻军对道路进行清理.该地驻军在清理道路的工程中出色完成了任务.这是记者与驻军工

程指挥部的一段对话：记者：你们是用9天完成4800米长的道路清理任务的？

指挥部：我们清理600米后，采用新的清理方式，这样每天清理长度是原来的2倍.

通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天清理道路的米数.

20.（6分）把0,1,2三个数字分别写在三张完全相同的不透明卡片的正面上，把这三张卡片背面朝上，洗匀后放在

桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记录下数字.放回后洗匀，再从中抽取一张卡片，记录下数字.请用列表法或树

状图法求两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率.

1k

21.（6分）如图所示，直线y=-x+2与双曲线y=一相交于点A（2,n）,与x轴交于点C.求双曲线解析式；点P在x

2x

轴上，如果AACP的面积为5,求点P的坐标.

22.（8分）某市A,B两个蔬菜基地得知四川C,D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运

蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t,B蔬菜基地有蔬菜300t,现将这些蔬菜全部调运C,D两个灾区安置点.

从A地运往C,D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C,D两处的费用分别为每吨15元和18元.设从

B地运往C处的蔬菜为x吨.请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；

CD总计/t

A200

BX300

总计/t240260500

（2）设A,B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求

总运费最小的调运方案；经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m

>0）,其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案.

23.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC,CD是NACB的平分线，DEZ/BC,交AC于点E.求证：DE=CE.若

ZCDE=35°,求NA的度数.

3k

24.。。分）如图'直线*7+4,归“+，都与双曲线,q交于点4d,.）,这两条直线分别与，轴交于bC

3k

两点.求,与X之间的函数关系式；直接写出当x＞°时'不等式“+，＞1的解集;若点尸在X轴上'连接4尸把

的面积分成1：3两部分，求此时点尸的坐标.

25.（10分）（问题发现）

（1）如图（1）四边形A3。中，若AB=AD,CB=CD,贝!|线段8。，AC的位置关系为；

（拓展探究）

（2）如图（2）在R3A3c中，点歹为斜边BC的中点，分别以A3,AC为底边，在RtAA5c外部作等腰三角形

ARD和等腰三角形ACE,连接尸。，FE,分别交A5,AC于点M,N.试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由;

（解决问题）

（3）如图（3）在正方形A5CZ＞中，AB=2形,以点A为旋转中心将正方形旋转60。，得到正方形

请直接写出3。'平方的值.

D

图⑵图（3〉

图⑴

26.（12分）矩形ABCD中，DE平分NADC交BC边于点E,P为DE上的一点（PEVPD）,PM±PD,PM交AD

边于点M.

（1）若点F是边CD上一点，满足PFLPN,且点N位于AD边上，如图1所示.

求证：①PN=PF；②DF+DN=0DP；

(2)如图2所示，当点F在CD边的延长线上时，仍然满足PF_LPN,此时点N位于DA边的延长线上，如图2所示;

试问DF,DN,DP有怎样的数量关系，并加以证明.

图1图2

/7Y2+Ay2

27.(12分)对x,y定义一种新运算T,规定T(x,y)=----------匕(其中a,b是非零常数，且x+y#O),这里等式

冗+y

右边是通常的四则运算.

tzx32+£»xI29a+b八am~+4b,«、,

如：T(3,1)=------------------=----------，T(m,-2)=--------------.填空：T(4,-1)=________(用含a,b的

3+14m-2

代数式表示)；若T(-2,0)=-2且T(5,-1)=1.

①求a与b的值；

②若T(3m-10,m)=T(m,3m-10),求m的值.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、D

【解析】

根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案.

【详解】

该空心圆柱体的俯视图是圆环，如图所示：

故选D.

【点睛】

本题考查了三视图，明确俯视图是从物体上方看得到的图形是解题的关键.

2、A

【解析】

【分析】根据三视图的知识使用排除法即可求得答案.

【详解】如图，由主视图为三角形，排除了B、D,

由俯视图为长方形，可排除C,

故选A.

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，做此类题时可利用排除法解答.

3、C

【解析】

根据倒数的定义可知.

解：3的倒数是1.

3

主要考查倒数的定义，要求熟练掌握.需要注意的是：

倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，o没有倒数.

倒数的定义：若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.

4、A

【解析】

12x-12%+1

原式=卜+1地-1)--=---1---=---=1,故选A.

x+lx+1x+lX+1

5、C

【解析】

A、B、D不是该几何体的视图，C是主视图，故选C.

【点睛】主视图是由前面看到的图形，俯视图是由上面看到的图形，左视图是由左面看到的图形，能看到的线画实线,

看不到的线画虚线.

6、D

【解析】

设抛物线与X轴的两交点间的横坐标分别为：x“X2,

由韦达定理得：

xi+x2=m-3,xi»X2=-m,

则两交点间的距离d=|xi-x2|=+%2）2-例々=J（州-3y+4m=J病-2m+9={⑺-仔+8

:.m=l时,dmin=2y/2■

故选D.

7,B

【解析】

由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知15人成绩的

中位数是第8名的成绩.根据题意可得：参赛选手要想知道自己是否能进入前8

名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可.

【详解】

解：由于15个人中，第8名的成绩是中位数，故小方同学知道了自己的

分数后，想知道自己能否进入决赛，还需知道这十五位同学的分数的中位数.

故选B.

【点睛】

此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义.反

映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统

计量进行合理的选择和恰当的运用.

8、B

【解析】

根据科学记数法进行解答.

【详解】

1315万即13510000,用科学记数法表示为1.351x107.故选择B.

【点睛】

本题主要考查科学记数法，科学记数法表示数的标准形式是axion（iw|a|V10且n为整数）.

9、A

【解析】

观察所给的几何体，根据三视图的定义即可解答.

【详解】

左视图有2歹！J,每列小正方形数目分别为2,1.

故选A.

【点睛】

本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图.

10、A

【解析】

根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余1个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可.

【详解】

设有x辆车，则可列方程：

3(x-2)=2x+l.

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键.

11、B

【解析】

利用事件的分类、普查和抽样调查的特点、概率的意义以及方差的性质即可作出判断.

【详解】

解：A、掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是可能事件，此选项错误；

B、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是SQ=O.4,S”=0.6,则甲的射击成

绩较稳定，此选项正确；

C、“明天降雨的概率为g”，表示明天有可能降雨，此选项错误；

D、解一批电视机的使用寿命，适合用抽查的方式，此选项错误；

故选B.

【点睛】

本题考查方差；全面调查与抽样调查；随机事件；概率的意义，掌握基本概念是解题关键.

12、B

【解析】

连接AD,BD,由圆周角定理可得NABD=20。，NADB=90。，从而可求得/BAD=70。，再由圆的内接四边形对角互

补得到NBCD=110。.

【详解】

如下图，连接AD,BD,

•.,同弧所对的圆周角相等，，NABD=NAED=20。,

VAB为直径，:.ZADB=90°,

:.ZBAD=90°-20°=70°,

:.ZBCD=180o-70°=110°.

故选B

【点睛】

本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、65°或25°

【解析】

首先根据角平分线的定义得出NEAD=NEAB,再分情况讨论计算即可.

【详解】

解：分情况讨论：（1）；AE平分NBAD,

...NEAD=NEAB,

VAD//BC,

，NEAD=NAEB,

.\ZBAD=ZAEB,

VZABC=50°,

.*.ZAEB=-•(180°-50°)=65°.

2

(2)VAE平分/BAD,

D

AZEAD=ZEAB=-ZDAB,

2

VAD/7BC,

:.ZAEB=ZDAE=gZDAB,NDAB=NABC,

VZABC=50°,

1

/.ZAEB=-x50°=25°.

2

故答案为：65。或25°.

【点睛】

本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

14、1.

【解析】

由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=2；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的

长度即可.

【详解】

,/△ABCCD_LAB于D,E是AC的中点，DE=5,

1

；.DE=—AC=5,

2

/.AC=2.

在直角AACD中，NADC=90。，AD=6,AC=2,则根据勾股定理，得

CD=^AC2-AD2=V102-62=8-

故答案是：1.

15、3(x-2)(x+2)

【解析】

先提取公因式3,再根据平方差公式进行分解即可求得答案.注意分解要彻底.

【详解】

原式=3(x2-4)=3(x-2)(x+2).

故答案为3(x-2)(x+2).

【点睛】

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底.

16、m>2

【解析】

试题分析：有函数二三的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小可得m-2>0,解得m>2,

考点：反比例函数的性质.

17、①②③

【解析】

(1)由已知条件易得NA=NBDF=60。，结合BD=AB=AD,AE=DF,即可证得AAEDgZkDFB,从而说明结论①正

确；(2)由已知条件可证点B、C、D、G四点共圆，从而可得NCDN=NCBM,如图，过点C作CM_LBF于点M,

过点C作CN±ED于点N,结合CB=CD即可证得ACBM^ACDN,由此可得S四哪BCDG=S四娜CMGN=2SACGN,在

RtACGN中，由NCGN=NDBC=60。，NCNG=90。可得GN=^CG,CN=—CG,由此即可求得SACGN=@CG?,

228

从而可得结论②是正确的；(3)过点F作FK〃AB交DE于点K,由此可得ADFKs4DAE,AGFK^AGBE,结

合AF=2DF和相似三角形的性质即可证得结论④成立.

【详解】

(1),四边形ABCD是菱形，BD=AB,

:.AB=BD=BC=DC=DA,

.1△ABD和4CBD都是等边三角形，

:.ZA=ZBDF=60°,

又；AE=DF,

.♦.△AED之△DFB,即结论①正确；

(2)VAAED^ADFB,△ABD和△DBC是等边三角形，

:.ZADE=ZDBF,NDBC=NCDB=NBDA=60。，

.,.ZGBC+ZCDG=ZDBF+ZDBC+ZCDB+ZGDB=ZDBC+ZCDB+ZGDB+ZADE=ZDBC+ZCDB+ZBDA=180°

.,.点B、C、D、G四点共圆，

.\ZCDN=ZCBM,

如下图，过点C作CMLBF于点M,过点C作CNLED于点N,

:.NCDN=NCBM=90°,

又；CB=CD,

.".△CBM^ACDN,

•'•S四边形BCDG=S四边形CMGN=2SACGN,

•.,在RtACGN中，ZCGN=ZDBC=60°,ZCNG=90°

,\GN=-CG,CN=—CG,

22

J?

•,.SACGN=—CG2,

8

，S四边形BCDG=2SACGN,=BcG2,即结论②是正确的;

4

(3)如下图，过点F作FK〃AB交DE于点K,

.△DFK<^ADAE,△GFK<^AGBE,

FK_DF_DFFG_FK

"AE~DA~DF+AF'BG-BE'

*AF=2DF,

FK_1

•瓦一丁

'AB=AD,AE=DF,AF=2DF,

.BE=2AE,

FGFKFK_1

'BG~BE2AE-6'

.BG=6FG,即结论③成立.

A

综上所述，本题中正确的结论是：

故答案为①②③

点睛：本题是一道涉及菱形、相似三角形、全等三角形和含30。角的直角三角形等多种几何图形的判定与性质的题，

题目难度较大，熟悉所涉及图形的性质和判定方法，作出如图所示的辅助线是正确解答本题的关键.

18、65°

【解析】

根据两直线平行，同旁内角互补求出N3,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.

【详解】

".'m//n,N1=105°,

:.Z3=180o-Zl=180°-105o=75°

Za=Z2-Z3=140°-75°=65°

故答案为：65。.

【点睛】

此题考查平行线的性质，解题关键在于利用同旁内角互补求出N3.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、1米.

【解析】

试题分析：根据题意可以列出相应的分式方程，然后解分式方程，即可得到结论.

试题解析：解：设原来每天清理道路x米，根据题意得：

6004800-600

——+----------------=9n

x2x

解得，x=l.

检验：当x=l时，2存0,是原方程的解.

答：该地驻军原来每天清理道路1米.

点睛：本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确分式方程的解答方法，注意分式方程要验根.

一，4

20、见解析，—.

【解析】

画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两次抽取的卡片上的数字都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】

解：1S|树状图为：

012

。C0120个2

共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上的数字都是偶数的结果数为4,

4

所以两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率=

9

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果

数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.

21、(1)y=—6;(2)(---2-,0)或|,一-2-2,0\

x3V3J

【解析】

(1)把A点坐标代入直线解析式可求得”的值，则可求得A点坐标，再把A点坐标代入双曲线解析式可求得及的值,

可求得双曲线解析式；

(2)设尸(x,0),则可表示出PC的长，进一步表示出AACP的面积，可得到关于x的方程，解方程可求得P点的

坐标.

【详解】

解：(1)把A(2,«)代入直线解析式得：n=3,

：.A(2,3),

把A坐标代入尸“，得左=6,

x

则双曲线解析式为y=9.

X

(2)对于直线尸;x+2,

令y=0,得到x=-4,BPC(-4,0).

设尸(x,0),可得PC=|比+4|.

•.'△ACP面积为5,

1

:.—|x+4|*3=5,即nn|x+4|=2,

222

解得：*=・；或%二・丁，

33

贝！IP坐标为或I"".

22、(1)见解析；(2)w=2x+9200,方案见解析；(3)0<m<2时,⑵中调运方案总运费最小；m=2时，在404x4240

的前提下调运方案的总运费不变；2Vm<15时，x=240总运费最小.

【解析】

(1)根据题意可得解.

(2)w与x之间的函数关系式为：w=20(240-x)+25(x-40)+15x+18(300-x)；列不等式组解出40WxW240,可由w随x

的增大而增大，得出总运费最小的调运方案.

(3)根据题意得出w与x之间的函数关系式，然后根据m的取值范围不同分别分析得出总运费最小的调运方案.

【详解】

解：⑴填表：

CD总计

A(240一句吨(2-40)吨200吨

BX吨(300一句吨300吨

总计240吨260吨500吨

依题意得：20(240-x)+25(x-40)=15x+18(300-x).

解得：x=200.

(2)w与x之间的函数关系为：w=20(240-x)+25(x-40)+15x+18(300-x)=2x+9200.

240—x..0

x-40.,0

依题意得：

x..0n

300—x..0

/.40<x<240

在w=2x+9200中，V2>0,

.'.w随x的增大而增大，

故当x=40时,总运费最小，

此时调运方案为如表.

CD

A200吨0吨

B40吨260吨

(3)由题意知w=20(240-x)+25(x-40)+(15-m)x+18(300-x)=(2-m)x+9200

•,.0<m<2时,(2)中调运方案总运费最小;

m=2时，在404x4240的前提下调运

方案的总运费不变；

2Vm<15时，x=240总运费最小，

其调运方案如表二.

CD

A0吨200吨

B240吨60吨

【点睛】

此题考查一次函数的应用，解题关键在于根据题意列出w与x之间的函数关系式，并注意分类讨论思想的应用.

23、⑴见解析;(2)40。.

【解析】

(1)根据角平分线的性质可得出由Z>E〃5c可得出NE£)C=N5CZ),进而可得出NEZ>C=NECZ>,

再利用等角对等边即可证出DE=CE；

(2)由(1)可得出NEC0=NEOC=35。，进而可得出NACB=2NEa)=70。，再根据等腰三角形的性质结合三角形内

角和定理即可求出NA的度数.

【详解】

(1)..•C。是NAC8的平分线，ZBCD=ZECD.

■:DE//BC,：.ZEDC=ZBCD,：.ZEDC=ZECD,：.DE=CE.

(2)•:NECD=NEDC=35°,：.ZACB=2ZECD^70°.

\'AB=AC,:.ZABC=ZACB=7Q°,：.ZA=180°-70°-70°=40°.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及角平分线.解题的关键是：(1)根据平行线的性质结合角平

分线的性质找出NEZ>C=NECZ>；⑵利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质求出/ACB=NABC=70。.

359

24、(1)y=二；(2)x>l；(3)P(-0)或(一，0)

元44

【解析】

分析：(1)求得A(1,3),把A(1,3)代入双曲线y=8,可得y与x之间的函数关系式；

3k

(2)依据A(1,3),可得当x>0时，不等式一x+b>—的解集为x>l；

4x

1717

(3)分两种情况进行讨论，AP把AABC的面积分成1：3两部分，贝!JCP=—BC=—,或BP=—BC=—,即可得到

4444

7579

OP=3--=或OP=4-—=—,进而得出点P的坐标.

4444

详解：(1)把A(1,m)代入yi=-x+4,可得m=-1+4=3,

AA(1,3),

把A(1,3)代入双曲线y=",可得k=lx3=3,

x

3

•••y与X之间的函数关系式为：y=—；

X

(2)VA(1,3),

3k

.•.当x>0时，不等式一x+b>—的解集为：x>l；

4x

(3)yi=-x+4,令y=0,则x=4,

•••点B的坐标为(4,0),

33

把A(1,3)代入y2=—x+b,可得3=—+b,

44

令y2=0,贝!Jx=-3,即C(-3,0),

；.BC=7,

YAP把△ABC的面积分成1：3两部分，

17一17

/.CP=-BC=-,或BP=—BC=—

4444

7579

/.OP=3--=或OP=4——=—,

4444

59

AP(——，0)或(一，0).

44

点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立

成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.

25、(1)AC垂直平分加D；(2)四边形FMAN是矩形，理由见解析；(3)16+8后或16-83

【解析】

(1)依据点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出AC垂直平分BD；

(2)根据RtAABC中，点F为斜边BC的中点，可得AF=CF=BF,再根据等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,

即可得到JAD=DB,AE=CE,进而得出NAMF=NMAN=NANF=90。，即可判定四边形AMFN是矩形；

(3)分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60。，②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时

针旋转60。，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结论.

【详解】

(1)'：AB=AD,CB=CD,

点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，

.•.AC垂直平分50,

故答案为AC垂直平分3。；

(2)四边形FMAN是矩形.理由：

如图2,连接A歹，

YRtAABC中，点尸为斜边3c的中点，

：.AF=CF=BF,

又•.•等腰三角形A3。和等腰三角形ACE,

：.AD=DB,AE=CE,

...由(1)可得，DF±AB,EF±AC,

又•.•/8AC=90。，

/.ZAMF=ZMAN=ZANF=9Q°,

二四边形AMFN是矩形；

(3)5ZT的平方为16+86或16-873.

分两种情况：

①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°,

如图所示：过沙作。EL4S交R4的延长线于E,

由旋转可得，ZZ>AD'=60°,

：.ZEAD'=3Q°,

"：AB=2yf2=AD',

：.D'E=^AD'=42>AE=y/6,

:.BE=2®+R,

...RtA5»E中，BD'2=D'E2+BE2=(&)2+(272+76)2=16+86

②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°,

如图所示：过3作3以LAZT于F,

旋转可得，ZDAD'=6Q°,

：.ZBAD'=30°,

,

：AB=2y/2=AD',

：.BF=^AB=^y/2,AF=a,

：.D'F=2j2-娓,

/.RtA尸中，BD'2=BF2+D'F2=(V2)2+(272-V6)2=16-873

综上所述，5D平方的长度为16+8君或16-8逝.

【点睛】

本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理

的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理进行计算求解.解题时注意：有三个角是直

角的四边形是矩形.

26、(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)DN-DF=42DP，证明见解析.

【解析】

(1)①利用矩形的性质，结合已知条件可证△PMNg则可证得结论；

②由勾股定理可求得利