山西省吕梁市2024届高三年级下册第三次模拟考试 数学 含答案

姓名准考证号.

秘密★启用前

吕梁市2024年高三年级第三次模拟考试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔

迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知复数z满足7rR=2i2°24,则复数三在复平面对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知等边△A3。的边长为1,点。,E分别为A8,8c的中点，若DF=3EF，则赤=（）

1-5—•1一3—•

A.—ABH—ACB.—ABH—AC

2624

C.—AB+ACD.—AB4-—AC

222

3.设/（』）=丁-噫（4+1-q，则对任意实数。也。+伉,0是/（〃）+/（〃）,，。的（）

A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3

4.如医所示，已知一质点在外力的作用下，从原点。出发，每次向左移动的概率为一，向右移动的概率

4

为L者该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于工的位置，则P（X>0）=

4

（）

-4-3-2-1123456x

50一7八5317

A.-----B.-----C.-----D.—

24351251281

5.已知实数〃出满足则b的可能值为（）

A.6B.3.5C.2.5D.4.5

/〃2Y

6•设0（机,〃）=\（相-〃）2+In/??--+£,（加>o,〃WR）,当九〃变化时（p（m,n）的最小值为

4

（）

A.72B.V2+1C.5/2—1D.2>/2—1

7.在四面体ABC。中，AO与BC互相垂直，AD=28C=4,且A8+8D=AC+CO=2jiZ，则四

面体体积的最大值为（）

A.4B.6C.8D.4.5

8.设函数〃x）=sinx+GcoSu¥+L若实数a,。,。使得4（工）+"（工-9）=1对任意xwR恒成立，贝U

a-b=（）

A.-lB.OC.lD.±l

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求,全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知等差数列｛%｝的首项为外,公差为d,前〃项和为5“，^-SIO<S8<59,则下列说法正确的是

（）

A.当〃=8,S”最大

B.使得S“<0成立的最小自然数〃=18

c.|%十%|>l〃io+qj

D.J'I中最小项为1

a»\%。

x2222

10.已知椭圆-y+=1（4>瓦>0）的离心率为q,双曲线一5■一工y=1（%>。力2>0）的离心率为%,

两曲线有公共焦点耳,K，P是椭圆与双曲线的一个公共点，/耳尸6=60,以下结论正确的是（）

=b；-b；

13,

B.—^+―^r=1

4e；4e；

C.b；=3Z?2

S

D.1卜是公差为-1的等差数列

n

II.已知正方体4BCQ-Aq的棱长为2,。是空间中的一动点，下列结论正确的是（）

A.若点。在正方形OCGA内部，异面直线4片与08所成角为e,则。的范围为

IJ乙

B.平面〃平面ACR

C.若4O=：AB+/UO（（^|JI1）,则与0+00的最小值为加

D.若4。=448+（1-4）4力（旗收1）,则平面。4Q截正方体48co〃所得截面面积的最大

值为4夜

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在（6-的展开式中，x的系数为.（用数字作答）

13.设抛物线丁=41的焦点为尸，过点7（2,0）的直线/与抛物线交于4,8两点，与V轴的负半轴交于C

点，已知S.BCF：S.ACF=1:2,则忸月=.

14.对任意闭区间/,用M/表示函数y=cosx在/上的最大值，若正实数4满足M［0,Q］=2Mm2a），则。的

值为•

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题13分）国家高度重视食品、药品的安全工作，某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的

500家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如

下频率分布直方图.

［频率/组距

0.090^...............-J~

0.070r--------I---

0|7276.80.344819296100成绩/分

（1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位

数〃（精确到0.01）;

（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取5家考核成

绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在［96,100］的企业数为匕求丫的分布列与数学期

望;

（3）若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布，N（〃,b2）其中〃近似为50家食品生产企业考核

成绩的平均数',o-2近似为样本方差一,经计算得-=27.68,，利用该正态分布，估计该市500家

食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家？（结果保留整数）.

附参考数据与公式：,27:68邪5:26,X~N（〃Q2）,则尸一成心■卜0.6827,

网4-2成h〃+2o■卜0.9545,尸3成A〃+3。卜0.9973

16.（本小题15分）已知函数/（R）=x2-2x+alnx,（a£R）

（1）讨论函数的单调性

（2）若对任意的X,££（0,+8）,%工9,傕叁匈二必M>0恒成立，则实数。的取值范围.

百一七

17.（本小摘15分）如图，。为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，AC为底面直径，二A5O为底面四O

的内接正三角形，且二43£）的边长为退，点E在母线PC上，且4E=J5，CE=\.

（1）求证：BDLAE，并求三棱锥P-班坦的体积；

（2）若点M为线段P。上的动点，当直线与平面AB石所成角的正弦值最大时，求此时点M到平面

ABE的距离.

18.（本小题17分）如图，已知耳，鸟分别为椭圆M:[+4=13>Z?>0）的左，右焦点，P（%,%）椭

ab~

圆M上的动点，若P到左焦点距离的最大值为3+石，最小值为3-石.

（1）求椭圆M的标准方程;

（2）过动点尸（为,为）作椭圆M的切线，分别与直线工=一。和工=〃相交于AC两点，记四边形

428的对角线4?,8。相交于点",问：是否存在两个定点S,7,使得|NS|+|NT|为定值？若存在，

求S,7的坐标；若不存在，说明理由.

19.（本小题17分）对于无穷数列£｝,若对任意犯〃EN”且加工〃，存在AWN，使得£“+%=/成

立，则称匕｝为“G数列”.

（1）若数列也｝的通项公式为么二2〃，试判断数列出｝是否为“G数列”，并说明理由；

（2）已知数列｛4｝为等差数列，

①若｛5｝是“G数列"，4=8,。2£^^且。2>4,求出所有可能的取值；

②若对任意〃wN"存在％wN"使得4=5“成立，求证：数列｛4｝为“G数列”.

数学参考答案

l.D

【详解】因为z=2i・(l—i)=2+2i,则Z=2-2i

则其对应的点为(2,-2),所以在第四象限.故选：D.

2.B

【详解】在.ABC中,取｛4CAB｝为基底，

则,牛网=2,AC,AB=60,

因为点£>,E分别为AB,BC的中点,

所以E/=LOE=，AC,

24

所以4/=4E+M=L(4B+AC)+!Ad=，A8+3AC.

2、f424

故选：B.

3.C

【详解】的定义域为R,

323

且外力=X-唾2(Vx+1-xj=/(x)=%+10g21+&+1),

,03

/(一”)=(一4+§2卜%+&+1)=/(%)=-x-log21+&+1)=-f[x)

因为/(X)=d+log2卜+4)为奇函数,

当X..0时，函数y=f,y=x+Jf+i均为单调递增函数,所以/")在X..0单调递增.

进而可得了(“在R上单调递增，。+砥1)00-〃o/(a)期(—〃)=/(〃)+/(〃)0,

故对任意实数0是/(〃)+/伍0的充要条件，故选：C

4.C

5.B

【详解】因为实数满足方。＜%,/="“

所以In/'=\nba，则b\na=a\nb,即—=.

ab

人、InxInezInZ?

令/(力=—,—=—

xab

则/(«)=f0=t,f(x)=.

所以函数/（力=—的图象与直线y=，在［2,+8）上有两个不同的交点.

令/'（x）>0,解得：Ovx<e；令/'（力<0,解得：x>e,

所以函数〃力=1巨在区间（O,e）上单调递增；在区间（e,+。）上单调递减.作出函数〃力=则的图

象：又因为2,〃<。,/（4）=当=掾=/（2）,所以e<&,4.故选：B

6.C

【详解】尸（人/（利））在y=/（x）=lnx上，Q（〃"（〃））在y=g（x）=；f上，设p到准线做整线交准

线于点G,x轴于”.

°（"〃）=|叫+|尸川=|叫+|?@一1=|尸@+|尸耳T..|QF|-1,

又IQ尸kn为焦点/到y=lnx上点的最小值，？=2故」-*皿=二一1

X工0xo-u

4=1,1。尸1nhi=&,Q（孙〃）=陵-1，故选C.

7.A

【详解】由题可知，点8在平面A8O内以4。为焦点的椭圆上，点C在平面CAO内以4。为焦点的椭

圆上，所以2C=4,即C=2,由椭圆定义可知2〃=2m，即a=JiZ，所以民C到A。中点M距离

的最大值为b=JI6,所以中，BM=CM=M

时S.MBC的最大值为3匕Mg=§芭丹「4。=4

8.B

兀

【详解】函数f（x）=2sinx+一+1,

3

依题意，2〃sin[x+1+2Z?sinx+g兀-q+〃+6=1对任意的恒成立,

3

即245皿[（+1n）+2/^亩[1+1cos^-2/x:os^x4-7y1jsin^4-a+Z?-l=0对R恒成立,

33

兀71

因此2（。+反ose）sinx+——2bsin”osx+—+a+Z?-1=0对xcR恒成

33

立,

a+hcci^ip=0

于是Z?sin^?=0,显然hwO,否则a=0且〃=1,矛盾,

a+b-l=0

则sin0=O,显然cosewl,否则。+。=0且。+力=1,矛盾,

从而cos°=-l,解得a=Z?=，,c=（2&+l）7i,

所以〃—b=0.故选：B.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

9.BD

S8Vs9S9-S8=679>0一%=一4-8d<0

【详解】根据题意：:,即《鼠=4+9"<。’两式相加'

S|0_$9=%<0

蓑>>0,%<0,当〃=9时,S”最大,故A错误

解得：

由S|0<S8，可得到%+4o<0<旬，所以《+41<0,

Ro+41一（4+佝）=々/<°，4o+4i+&+%〈°，所以|%+49|<|4（）+41|，故C错误;

由以上可得：q>《3>O>4o>41>•••，

珀=17（4+47）=]7%〉0,而S[8=18（%+/）

=9（佝+《0）<0,

2

当凡，17时，5n>0；当几.18时，\<0;要使得成立的最大自然数〃=17,故B正确.当凡,9,或

S

〃..18时,—>0：当9v〃vl8时,<0.9

a

n

由…>q/，So>S[]>S[2>…、0,

SS

所以＜j'中最小项为」l0■，故D正确.故选：BD.

Iaio

10.BCD

【详解】设爪―c,0),鸟(c,0),

由于椭圆与双曲线有公共焦点，所以42—42=/2+&2=。2,所以人选项错误.

根据椭圆和双曲线的定义得：

［爆需之所以同』+如鹤="'

由余弦定埋得内印2=|Pf；|2+|P^|2-2|Pf；|-|P^|cos60,

4c2=2af+2a；-(a；_g丫,=a；+,

13a23%24c21.…丁&

75+―7="7=+二十=7亍=hB选项正确.

4e~4e24c~4c~4c~

q?-c?=3c?-342,斤=342,C选项正确.

11.13

，•,一？£3,二,

024'3e,4

2屈6

qe13K,D选项正确.故选：BCD.

1I.BCD

【详解】对于A，选项A，以。为坐标原点，分别以OA,OC,DD1所在直线为x,y,z轴，建立空间直角

坐标系。一种，

则A(2,0,2)，4(2,2,2),3(2,2,0),0(0,y,z),0vyv2,0<z<2,

则A4=(0,2,0),BO=(-2,y-2,z)

则cos0=^osAB],Bd|

\BCBO

A闻B。

|2(y-2)1

2d4+(y-2)2+z2

I-

y14+(y-2)2+z2

1

4+z2~~

-y+1

(y-2)2

因为4+z2>4,0v(y-2)2<4

2

所以4上+二z+1>V2,

(y-2)

,则e的取值范围为故A不正确；对于B,在正方体ABCO-AQGA

中，平面ABC1〃平面ACR显然成立.故B正确；对于C,如图1,在48上取点〃，使得

AH=-AB,

4

图1图2图3图4

在CZ）上取点K，使得。K=»C,则由4。=-8+2肛即吟3故点。是线段HK上

一点.将平面“KG与沿”K展开至与平面A/7KZ）共面，此时A81=A”+B”=3,当旦,。,。三点共

线时：如图2）,片。+。£）取得最小值而，故C正确：对于D,因为

AO=AAB+（l-A）AD（m1）,所以00=408,又藤北1，可知。是线段BO上一点，如图3,

连接AC并与80交于点Z.当。与。重合时，平面0A"与平面ADRA重合，此时截面面积为4.当。

在线段DZ（不含点。）上时，平面。AR截正方体所得截面为三角形，且当。与Z重合时，截面为

△ACD,,此时截面面积最大，由三边长均为2a，故此时截面面积最大值为2.当O在线段3Z（不含

点区Z）上时，如图4,延长AO异与交于点W,作WR平行于AA并与CG交于点R，则截面为

等腰梯形AW/犯，设BW=X（0<XV2）,则AW=AR=j4+f,wR=75（2—x），梯形AW/?A的

高力斗+产,面积为g（40+WR）/=g（4—当。与8重合时，截面为矩形

ABCR,面积为4&.故平面OAR截正方体所得截面面积的最大值为4夜，故D正确，故选BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.15

13.0+1

【详解】由S.8b:S’MCF=1：2,可得8C:AC=1:2,所以乙=1：2①，且乙,4>0,又可设直

线A8的方程为：%=仅+2,与抛物线），2=4x联立得：y2-4ty-S=0,

△=16J+32>0,y；=4XA,yj=4xB,

故y%=-8,从而XX（2如工=2=4②，

A81616

结合①②可得s=2厄XR=正从而忸q=&+1.

故答案为：>/2+1

14工或2

【详解】当。£[0,微]时，2a£[0,兀],加[0a=1，加必.2。]=cosa,

由Moa=2%”2G可得2COS〃=1,此时。=1:

兀

当4€[/,兀]时，2^G[7l,27t],Moa=LMga）=COSQ或/a2a]=COs2〃.

1jr

若Mg“尸cos。，则由叫OM=2陷心可可得cosa=],因折弓,泪,故无解；

若叫⑻=cos2〃，则由叫OM=2M小训可得cos2〃=!，此时2。=乎,即〃=学；

236

当aW[W+QO）时，2aG[2TI,+OO）,

因区间[。,2川的长度至少为兀，故Mo0尸1,历=1,

而A/（Ofl]=2Mm2G显然不成立，故舍去；

综上，。的值为当或2.

故答案为：；或7~.

36

四、解答题：本题共5小题，共77分.

15.解：（I）这50家食品生产企业考核成绩的平均数为：

x=74x0.04+78x0.12+82x0.28+86x0.36+90x0.10+94x0.06+98x0.04=84.80

由频率分布直方图得内a《84,88］,

.•.0.04+0.12+0.28+0.09x（«-84）=0.5,

解得中位数84.67（分）.

（2）这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有

50x（0.1+0.06+0.04）=10家

其中考核成绩在［96J00］内的企业有50x0.04=2家，

由题意可知，y的可能取值为（）,1,2,

尸(丫=。)=导4%=1)=等［，叩=。)=注=|

Jo"jo"Jo"

「.y的分布列为:

Y012

252

P

999

(3)由题意得X~N(84.80,5.262),，〃+2bk84.80+2x5.26=95.32,

109545

尸(X>〃+纭)*-----------«0.002275,500x0.02275=11.37511(家)

22

.•・估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有11家.

16.解：（1）/（戈）的定义域为）£（0,+3）,/（力二29-2+@=2厂-2“十。

XX

令g（力=2x2-2x+a,

又•.•△=4-8。，

1,当△,,（）,即时，g（x）..O,此时r（x）>OJ（力在（0,+8）上单调递增

2，当A>0,即时，

令g(x)=O,解得王=匕4互,电=匕今互

其中，当Ova<g时，0<玉<X,,XG(0,X})LJ(X,,4-^0),(x)>0,

/(%)在(0,内卜(9,+8)单调递增，在(苦,9)单调递减；

当avO时，不<0</,X£(0,/)送(工)<0,工£优,y),g(x)>0,

故/(X)在(O，W)单调递减，(赴,+8)单调递增.

综上：

a.gj(x)在(0,+8)上单调递增；

()<4<g,/(x)在0,[-J；-2q,1+J；―2〃+8上单调递增；

\/X>

6,Oj(x)在(o,—2上单调递减，在—Jz,+8上单调递增.

)f(x}

(2)法一：不妨设0<百〈42，则々/(X)一氏/(%)>。，同除以再Z得—二>---"，所以令

%,x2

G(X)=/H=%—2+生竺在(0,十。)

XX

1，若a=0,G'(x)>0恒成立，符合题意.

2，当。>0,工…1JE」恒成立，

ax~

人厂/\lnx-1…x3-21nx

令尸(x)=——则F\x)=---,

XX

(3\(3\

所以尸(同在0,经单调递增，在丁,+8单调递减，

\

1(?

所以一•.尸e2=J所以aw(0,2e1

aI

3，若a<0，同理，,，1nx11恒成立,由2知，当工一>0+,/(%)——8

ax~

所以不存在满足条件的〃.

综上所述：t/G(0,2e3]

法二:(%-工2)12/(百)-$")]>。0(七一工2)->0.

X\X2

令8(力=/1^=X一2+生竺，则只需g(x)在(0,y)单调递增，

XX

即g'(x)..O恒成立

g'(x)=X+叱-山),4-/i(x)=x2+tz(l-liu),则力(%)・°恒成立；

e、八a2x2-a

又〃(x)=2x——=------

xx

①当a=0时，=f(力在(0,+8)单调递增成立；

②当°＜0时,〃(力＞0收(力在(0,+8)单调递增,又1.0,〃(%)一＞一8,故〃(冗)..0不恒成立.不满

足题意；

③当。＞0时，由研工)=0得工=/,川㈤在0,4)单调递减，在聆,+8单调递增，

因为.0恒成立，所以力*)min==/3-In—^..0

解得。＜«,2e3;

综上,e(0,2e3].

17.解：(1)设ACc8£)=/，连接EF，

为底面圆。的内接正三角形，

•AC-坦-2F

.兀，为3。中点，

sin—

3

313

.■.CF=2--=-A0=-AF=l；

22y2

-AE=®CE=\,:.AE2+CE2=AC2,..AE±EC,

AfAp

■：—=——，.-4ERSA4CE•.NAFE=ZAEC,:.EP_LAC；

AEAC

PO_L平面ABD,POu平面PAC,平面PAC，平面ABD,

p

平面RACc平面ABD=AC,EFu平面PAC.:.EFJL平面ABD，

又BDa面ABD,EFJLBD,

又5。_14。,即01。二尸,5力_1面4£。，又AEu面AEC,

所以3E>_LAE

又PO上平面ABD.:.EF//PO.

POa平面BDE,EFu平面BDE,;.PO//平面BDE;

•・•尸为3。中点，.•.A/?_L8£>，即O/LBO,

又EP_L平面A3O,平面，。£8。匚平面45。,「.七尸1.0尸,所_1_3。,

・・•EFcBD=F,EF,BDu平面BDE,;.OF±平面BDE，

•;EF=ylAE2-AF2=,3—・=^,EF1BD,

:.SRnF=-BDEF=-xy/3x^-=-f

BDE2224

又O产尸=1,尸0〃平面BOE，

22

1Z1Z1e八「1311

•*,Vp_RDE=^O-BDE=TS4BDE.。尸=TX~7XT=Q-

JJ4Zo

(2).OF=CF=—，.•.F为OC中点,乂PO〃EF、

2

;.E为PC中点,PO=2EF,

P0=®PC=2,

以b为坐标原点，PB,尸C,FE正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

,D0,0

-冬2

设OM=WP

:.DM=DO+OM

'2'

设平面ABE的法向量五=(x,y,z),

则ABn=—x+—y=0

22

则AEn=—y+z=0

22

令y=-i,解得：1=6,2=百,「.〃=(6,一1,石),

设直线DM与平面ABE所成角为仇

令f=34+2,则/£[2,5]二.几=上2,

3万+1_"；)+1，4/+7=1(74]

(37+2)2_P__^2_17+)

11■1£■,♦,当L2

7-e

527

3-卜1।

3万+1

即；1=工时,_-4-------_--1•

(34+2)2497

2min

4

(sin6>)tnax_1

此时DM

，2'

。1，-等

:.MA=DA-DM=

1_

MAF二3二万.

•・•点M到平面ABE的距离

\n\V714

18.解：（1）由题知，设尸（七,为）为椭圆上任意一点,

又附f=(/+c)2+y；=-x0+a|，得|P用=5%+〃

a

又一流此a\PF\E：\a-c,a^c\

a+c=3+小.....

l，得/=9,/=5,/=/一/=4

a-c=3-yj5

V2V2

所以椭圆M的标准方程为L+1=1.

94

（2）因为点P（毛,%）在椭圆江+?=1上，

则%!+瓦=1,即9%2=36-4/2,

94

/2、4

又因为产=41-^-=-（9-x2）,

取y=2的一丁,

3

,1—lx2x1

所以)'二2

3yJ9-X2丁庄7'

2x_1

所以切线的斜率A丁斤7,

2x01(、

所以切线方程为3一天二一亍•3_宝(X—%)