小学奥数教师版合辑-4-2-5平移旋转割补

4-2-5.平移、旋转、割补

E111^

图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等），构成新的图形.

【例1】右图是一块长方形草地，长方形的长是16,宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平

行四边形，它们的宽都是2,求草地部分的面积（阴影部分）有多大？

【考点】平移、旋转、割补【难度】2星【题型】解答

【解析】如图所示，将道路平移后的（16-2）x（10-2）=112。

【答案】112

【例2】如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个.请算出阴影

部分的面积.

1cm]cm

【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答

【解析】如图，将阴影部分分割成一个正六边形和12个小三角形，再把正六边形分割成6个正三角形，由于

正十二边形的每个内角为180。*（12-2）+12=150。，所以阴影小三角形的顶角等于

150o-60°x2=30°,每个顶角的两边和与其相邻的正三角形的底边所成的角都是30。+60。=90。，所

以通过如右上图所示的平移可以组成6个边长为1厘米的正方形，所以所求阴影部分面积为12X6=6

平方厘米.

【答案】6

【例3】如图所示，梯形A8C7）中，A3平行于CD,又或）=4,AC=3,A8+8=5.试求梯形ABC。的

面积.

【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答

【解析】如右图，将4?沿AC平移至CE,连接BE,在三角形3DE中，有BD=4,BE=AC=3,

DE=AB+CD=5,有Bb2+BE?=DE?,所以三角形双出为直角三角形.

由于SAAM=Sg"=SABCE，所以梯形A88的面积与三角形BDE的面积相等，为;x3x4=6・

【答案】6

【例4】如下图，六边形ABCDEF中,AB=ED,AF=-CD,BC=EF,且有4?平行于£D,AF平行于

CD,8c平行于EF,对角线㈤垂直于比），已知㈤=24厘米，BD=18厘米，请问六边形

ABCDEF的面积是多少平方厘米？

【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答

【解析】如图，我们将ABCD平移使得CD与AF重合，将ADE尸平移使得即与他重合，这样、8c都

重合到图中的AG了.这样就组成了一个长方形3GED,它的面积与原六边形的面积相等，显然长

方形BGFD的面枳为24x18=432平方厘米，所以六边形ABCQE尸的面积为432平方厘米.

【答案】432

【例5】如图2,六边形ABCQEF为正六边形，P为对角线CF上一点，若PBC、月沙的面积为3与4,

则正六边形ABCDEF的面积是.

【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答

【关键词】迎春杯、中年级、初赛、7题

【解析】这是一道几何问题，考察同学们对常见图形性质的认识.正六边形的六条边都相等，每个角都是，

每一组对边都互相平行，正六边形可以看作是由六个正三角形拼成的(如图(1)).其中正六边形的

面积是正三角形面积的6倍.每相邻两个正三角形拼成的是一个平行四边形.如图(2),连结M,

三角形4,尸的面积是平行四边形ABFO面积的一半.六边形ABCDEF的面积是平行四边形ABFO

的3倍，故六边形ABCDEF的面积是三角形ABF的面积的6倍.如图(3),连结CE,三角

形8cp的面积与三角形尸的面积和是平行四边形8/石C面积的一半.而六边形A8CD斯的面积

是平行四边形3FEC的1.5倍，故六边形4?。。£户的面积是三角形8cp的面积与三角形EEP的面

积和的3倍.

所以，由△PBC、APEF的面积分别为3与4,

可知正六边形ABCDEF的面积是(3+4)x3=21.

【答案】21

［例6］正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米,Bl,B2,B3,B4,B5,B6分别是正六边形各边的中点;

那么图中阴影六边形的面积是平方厘米.

【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答

【关键词】迎春杯、六年级、初赛、14题

【解析】如图，设线为与用4的交点为O,则图中空白部分由6个与一样大小的三角形组成，只要

求出了△4。%的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.

连接44、B6B、、线4

设AAB区的面积为"1"，则△84稣面积为“1”,△姻，面积为“2”，那么线面积为

△^A2B6的2倍，为“4”，梯形A4AA的面积为2x2+4x2=12,AA2B6A.的面积为“6”，△犍

的面积为2

根据蝴蝶定理，BQ=AQ=S△2：S"4%=1：6,故

121

所以SMO/S^AAAA^^门？」：？，即△404的面积为梯形A&AA面积的亍，故为六边形

113

44A3A4AA面积的点，那么空白部分的面积为正六边形面积的点X6=；,所以阴影部分面积为

2009x(1-1)=1148(平方厘米).

【答案】1148

【例7】按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形.已知甲三角形两条直角

边分别为2cm和4c〃?，乙三角形两条直角边分别为和6。〃，求图中阴影部分的面积.

【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答

【解析】如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之

和.所以阴影部分面积为：3x4+6x2-(3x6-2+4x24-2)=ll(c/n2)

【答案】11

【例8】在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图)，求图中阴影

部分的面积占整个图形面积的几分之几.

【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答

【解析】阴影总值是一个梯形.我们用三种方法解答.

⑴割补法

从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形.将这两个直角三角形拼成一个长方形(见下图).显

然，阴影部分正好是长方形的1，所以原题阴影部分占整个图形面积的L

33

⑵拼补法

根据商不变性质，将阴影面积和平行四边形面积同时除以2,商不变.所以原题阴影部分占整个图形

面积的-.

3

⑶等分法

将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，所以阴影部分占整个图形面积的

3_1_

9-31

注意，后两种方法对任意三角形都适用.也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条

件不变，结论仍然成立.

【答案】-

3

【例9】如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点P为中心转动一个正方形.当

AB=5厘米，3c=13厘米，C4=12厘米时（如下右图），求右图中的两个正方形相重叠部分的面积

（注意，图的尺寸不一定准确）.

【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答

【解析】右图由左图旋转而得，则右图中的8个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于

正方形面积减去4个小三角形的面积，从右图中可以看出正方形的边长为5+13+12=30厘米，所以

重登部分的面积为：302-4x（5x12+2）=780（平方厘米）.

【答案】780

【例10］如图，在直角三角形中有一个正方形，已知皿=10厘米，£心=7厘米，求阴影部分的面积.

【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答

【解析】绕。点逆时针旋转ACED,使E与尸重合，则C点落在四边上的C'点处，且C'O=CD.则阴影

部分面积转化为直角三角形BCD的面积，所以阴影部分的面积为10x7+2=35平方厘米.

【答案】35

【例11］四边形ABCD中45=30»AD=48,BC=14,a）=40.又已知N48D+N5DC=90。,求四边形48C。的面积.

A

【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答

【解析】如下图，以8。的垂直平分线为对称轴心，做△A8。关于心的对称图形△A'8/).连接A'C.

因为ZABD+ZBDC=900()而ZABD=ZA'£>3=90°,所以有/A'DB+ZBDC=90(}.

那么A'CD为直角三角形，由勾股定理知A'C?=AB2+c£)2=25oo,所以AC=50.

而在△ABC中，有A8=A0=48,有482+142=2500,即A'B2+BC2^AC?,即△ABC为直角三角形.

有S-pdSA.BC=30x40xg+14x48xg=936.

而IS四边形A8co—S-B+SA.BC=936.

评注：I.本题以乙4BC+NBOC=900突破口，通过对称变换构造出与原图形相关的角三角形

II.对于这道题我们还可以将△BCC作乙的对称图形.如下：

【答案】936

【例12］如图，在三角形ABD中，当AB和CD的长度相等时，请求出“?”所示的角是多少度，给出过程.

【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答

【解析】因为A8=C。,于是可以将三角形A8C的边84边与CO对齐，如下图.在下图中有NBCA=110°,所以

ZACD=1Q°于是/ACC'=NACO+NOCC'=NACO+NABC=70°+40°=110°；

即NACC'=110°=/CC'O；又因为C'A只是C4移动的变化，所以C'A=C4；则ABCA是一

等腰梯形.于是,NADC'=180°-110°=70°;又NCDC'=30°,所以NAOC=70°-30°=40°.

【答案】40°

【例13］如图所示的四边形的面积等于多少？

【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答

【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.

我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：

把三角形。绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形04?将旋转到三角形

OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就

是原来四边形的面积.

因此，原来四边形的面积为12x12=144.（也可以用勾股定理）

【答案】144

【例14］如图，三角形是等腰直角三角形，P是三角形外的一点，其中NBPC=90。，AP=10cm，求

四边形.pc的面积.

【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答

【解析】因为N84c和N8PC都是直角，和为180°,所以NA3尸和NAC尸的和也为180°,可以旋转三角形

APC,使AC和AB重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形AP'P,面积为10x10+2=50平

方厘米.

【答案】50

【例15］如图所示，AABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=5,以AC为一边向AABC外作正方形ACDE,

中心为O,求AOBC的面积.

【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答

【关键词】武汉明心奥数

【解析】如图，将AOA8沿着O点顺时针旋转90。，到达AOC尸的位置.

由于NABC=90°,ZAOC=90°,所以Na43+NOC8=180°.和NOCF=NOAB,

所以NOCF+NOCB=180°,那么3、C、下三点在一条直线上.

由于O8=OF,ZBOF=ZAOC=90°,所以M。尸是等腰直角三角形，且斜边跖为5+3=8,所

以它的面积为82x」=16.根据面积比例模型，△QBC的面积为16x9=10.

48

【答案】10

【例16］如图，直角梯形A8C。中，AD//BC,ABLBC,AD=2,BC=3,将腰CO以D为中心逆时针

旋转90。至ED,连接AE、CE,则AADE的面积是.

EE

A

B

【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答

【关键词】武汉明心奥数

【解析】如图所示，将AADE以。为中心顺时针旋转90。，到AFDC的位置.延长FD与BC燹于H.

由于A8CD是直角梯形，4)与")垂直，则四边形是长方形，则8H=AT>.

由于AADE与瓯;七面积相等，而AFDC的底边.FD=AD=2,高CH=BC—BH=3-2=1,所以

△F£>C的面积为2xl+2=l,那么AWE的面积也为1.

【答案】1

【例17］如图，正方形和£>£FG有一个公共点。，试比较三角形4X；和三角形CDE的面积.

【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答

【解析】因为NADC和NGE»E是直角，所以N4DG和NC£)E是互补角，将三角形4X；顺时针旋转90。到达

AA'DE的位置，则A'、D、C在同一条直线上，且A'D=A£>=C£),即。是A'C的中点，所以三

角形CDE和三角形A'QE面积相等，则三角形CDE和三角形ADG面积相等.

【答案】相等

【例18］如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE,ZA£B=90°,AC、BD交于O.已

知他、BE的长分别为3cm、5cm,求三角形O3E的面积.

【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答

【关键词】资优杯

【解析】如图，连接以A点为中心，将AADE顺时针旋转90。到AAB6的位置.

那么/£4尸=/石48+/班尸=/£48+〃4£=90。，而NAEB也是90°,所以四边形AME是直角梯

形，且AF=AE=3,

所以梯形AFBE的面积为：

(3+5)x3xl=12(cm2).

又因为AABE是直角三角形，根据勾股定理，AB2=AE2+BE2=32+52=34,所以

1,,

%.>=5旗-=17(皿)

+

那么S.DE=SAAB。-(&ABE)^A4BD~AFBE=17-12=5(CITr),

所以SAOBE=3SMDE=2.5(cm).

【答案】2.5

【例19］如图，已知AB=AE=4cm,BC=DC,ZBAE=ZBCD=90P,AC=10cm,贝U+S.8+SAO>E=

________cm2.

【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答

【关键词】迎春杯、高年级、复赛、10题

【解析】将三角形A8C绕A点和C点分别顺时针和逆时针旋转90,构成三角形AEC'和/VDC,再连接

A'C',显然AC_LAC',AC±A'C,AC=A'C=AC',所以AC4'C'是正方形.三角形AEC'和三

角形A'E>C关于正方形的中心。中心对称，在中心对称图形AC4,C中有如下等量关系：

^HAEC=S'roc'；=SAVDC；S&CED=^\C'DE'

所以S^BC+SAACE+SRCDE=SAAEC,+^&ACE+SACOE=5SAC4C'=5x10x10=50cm.

【答案】50

【例20］如图所示的四边形ABC£)中，ZA=ZC=45°,ZABC=105°,AB=CD=15厘米，连接对角线BD,

ZABD=30°.求四边形ABC。的面积.

【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答

【关键词】第八届、华杯总决赛

【解析】由NA=45°,ZABD=30°,可得NA£>8=180°-45°—30。=105°,ZDBC=105°-30°=75°.

将AZMC剪下来，翻转，再贴在8£>边上，即将5点粘在£>点上，。点粘在B点上，如右上图所示.则

C点在E点的位置.由于NA03+N£Z)B=1O5°+75°=18O°,所以A、D、E三点在同一条直线上.由

于NA=NE=NC=45°,所以NABE^SK)。，即A4BE是等腰直角三角形，它的面积就等于四边形

ABCD的面积，所以四边形ABCD的面积为小”=112.5平方厘米.

2

【答案】112.5

【例21］如图，在A/U3D中，AB=CD,求“？”的度数.

【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答

【解析】如图，由于XB=CE>,可以将AABC移动到ADCE,由于NAC8=180°—(30°+40°)=110°,

ZACD=180o-110o=70°,所以NACE=70P+40P=110,又NC£»=110°,而AC=DE,所以四

边形AGED是等腰梯形，有Z4£)E=180。—/6£0=180。-110。=70°,ZAZX7=70°-30°=40°.

点评：通过构造全等三角形来转化.

【答案】40°

【例22】下图三角形ABC是等腰三角形，AB=AC,N54C=120。.三角形4)E是正三角形，点D在BC

边上，BD:DC=2:3.当三角形ABC的面积是50cm2时，三角形ADE的面积是多少？

皇C

BDCB1

【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答

【解析】以点A为中心，由三个三角形ABC可拼成右图：连结QE、RF.GD,则。EQFRG是一个正六边

形.连结RD、DQ、RQ,显然RE>Q是一个等边三角形，并且它的面积是正六边形面积的一半，

所以是三角形ADE的面积的3倍.

由于=53^x3=1500/，根据“鸟头定理"，与眯=S36cm:

短肥3+22+3

所以S^RDQ=SEBC-S.cx3=42cm~,贝"=^^RDQ+3='42+3=14cm?.

【答案】14

【例23］如图，正方形PQRS有三个顶点分别在AABC的三条边上BQ=QC.求正方形PQRS的面积.

BQHC

【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答

【解析】如下图，我们设A4BC的面积为1,有e=l-c-d—(b-\--)=1—x-----x------x—=---,

22132111311143

所以a=2e=幽，b+c+d=l-a=~,所以一--=—.

143143b+c+d75

如下图左，将三角形c和三角形d分别以尸、/?为中心按箭头方向旋转90。，形成由两个直角三角形

连在^一"起的一^个四边形，如下图右，b>c>d被虚线分成两个直角三角形，它们的面积之和为:

2

Z?+c+d=7x6+2+9x2+2=30cm2所以〃=30x货=27.2(cm).

75

QB11Q11C

【答案】27.2

【例24］如下图4ABe是边长为1的等边三角形ABCD是等腰三角形BD=CD,顶角

N8DC=120。,NM£W=60。,求△AMN的周长.

jV

【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答

［解析】如下图，延长AC至P,使CP=M8,连接DP.

।]]80°—120°

则有ZMBD=6^+六边形DEQSRT=gS---=NPCD;CP=BM;BD=CD,

所以有△MBDmAPCD.于是NMDC=NPDC;

又因为NMDB+ZNDC=60°,所以NPDC+NNDC=ZNDP=60°:

MD=PD,在4MDN