人教A版高中数学第一册(必修1)课时作业8：3. 1. 2 函数的表示法

3.1.2函数的表示法

L下表表示y是x的函数，则函数的值域是（）

A.『2,5』B.{2,3,4,5}C.（0,20JD.N

2.若关于x的方程/（x）—2=0在（一8,0）内有解，则y=/（x）的图象可以是（）

3.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间，的函数关系如图所示，则下

列说法正确的是（）

A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多

C.甲、乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点

4.已知函数/（x）满足：f（V2x-1）=8x2—2x—1,则/（x）等于（）

A.2x4+3x2B.2xA-3x2

C.4x4+x2D.4%4—x2

5.已知/（x+1）=2/+l,则/（x—1）=.

6.某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为产且当x=2时，y

=100；当x=7时，y=35.且此产品生产件数不超过20件.

（1）写出函数y关于x的『解析』式；

（2）用列表法表示此函数，并画出图象.

7.已知二次函数图象的顶点坐标为（1,1）,且过（2,2）点，则该二次函数的『解析』式

为()

A.y=x2_]B.y=—(九一1)2+1

C.y=(x—1)2+1D.y=(%—1)2—1

8.如果二次函数的二次项系数为1,图象开口向上，且关于直线x=l对称，并过点(0,0),

则此二次函数的『解析』式为()

A/(x)=x2~lB.f(x)=—(x—1)2+1

C.f(x)=(x—1)2+1D/(x)=(x—1)2—1

9.已知/(x—l)—x2,则/(九)的『解析』式为()

A.f(x)=x1—2x—1B.f(x)=x2—2x+l

C.f(x)=x2+2x—1D.f(x)=x2+2x+l

10.若/(龙)对于任意实数x恒有4(%)—八—x)=3x+l,则/(x)等于()

A.x—1B.x+1

C.2x+1D.3x+3

11.已知函数y=/(x)的图象关于直线1=一1对称，且当(0,+oo)时，有/(x)=[,

则当(—8,—2)时，f(x)的『解析』式为()

A.fQx)——B/(%)=一

12.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一位代表，当各班人数除以10的余

数大于6时再增选一位代表，那么各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取

整函数y=Ixl(M表示不大于x的最大整数)可以表示为()

A•尸底』B厂『答』

13.若函数/(x)满足/(3x+2)=9x+8,则/(x)的『解析』式是.

14.已知函数/(%)=x2+(a+1)%+b满足/(3)=3,且/(x)》恒成立，求/(%)的『解

析』式.

15.根据下列条件，求/(x)的『解析』式：2f(9+/(x)=x(#0).

16.如果函数/(x)满足qf(尤)+/^^=ax,.#0,a为常数,。我1且£#一1,求/(x).

17.(1)已知函数/(x)=/,g(x)为一次函数，且一次项系数大于0,若/(g(x))

4x2—20x+25,求g(x)的『解析』式.

(2)求满足/(1+9=*一1的函数f(x).

(3)已知/(x)满足3/(%)+2f(—X)=4%,求/(九)的『解析』式.

18.求下列函数『解析』式.

已知/(x)是一次函数，且满足3/(x+l)—2f(x-1)=2x+17,求/(x)；

19.已知二次函数/(%)=cu^-\-bx(tz,b为常数，且"0)满足条件：f(x—1)—f(3—x),

且方程/CO=2%有两等根.

(1)求/(%)的『解析』式；

(2)求/(九)在『0,可上的最大值.

20.已知二次函数/(%)满足/(x+1)~f(x)=2x,且/(0)=1.

(1)求『解析』式/(X)；

(2)当xG[―1,1J时，函数y=/(x)的图象恒在函数y=2x+%的图象的上方，求实

数m的取值范围.

21.已知定义域为R的函数/(x)满足/(/(x)—x2+x)=f(x)~^+x.

(1)若/(2)=3,求/(I)的值；又若/(O)=a,求/(a)的值；

(2)设有且仅有一个实数xo,使得/(xo)=xo,求函数/(x)的『解析』式.

22.如图，ABC。是边长为1的正方形，M是CD的中点，点尸沿着路径C—M在正

方形边上运动所经过的路程为x,△APM的面积为y.

(1)求y=/(无)的『解析』式及定义域；

(2)求小APM面积的最大值及此时点P位置.

23.某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一

列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7

节车厢，则每天能来回10次.

(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的『解析』式

和定义域；

（2）在（1）的条件下，每节车厢能载乘客110人.问这列火车每天来回多少次才能使运营

人数最多？并求出每天最多运营人数.

24.给下图的容器甲均匀地注入水时，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度

与时间的函数关系（）

25.一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示.某天。点到6点，该水

池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）

给出以下3个论断：①。点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6

点不进水不出水.则正确论断的个数是（）

A.OB.lC.2D.3

26.图中的阴影部分由底为1,高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成.设函数S

=S（a）（G>0）是图中阴影部分介于平行线〉=0及丫=。之间的那一部分的面积，则函数S

（。）的图象大致为（）

x=t（0</<V2）将正方形ABCD分成两个部分，记位于直线/左侧阴影部分的面积为了（力,

则函数S=/（f）的图象大致是（）

28.设集合M={ROW烂2},N={j|0<y<2},那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N

的函数关系的为（）

A.①②③④

B.①②③

C.②③

D.②

29.函数y=/(x)与y=g(x)的图象如图所示，则函数y=/(x)-g(无)的图象可能是()

(1)y=/(x),y=/(x+l)和y=/(x—1)的图象，并观察三个函数图象的关系；

(2)y=/(x),y=f(x)+1和y=/(x)—1的图象，并观察三个函数图象的关系.

31.画出y=(x+1)2与y=x2-l的大致图象，并说明这两个图象可由>=%2的图象经过怎

样的变换得到.

32.画出函数/(x)=一r+2了+3的图象，并根据图象回答下列问题:

(1)比较/(0)、/(I),/(3)的大小；

(2)若X1<X2<1,比较尤1)与/(尤2)的大小；

(3)求函数/(无)的值域.

★参*考*答*案★

L『『答案』』B

2.『『答案』』D

『『解析』』因为关于x的方程/(无)―2=0在(—9,0)内有解，

所以函数>=/(无)与y=2的图象在(一8,0)内有交点，观察图象可知只有D中图象满

足要求.

3.『『答案』』D

『『解析』』从图中的直线看出：V^>V乙，5甲=，乙，

甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲比乙先到达.

故选D.

4.『『答案』』A

『『解析』』令-1,得工=3匚，

故有了(力=8x支迎一2x3—1,

42

整理得/(力=2/+3汽

即/(x)=2A4+3X2.

故选A.

5.『『答案』』2x2-8x+9

『『解析』』设x+l="则x=Ll,

f(0=2(r—1)2+1=2^—4z+3,

f(x—1)—2(x—1)2—4(x—1)+3

=2x2—4x+2—4x+4+3

=2x2—8x+9.

故『答案』为2/—8x+9.

6.解：(1)将［"2'7，代入尸以+2中，

ly=100,ly=35,x

得I2"+5—1°°'.4(1+5=200，_Ja=1/

寸17a+3=35749a+b=2457人=196.

所以所求函数『解析』式为尸元+3(%£N,0(烂20).

(2)当尤G{1,2,3,4,5,20}时，列表:

X1234567891()

),1971()068.35344.238.73532,530.829.6

X11121314151617181920

28.9I29.3

y28.828.32X.12S28.128.2528.529.8

依据上表，画出函数y的图象如图所示.

180

160

IIO

120

加

60

川

20

下101520x

7.『『答案』』C

『『解析』』设二次函数为(X-1)2+1,将(2,2)代入上式，得。=1.

所以y=(x-1)2+l.

8.『『答案』』D

『『解析』』根据已知选项可设/(X)=(%—1)2+c.由于点(0,0)在二次函数的图象上,

(0)=(0—1)2+c=l+c=0,.*.(?=—1,.*./(X)=(X—1)2—1.

9,『『答案』』D

『『解析』』令X—1=£,则％=叶1,

.*./(t)=(r+1)2=卢+2/+1,即/(x)=x2+2x+l.

10.『『答案』』B

『『解析』』•二4(x)一于Q—x)=3x+l,①

将①中X换为一X,则有

If(—x)—/(%)=—3工+1,②

①x2+②得y1(%)=3x+3,

:•于(x)—x+1.

11.『『答案』』D

『『解析』』设％<—2,则一x—2>0,由函数y=/(x)的图象关于％=—1对称，

得/(%)=/(—%—2)所以/(x)=一圭.

12.『『答案』』B

『『解析』』当x=56时，y=5,排除C,D；当x=57时，y=6,排除A.・,•只有B正确.

13.『『答案』』/(x)=3%+2

『『解析』』令3%+2=。则3%=/-2,

故/(力—3(/—2)+8=3/+2.

14.解：由/(3)=3,得。=一3〃一9.

由f(x)>x恒成立可知，^+ax+b>0恒成立，

所以〃2—4底0,所以4+124+36=(〃+6)2<0,

所以〃=-6,b=9.

所以f(x)=x2~5x+9.

15.解：:/(x)+2f(^)—X,将原式中的x与!互换，得了(,+?/(x)=；

7(%)+2哨=居

于是得关于/(x)的方程组〈

32/。)/

解得/⑴=^~(今0).

16.解：因为4(%)+/(：)=ax,

将x换成§得4(：)+/(%)=。+，

由两式消去/Q),得(“2—1)/(%)=〃2%一

2_a

由a^l且a^—1,得/(x)=aX~,

a2-l

所以J7(x()a2=-l呼)x:)(XGR且;#0).

17.解：(1)因为g(%)为一次函数，且一次项系数大于0,所以设g(x)=ax+b(〃>0).

因为/(%)—X1,f(g(x))=4x2—20x+25,

所以(QX+Z?)2=4x2—20x+25,

BPc^x1+labx-\~b2=4x2—20x+25(a>0),

解得q=2,b=—5,

所以g(x)=2%一5.

1i

(2)令£=1H■-(/0),则x=--(#1),

xt—1

所以/(力—(£-1)2—1=/2-2/(#1),

所以/(x)=x2—2x(/1).

(3)由题意得3/(%)+2f(—x)=4x,①

用一工代替人,得3/(—冗)+2f(x)=—4x,②

①x3—②x2,得?(x)=20x,

所以/(x)=4x.

18.解：设/(x)—ax+b(存0),

则3/(%+1)-2/(x-l)

—3ax+3a+3b-2ax-\-2a—2b

=QX+〃+5Q=2X+17,

:・a=2,b—1,.*./(x)=2x+7,

19.解：(1)•方程f(%)=2x有两等根，

即加+(。-2)x=0有两等根，

・・・/=(。-2)2=0,解得2=2.

由/(x—1)=/(3-X),得XT；3T=],

，X=1是函数图象的对称轴，

而此函数图象的对称轴是直线了=一；,

2a

.•・一A=1,—故/(x)=—x2+2x

(2),函数/(九)=—%2+2x的图象的对称轴为％=1,『0,

・•・当云1时，/(X)在『0,/』上是增函数，

当介1时，/(X)在『0,1』上是增函数，在『1,以上是减函数，・•・/(〃)max=/(l)=1.

综上，f(x)l,t>L

—/+2t,t41.

20廨：(1)由/(x+1)-/(x)=2x,

令x=0,得/(I)=1；令x=—l,得/(一1)=3.

c=La=L

设/(x)=ax1+bx+c,a+b+c=1,解得，人=_1

a—b+c=3,c=1.

故/(x)的『解析』式为/(%)=/—x+L

(2)因为y=/(x)的图象恒在y=2x+机的图象上方，所以在『一1,1』上，x2—x+l>2x

+加恒成立.即12—3x+l>机在区间『一1,1』恒成立.所以令g(x)=12—3%+1=(X—|)

2—P故g(X)在『一1,1』上的最小值为g(1)=—1,所以加<—1.

21.解:(1)•・,对任意x£R,

有f(f(x)—x2+x)—f(x)—x2+x,

・・・/(/(2)-22+2)=/(2)-22+2.

又由/(2)=3,得,(3—22+2)=3—2?+2,即/(I)=1.

若/(0)=a,则/(〃一()2+o)=〃一()2+0,即/(〃)=a.

(2)•.•对任意/(/(%)—x2+x)—f(x)—x2+x,

又•・•有且只有一个实数xo,使得/(xo)=次，

・♦・对任意x£R,有/(%)—X1+X—XQ.

在上式中令x=xo,得/(%o)—XQ+XO=XO.

又=7>(x0)=xo,Axo—XQ=0,故xo=O或％o=l.

若xo=O,则/(x)—/+%=0,即/(%)=x2~x.

但方程好一x=x有两个不同的实根，与题设条件矛盾，

故xo^O.

若沏=1,则/(%)—x2+x—l,即/(x)—x2—x+l.

易验证该函数满足题设条件.

综上可知，所求函数的『解析』式为/(x)=x2—x+l(x£R).

ri

-x,0<%V1,

22.解：⑴根据题意得/(%)=<|-^1<%<2,

-------x,2〈％<一.

1422

/(X)的定义域为(0,13U『1,2)U『2,|)=(0,|).

(2)易知/(尤)在(0,1)上为增函数，在『1,|)上为减函数，

二当时，()-=

X=1/Xmax=74747Z

23.解：(1)设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意设丁=丘+万(原0),当％=4时，

y=16,当x=7时，y=10,得到16=4左10=7左+b,解得％=—2,b=24,.9.y=—2x

+24.

'x>0,

依题意有XGN,

y=-7.x+24>0.

解得定义域为{xCN|0W店12}.

(2)设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数最

多，设每天拖挂S节车厢，则5=孙=苫(—2x+24)=—2x2+24x=—2(x~6)2+72,xW

『0,12』且尤dN.所以当尤=6时，Smax=72,此时y=12,则每日最多运营人数为110x72

=7920.

故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7920.

24.『『答案』』B

『『解析』』容器下端较窄，上端较宽，当均匀地注入水时，刚开始的一段时间高度变化较

大，随着时间的推移，高度的变化速度开始减小，四个图象中只有B项符合特点.

25.『『答案』』B

『『解析』』由题意可知在。点到3点这段时间，每小时蓄水量为2,即2个进水口同时进

水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1,所以应该是有一个进水口

进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保

持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错.

26.『『答案』』C

『『解析』』根据图象可知在『0,1』上面积增长的速度变慢，在图形上反映出切线的斜率

在变小；

在「1,21上面积增长速