2025届北京市人民大学附属中学数学高一下期末统考模拟试题含解析

2025届北京市人民大学附属中学数学高一下期末统考模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会.方法：Ⅰ.随机抽样法Ⅱ.系统抽样法Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能配对的是()A．①Ⅰ，②Ⅱ B．①Ⅲ，②Ⅰ C．①Ⅱ，②Ⅲ D．①Ⅲ，②Ⅱ2．已知组数据，，…，的平均数为2,方差为5,则数据2+1，2+1，…，2+1的平均数与方差分别为()A．=4,=10 B．=5,=11C．=5,=20 D．=5,=213．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．函数的图象可能是（）.A． B． C． D．5．若直线：与直线：平行，则的值为()A．-1 B．0 C．1 D．-1或16．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里（）A．3 B．4 C．5 D．68．已知，则的值域为A． B． C． D．9．函数是（）A．奇函数 B．非奇非偶函数 C．偶函数 D．既是奇函数又是偶函数10．如右图所示的直观图，其表示的平面图形是（A）正三角形（B）锐角三角形（C）钝角三角形（D）直角三角形二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知等边，为中点，若点是所在平面上一点，且满足，则__________.12．已知数列的前n项和，则数列的通项公式是______.13．已知，则的最大值是____．14．函数的定义域为_______．15．在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________.16．已知，，若，则实数的值为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量，.求：（1）；（2）与的夹角的余弦值；（3）求的值使与为平行向量.18．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.(1)求证：是锐角三角形；(2)若，求的面积.19．随着中国经济的加速腾飞，现在手有余钱的中国家庭数量越来越多，在房价居高不下､股市动荡不定的形势下，为了让自己的财富不缩水，很多家庭选择了投资理财.为了了解居民购买理财产品的情况，理财公司抽样调查了该市2018年10户家庭的年收入和年购买理财产品支出的情况，统计资料如下表:年收入x(万元)204040606060707080100年理财产品支出y(万元)9141620211918212223（1）由该样本的散点图可知y与x具有线性相关关系，请求出回归方程；（求时利用的准确值，，的最终结果精确到0.01）（2）若某家庭年收入为120万元，预测某年购买理财产品的支出.（参考数据:，，，）20．本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列满足.（1）若，求的取值范围；（2）若是公比为等比数列，，求的取值范围；（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.21．已知圆的圆心在轴上，且经过点，．（Ⅰ）求线段AB的垂直平分线方程；（Ⅱ）求圆的标准方程；（Ⅲ）过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】解：（1）中由于小区中各个家庭收入水平之间存在明显差别故（1）要采用分层抽样的方法（2）中由于总体数目不多，而样本容量不大故（2）要采用简单随机抽样故问题和方法配对正确的是：（1）Ⅲ（2）Ⅰ．故选B．2、C【解析】

根据题意，利用数据的平均数和方差的性质分析可得答案．【详解】根据题意，数据，，，的平均数为2，方差为5，则数据，，，的平均数，其方差；故选．【点睛】本题考查数据的平均数、方差的计算，关键是掌握数据的平均数、方差的计算公式，属于基础题．3、D【解析】

对于A，利用线面平行的判定可得A正确.对于B，利用线面垂直的性质可得B正确.对于C，利用面面垂直的判定可得C正确.根据平面与平面的位置关系即可判断D不正确.【详解】对于A，根据平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线平行于这个平面，可判定A正确.对于B，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，判定B正确.对于C，根据一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，可判定C正确.对于D，若，则或相交，所以D不正确.故选：D【点睛】本题主要考查了线面平行和面面垂直的判定，同时考查了线面垂直的性质，属于中档题.4、D【解析】

首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊区间时，判断选项.【详解】是偶函数，是奇函数，是奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A,B，当时，，，排除C.故选D.【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图象，一般从函数的定义域确定函数的位置，从函数的值域确定图象的上下位置，也可判断函数的奇偶性，排除图象，或是根据函数的单调性，特征值，以及函数值的正负，是否有极值点等函数性质判断选项.5、C【解析】

两直线平行表示两直线斜率相等，写出斜率即可算出答案．【详解】显然，，．所以，解得，又时两直线重合，所以．故选C【点睛】此题考查直线平行表示直线斜率相等，属于简单题．6、C【解析】

根据复合函数单调性，结合对数型函数的定义域列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】由于的底数为，而函数在上是减函数，根据复合函数单调性同增异减可知，结合对数型函数的定义域得，解得.故选：C【点睛】本小题主要考查根据对数型复合函数单调性求参数的取值范围，属于基础题.7、B【解析】

由题意知，本题考查等比数列问题，此人每天的步数构成公比为的等比数列，由求和公式可得首项，进而求得答案．【详解】设第一天的步数为，依题意知此人每天的步数构成公比为的等比数列，所以，解得，由，，解得,故选B．【点睛】本题主要考查学生的数学抽象和数学建模能力．8、C【解析】

利用求函数的周期为，计算即可得到函数的值域.【详解】因为，，，因为函数的周期，所以函数的值域为，故选C.【点睛】本题考查函数的周期运算，及利用函数的周期性求函数的值域.9、C【解析】

利用诱导公式将函数的解析式化简，然后利用定义判断出函数的奇偶性.【详解】由诱导公式得，该函数的定义域为，关于原点对称，且，因此，函数为偶函数，故选C.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，解题时要将函数解析式进行简化，然后利用奇偶性的定义进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.10、D【解析】略二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、0【解析】

利用向量加、减法的几何意义可得，再利用向量数量积的定义即可求解.【详解】根据向量减法的几何意义可得：,即,所以.故答案为：0【点睛】本题考查了向量的加、减法的几何意义以及向量的数量积，属于基础题.12、【解析】

时,,利用时,可得,最后验证是否满足上式,不满足时候,要写成分段函数的形式.【详解】当时,,当时,=,又时,不适合,所以.【点睛】本题考查了由求,注意使用求时的条件是,所以求出后还要验证适不适合,如果适合,要将两种情况合成一种情况作答,如果不适合,要用分段函数的形式作答.属于中档题.13、4【解析】

利用对数的运算法则以及二次函数的最值化简求解即可．【详解】，，，则．当且仅当时，函数取得最大值．【点睛】本题主要考查了对数的运算法则应用以及利用二次函数的配方法求最值．14、【解析】

由二次根式有意义，得：,然后利用指数函数的单调性即可得到结果.【详解】由二次根式有意义，得：，即，因为在R上是增函数，所以，x≤2，即定义域为：【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及指数不等式的解法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．15、【解析】

假设正方体棱长，根据//，得到异面直线与所成角，计算，可得结果.【详解】假设正方体棱长为1，因为//，所以异面直线与所成角即与所成角则角为如图，所以故答案为：【点睛】本题考查异面直线所成的角，属基础题.16、【解析】

利用共线向量等价条件列等式求出实数的值.【详解】，，且，，因此，，故答案为.【点睛】本题考查利用共线向量来求参数，解题时要充分利用共线向量坐标表示列等式求解，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）5（2）（3）【解析】

(1)利用向量坐标运算法则,先求出向量的坐标,再求模;(2)利用两个向量的数量积的定义和公式,则可求出与的夹角的余弦值;(3)利用两个向量共线的性质,求出的值.【详解】(1)向量,,,;(2)设与的夹角为,∵,,,所以,即与的夹角的余弦值为;(3)由题可得:,∵与为平行向量,∴,解得,即满足使与为平行向量.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,涉及向量的模,数量积,共线等相关知识,属于基础题.18、（1）证明见解析（2）【解析】

(1)由正弦定理、余弦定理得，则角C最大，由余弦定理可得答案.

（2）由平面向量数量积的运算及三角形的面积公式结合（1）可得，利用面积公式可求解.【详解】【详解】

(1)由，根据正弦定理得，又，所以即，所以，因此边最大，即角最大.设则即,所以是锐角三角形.（2）由（1）和，即可得解得.所以在中，且所以的面积为.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，数量积的定义的应用和求三角形面积.19、（1），（2）万元【解析】

（1）由题意计算，求出回归系数，写出线性回归方程；（2）利用回归方程计算时的值即可．【详解】（1）由题意，又，所以所以所以线性回归方程为；（2）由（1）知，当时，预测某家庭年收入为120万元时，某年购买理财产品的支出为万元．【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．20、（1）；（2）；（3）的最大值为1999，此时公差为.【解析】

（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…ak的公差．【详解】（1）依题意：，∴；又∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6（2）由已知得，，，∴，当q＝1时，Sn＝n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立．当1＜q≤3时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴不等式∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0恒成立，而对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n＝1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，∴qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，∴1＜q≤2，当时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0∴时，不等式恒成立，∴q的取值范围为：．（3）设a1，a2，…ak的公差为d．由，且a1＝1，得即当n＝1时，d≤2；当n＝2，3，…，k﹣1时，由，得d，所以d，所以1000＝k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值为1999，k＝1999时，a1，a2，…ak的公差为．【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题．21、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.【解析】

（Ⅰ）利用垂直平分关系得到斜率及中点，从而得到结果；（Ⅱ）设圆的标准方程为，结合第一问可得结果；（Ⅲ）由题意可知：圆心到直线的距离为1，分类讨论可得结果.【详解】解：（Ⅰ）设的中点为，则．由圆的性质，得，所以，得.所以线段的垂直平分线的方程是.(II)设圆的标准方程为，其中，半径为（）.由圆的