教案材料数学

一、教学目标：

1．知识与技能

了解二次函数转化为一元二次方程的背景和转化的条件，能初步用函数值的观点看方程，掌握利用二次函数求一元二次方程的近似解的方法。

理解二次函数和一元二次方程、不等式的联系和相互转化，掌握转化的条件和方法，初步了解函数与方程的思想与方法。

2．过程与方法

经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．

3．情感态度价值观

通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．

二、重点和难点

1．了解二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程根和抛物线与轴交点的关系，

2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

3．二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。

三、教学建议（建议5课时）

1．注意恰当设置问题情景，让学生感受二次函数的与方程的实际意义，引导学生自主探索得出二次函数与一元二次方程之间的区别与联系。

2．注重数形结合思想、转化思想的启蒙以及学生综合能力的培养；

【本讲教育信息】一.教学内容：用函数观点看一元二次方程

二.重点、难点：1.重点：

二次函数（）与一元二次方程（）之间的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根。2.难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。

三.具体内容：1.如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此就是方程的一根。2.二次函数（）图像与x轴的关系有3种：（1）没有公共点：此时一元二次方程没有实根，即；（2）有一个公共点：此时一元二次方程有两个相等的实根，即；（3）有二个公共点：此时一元二次方程有两个不相等的实根，即3.利用二次函数的图像求一元二次方程的根一般是近似的。

【典型例题】[例1]已知函数，利用函数图像求出的根。（精确到0.1）解：做出的图像，如图，它与x轴的公共点的横坐标大约为，∴方程的实数根为

[例2]在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分（如图所示）。如果这个男同学的出手处A点的坐标为（0，2），铅球路线的最高处B点坐标为（6，5）（1）求这个二次函数的解析式；（2）该同学把铅球推出去多远？（精确到0.01米，）解：（1）设所求函数的解析式为∵A在抛物线上

∴

∴∴（2）抛物线与x轴正半轴的交点C即为铅球落地点此时y=0且x>0，即解得（米）

（不合题意，舍去）∴该同学把铅球推出去约13.75米。

[例3]已知抛物线（m为常数）（1）求证：此抛物线与x轴一定有交点；（2）是否存在正数m，使已知抛物线与x轴两交点的距离等于？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。解：（1）∵

∴

∴抛物线与x轴一定有交点。（2）假设存在正数m，使已知抛物线与x轴两交点距离为设抛物线与x轴两交点的横坐标为解方程：得∴（∵）∴

∴

解得经检验都适合方程（*）但

∴∴存在正数，使抛物线与x轴两个交点的距离等于

[例4]已知，做出函数的草图，观察图像，当x为何值时，，当为何值时y=0，当x为何值时y<0。解：∴图像开口向上，对称轴是直线，顶点为令得与y轴点为（0，1）解方程得，∴图像与x轴交点为与∴草图如图由图可知：当或时，当或时，当时，

[例5]已知实数，抛物线与在x轴上有相同的交点A。（1）求点A的坐标，（2）求p+q的值；（3）设m，n为正整数，并且关于x的一元二次方程有实数根p，q，求m，n的值。解：（1）设点A的坐标为（），由题意得由（1）－（2）得

∴∵

∴

∴

∴点A（）（2）（3）∵p，q是方程的根，且∴把代入

∴由（1）得

∴∵为正整数

∴

∴m值为8，n的值为1，2，3

[例6]已知抛物线截直线所得的线段长为3，并且此抛物线顶点在抛物线上，求抛物线的解析式。解：抛物线的对称轴为直线，它截直线所得的线段长为3，则把它向下平移5个单位所得的抛物线截x轴的线段长也为3，所以与x轴两个交点分别为，故可设抛物线的解析式为：化顶点式为：∵原抛物线顶点在抛物线上∴的顶点在抛物线上∴∴

∴的解析式为∴或由此得原抛物线解析式为或

【模拟试题】一.填空题

1.若二次函数的图像与x轴没有公共点，且c为整数，则c的最小值为

。2.已知二次函数的部分图像（如图所示），顶点为，由图像可知关于x的一元二次方程的两个根为和

。3.若关于x的方程没有实数根，当时，抛物线的顶点位置在x轴的

；当时，抛物线的顶点位置在x轴的

。4.已知m、n是方程的两个实数根，抛物线的图像过和两点，则b=

，c

。5.如图所示，A、B、C是二次函数的图像上的三个点，则

0，c

0，

0（填“>”、“<”或“=”）。6.如图所示，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且OB=OC，则这个二次函数的解析式为

，点A的坐标为

。

二.解答题

7.已知函数（1）画出函数图像；（2）利用图像回答方程的解是多少？x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？8.已知抛物线。（1）求证：此抛物线与x轴必有两个公共点；（2）若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值。26.2用函数观点看一元二次方程教学任务分析教学目标知识技能了解一元二次方程的根的几何意义，掌握用二次函数图象求解一元二次方程的根．数学思考建立一元二次方程与二次函数的关系，通过图象，体会数与形的完美结合．解决问题1．通过实际问题，体会一元二次方程解的实际意义，发展数学思维．2．求解过程中，学会合作、交流.情感态度1．通过对小球飞行问题的分析，感受数学的应用，激发学生学习热情．2．在求解过程中，体会解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神．重点利用二次函数图象解一元二次方程难点将方程转化为二次函数教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1问题引入活动2方程与函数活动3巩固、应用活动4小结、布置作业通过对小球飞行问题的求解，激发学生对一元二次方程根的探索兴趣．观察、分析二次函数的图象，判断一元二次方程根的情况，发展学生分析问题的能力．通过例题巩固用函数图象判断方程根的情况，激发探索精神．回顾、反思、交流．布置课后作业，巩固、发展提高．教学过程设计问题与情境师生行为[活动1]问题：如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系：球的飞行高度能否达到15m?若能,需要多少时间?（2）球的飞行高度能否达到20m出示问题，学生分析理解．注意学生对高度、时间的理解．分析：h是t的二次函数；当h取具体值时，得到关于t的一元二次方程；如何求解一元二次方程的根呢？（4）如何理解一元二次方程与二次函数的关系？（3）球的飞行高度能否达到20.5m（4）球从飞出到落地要用多少时间?y图26.2－1yxyxy图26.2－1－1[活动2]问题：下列二次函数的图象与x轴有没有公共点？若有,求出公共点的横坐标；当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？参见教材图26.2－2．在本次活动中，教师应关注：（1）学生对问题从函数到方程的转换；（2）学生对根的理解；（3）方程的解与函数中自变量的关系．解方程：略．在本次活动中，教师应关注：（1）一元二次方程的解法；（2）函数图象的应用；（3）方程与函数的联系．教师展示问题，学生讨论合作完成：分析：如何作出函数的图象；利用图象确定函数的值；由函数图象，能得出相应的一元二次方程的根吗？图象法求解：（1）函数图象与x轴的公共点的横坐标是－2，1，此时的函数值是0；（2）函数图象与x轴的公共点的横坐标是3，此时的函数值为0；（3）函数图象与x轴没有公共点．（注：此题的上述解法也可以脱离图象，理解为代数法求解．）教师提出问题，学生在独立思考完成．[活动3]例：利用函数图象求方程的实数根（精确到0.1）xxy1O图26.2－3练习：校运会上，某运动员掷铅球，铅球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为，则此运动员的成绩是多少？解：作的图象（如下图），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7，2.7，所以方程的实数根为．在本次活动中，教师应关注：（1）与方程对应的二次函数；（2）由图象求得的根，因为存在误差，一般是近似的；（3）学生对二次函数图象的应用．分析：（1）在投掷的过程中，铅球的初始高度是多少？（2）如何建立直角坐标系？（3）如何计算成绩？本次活动中，教师应关注：（1）直角坐标系的建立；（2）计算成绩.[活动4]小结作业：师生共同总结：（1）利用二次函数的图象求一元二次方程的根．（数形结合）（2）由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般都是近似的．课后习题.26.2用函数观点看一元二次方程教学目标知识与技能1．总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．情感态度价值观通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．教学重点和难点重点:方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。难点:二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。教学过程设计（一）问题的提出与解决问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t—5t2。考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2。所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。解：（1）解方程15＝20t—5t2。t2—4t＋3=0。t1＝1,t2＝3。当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。（2）解方程20＝20t－5t2。t2－4t＋4＝0。t1＝t2＝2。当球飞行2s时，它的高度为20m。（3）解方程20.5＝20t－5t2。t2－4t＋4.1＝0。因为（－4）2－4×4.1<0。所以方程无解。球的飞行高度达不到20.5m。（4）解方程0＝20t－5t2。t2－4t＝0。t1＝0,t2＝4。当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出。4s时球落回地面。播放课件：函数的图像，画出二次函数h=20t－5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案。从上面可以看出。二次函数与一元二次方程关系密切。由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3。求自变量x的值。可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0）。反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4＋3的值为0，求自变量x的值。一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0。（二）问题的讨论二次函数（1）y＝x2＋x－2；（2）y＝x2－6x＋9；（3）y＝x2－x＋0。的图象如图26.2－2所示。（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题。可播放课件：函数的图像，输入a,b,c的值，划出对应的函数的图像，观察图像，说出函数对应方程的解。可以看出：（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1。当x取公共点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1。（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3。当x＝3时，函数的值是0。由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3。（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根。总结：一般地，如果二次函数y=的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程=0的根。（三）归纳一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根。（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。（四）例题例利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）。解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），它与x轴的公共点的横坐标