天津市双水道中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（含答案与解析）

绝密★启用前

2022~2023学年度上期期末教学质量检测试卷

九年级数学

（时间：120分钟满分：120分）

注意事项:

1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答。

2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项。

3.考试结束，由监考人员将试卷和答题卡一并收回。

一、选择题（每小题3分，共36分）

I.下面给出的事件中，一定是必然事件的是（）

A.太阳每天从西方升起

B.射击运动员射击一次，中9环

C.汽车累积行驶10000km,从未出现故障

D.随意翻开一本书的正文部分，这页的页码不是奇数就是偶数

2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

D.

3.OO的直径为10cm,点A到圆心O的距离OA=6cm,则点A与。O的位置关系为（）

A.点A在圆上B.点A在圆外C.点A在圆内D.无法确定

4.在半径为3的圆中，150。的圆心角所对的弧长是（）

151555

A.—万B.——兀C.一万D.一万

442

5.据某市交通部门统计，2018年底全市汽车拥有量为150万辆，而到2020年底，全市的汽车拥有量已达

216万辆，求2018年底至2020年底该市汽车拥有量的年平均增长率，若设2018年底至2020年底该市汽

车拥有量的年平均增长率为x,则可列方程为（）

A.150(1+2x)=216B.150x2(l+x)=216

C.150(l+x)2=216D.150+150x2x=216

6.如图，M是CD的中点，EMLCD,若CZ）=4,EM=6,则弧CEO所在圆的半径为（）

7.下列命题错误的是（）

A.圆是轴对称图形B,各边相等的圆内接多边形是正多边形

C.三角形的内心到它三边的距离相等D.各角相等的圆内接多边形是正多边形

8.若下用+6户1=0是关于x的一元二次方程，则小的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

9.已知一个直角三角形两直角边之和为20am则这个直角三角形的最大面积为（）

A.25cm2B.50c/n2C.lOOc/n2D.不确定

10.如图，五边形MCDE是。。的内接正五边形，”是OO的直径，则加尔的度数是（）

A.18°B.36°C.54°D.72°

11.如图，将448c绕点A逆时针旋转100°得△AB'C',若点8'在线段8C的延长线上，则NBB'C的

度数为（）

A.80°B.70°C.60°D.1（X）0

12.二次函数y=ar2+fer+c（a,h,c为常数，且。。0）中的x与y的部分对应值如表所示，下列结

论，其中正确的个数为（）

X013

y353

①ac<0；②当x>l时，y的值随x值的增大而减小.③当一1<%<3时，ar2+（Z?-l）x+c>0；④对

于任意实数机，4制am+b）-6匕<9a总成立.

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（每小题3分，共18分）

13.若关于x的一元二次方程/+以-4+3=0有两个不相等的实数根，则左的取值范围是.

14不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取

出1个球，则它是红球的概率是.

15.已知圆锥的底面半径是3cm,母线长为6cm,侧面积为—cm2.（结果保留万）

16.如图，AABC是等腰直角三角形，8c是斜边，P为AABC内一点，将AABP绕点A逆时针旋转后

与△ACP重合，如果AP=3,那么线段PP的长等于

17.如图，Z^ABC的内切圆00与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9cm,BC=14cm,

CA=13cm,则AF的长为

18.如图，等边三角形ABC的边长为4,OC的半径为⑺，尸为AB边上一动点，过点尸作OC的切线

PQ,切点为Q,则PQ的最小值为

Q

三、解答题(66分)

19.解方程：

⑴x2+x-6=0

(2)3x(2x+l)=4x+2

20.一个盒中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4,随机摸取一个小球然后放回，再随

机摸出一个小球.

(I)请用列表法(或画树状图法)列出所有可能的结果;

(II)求两次取出的小球标号相同的概率;

(III)求两次取出的小球标号的和大于6的概率.

21.已知4B是。。的直径，AP是。。的切线，A是切点，8P与。O交于点C.

(1)如图①，若AB=2,ZP=30°,求AP长(结果保留根号);

(2)如图②，若D为AP中点，求证：直线CC是。。的切线.

图①

22.已知为的直径，AB=6,C为。。上一点，连接

图②

(1)如图①，若C为的中点，求NCA3的大小和AC的长；

(2)如图②，若AC=2,。。为OO的半径，且OD_LCB,垂足为E,过点。作的切线，与AC

的延长线相交于点F,求FD的长.

23.如图，中，？B90?,A8=12m，BC=24m,动点P从点A开始沿边A8向点B以

2m/s的速度移动，动点。从点B开始沿边8C向点C以4mzs的速度移动.已知P,。分别从A、B两点

同时出发，求当出发时间f为何值时，四边形APQC的面积最小，并求出这个最小值.

24.在平面直角坐标系中，。为原点，点4（4,0）,点3（0,3）,把4480绕点8逆时针旋转得到

△A'BO',点A、。旋转后的对应点为A'、O',记旋转角为a.

（1）如图①，若a=90。，求A4'的长;

（2）如图②，若a=60°,求点O'的坐标；

（3）如图③，P为AB上一点，且B4:PB=2:1,连接PO'、PA'，在AABO绕点B逆时针旋转一周

过程中，求APO/的面积的最大值和最小值（直接写出结果可）.

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=G?+法一6（“。0）与X轴交于点A,B,与y轴交于点C,连

接AC,08=2,对称轴为直线x=—2（提示：点（々，匕）与（4，％）之间的距离为

（1）求抛物线的解析式；

（2）点。是第三象限内抛物线上的动点，连接和CO,求AACD面积的最大值；

（3）点E在抛物线的对称轴上，若AACE为直角三角形，请直接写出点E的纵坐标.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共36分）

1.下面给出的事件中，一定是必然事件的是（）

A.太阳每天从西方升起

B.射击运动员射击一次，中9环

C.汽车累积行驶10000km,从未出现故障

D.随意翻开一本书的正文部分，这页的页码不是奇数就是偶数

【答案】D

【解析】

【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事

件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可.

【详解】A.太阳每天从西方升起是不可能事件，故不符合题意；

B.射击运动员射击一次，中9环是随机事件，故不符合题意；

C.汽车累积行驶10000km,从未出现故障是随机事件，故不符合题意；

D.随意翻开一本书的正文部分，这页的页码不是奇数就是偶数是必然事件，符合题意.

故选D.

【点睛】本题考查的是事件的分类，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然

事件和不可能事件.

2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转18（）。，如果旋转后的图形与另一个

图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线

两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；

B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则此项符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；

故选:B.

【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键.

3.。0的直径为10cm,点A到圆心O的距离0A=6cm,则点A与。O的位置关系为（）

A.点A在圆上B.点A在圆外C.点A在圆内D.无法确定

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意得。。的半径为5cm,则点A到圆心。的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系

可判断点A在。。外.

【详解】解：；。。的直径为10cm,

的半径为5cm,

而点A到圆心O的距离OA=6cm>5cm,

.•.点A在。O外.

故选B.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设。O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有点P在圆外，

则d>r；点P在圆上，则<1=1'；点P在圆内，则d<r.

4.在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（）

151555

A.——71B.—71C.一万D.一万

4242

【答案】D

【解析】

.'辽皿­"，，八",mtr150x^-x35

【详解】解：根据弧长公式：/=——=---------=二万.

1801802

故选D.

【点睛】本题考查弧长的计算.

5.据某市交通部门统计，2018年底全市汽车拥有量为150万辆，而到2020年底，全市的汽车拥有量已达

216万辆，求2018年底至2020年底该市汽车拥有量的年平均增长率，若设2018年底至2020年底该市汽

车拥有量的年平均增长率为尤，则可列方程为()

A.150(1+2x)=216B.150x2(l+x)=216

C.150(l+x)2=216D.150+150x2x=216

【答案】C

【解析】

【分析】根据，2018年底全市汽车拥有量为150万辆，而到2020年底，全市的汽车拥有量已达216万

辆，列出对应的一元二次方程即可.

【详解】解：：2018年底全市汽车拥有量为150万辆，而到2020年底，全市的汽车拥有量已达216万

辆，

/.可列方程为150(1+X)2=216,

故选C.

【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键在于能够正确理解题意.

6.如图，M是CO的中点，EMA.CD,若CD=4,EM=6,则弧CEO所在圆的半径为()

A.—B.4C.5D.—

36

【答案】A

【解析】

【分析】连接。C，设CED所在圆的半径为R，则OC=R，OM=6-R,根据垂径定理求出CM=2,

再在R3OMC中，根据勾股定理得出方程，求出即可.

【详解】解：如图，连接0C，

设CEO所在圆的半径为R，则OC=R，OM=6-R,

•.•EM经过圆心。，EMLCD于8=4,

:.CM=DM=-CD=2,

2

在Rt^OMC中，由勾股定理得：0。2=0用2+0例2,

即R2=（6-/?）2+22,

解得：/?=—,

3

所在圆的半径为日，

故选：A.

【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键.

7.下列命题错误的是（）

A.圆是轴对称图形B.各边相等的圆内接多边形是正多边形

C.三角形的内心到它三边的距离相等D.各角相等的圆内接多边形是正多边形

【答案】D

【解析】

【分析】根据轴对称图形的概念、三角形的内心的性质、圆内接正多边形的概念判断即可.

【详解】A.圆是轴对称图形，本选项说法是正确，不符合题意；

B.各边相等圆内接多边形是正多边形，本选项正确，不符合题意；

C.三角形的内心到它三边的距离相等，本选项正确，不符合题意；

D.各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，故本选项说法是错误，符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查是真假命题的判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题真假的

关键是熟悉课本中的概念、性质、定理等基础知识.

8.若非+1+6彳+1=0是关于x的一元二次方程，则机的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】利用一元二次方程的定义，可得出m+1=2,解之即可得出〃?的值.

【详解】解：••3+i+6x+l=0是关于x的一元二次方程，

/./n+l=2,

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方

程叫一元二次方程''是解题的关犍.

9.已知一个直角三角形两直角边之和为20cm,则这个直角三角形的最大面积为（）

A.25cm2B.50cm2C.IOOCWI2D.不确定

【答案】B

【解析】

【分析】设一条直角边为x,则另一条为（20-x）,则根据三角形面积公式即可得到面积S和x之间的解析

式，求最值即可.

【详解】解：设一条直角边为无，则另一条为（20-x）,

（20-%）=-1（x-10）2+50,

V-1<0,

，即当x=10时，X10X10=50cw2.

故选8.

【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是

公式法，常用的是后两种方法，当二次系数。的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如），-

2x+5,y=3x2-6x+l等用配方法求解比较简单.

10.如图，五边形是。。的内接正五边形，■是。0的直径，则N8ZW的度数是（）

A

F

A.18°B.36°C.54°D.72°

【答案】C

【解析】

【分析】根据正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论.

【详解】解：••,五边形ABCOE是。。的内接正五边形，

冶C=DE，AC=AD，/BAE—108°,

又・.・AF是。。的直径，

••CF=DF，

•*-BF=EF

:.ZBAF=-ZBAE=54°,

2

ZBDF=ABAF=54°,

故选：C.

【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考

常考题型.

11.如图，将44BC绕点A逆时针旋转100°得八48'。'，若点6'在线段3c的延长线上，则NBB'C的

度数为（）

C"

B

A.80°B.70°C.60°D.1(X)0

【答案】A

【解析】

【分析】根据旋转性质得到NB钻'=100°,ZB^ZAB'C',AB=AB'，再根据等腰三角形性质及内角

和定理可得NB=ZAB'B=(180°—100。)+2=40。，即可得到答案.

详解】解：

V44BC绕点A逆时针旋转100°得△AB'C',

AZBAB'=100°,ZB^ZAB'C,AB=AB'，

：.ZB=ZAB'B=(180°-100°)-2=40°,

/.ABB'C'=ZAB'B+ZAB'C'=40°+40°=80°,

故选A.

【点睛】本题考查旋转的性质及等腰三角形性质及三角形内角和定理，解题的关键是得到

/R=ZAB'C,NB=NAB'B=(180°-100°)+2=40°,.

12.二次函数y=ax2+Z?x+cCa,b,c为常数，且中的x与y的部分对应值如表所示，下列结

论，其中正确的个数为()

X-i013

y-i353

①ac<0；②当x>l时，y的值随x值的增大而减小.③当一l<x<3时，ax2+(/?-l)x+c>0；④对

于任意实数相，4〃?(a，〃+b)—6b<9a总成立.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】根据表格中的数据，结合二次函数的图象与性质，对选项逐个判断即可.

【详解】解：由表中的数据可得，当x=0时，y=3,即c=3>()

3

当x=0,%=3时，>=3,可得对称轴为％=—,

2

33

由表中的数据可得，当光<二时，y随X的增大而增大，当X>二时，y随X的增大而减小，②错误，

22

可得开口向下，a<0,

ac<0,①正确；

由ax2+(/?—l)x+c>。可得or?+bx+c>x>

由表格中的数据可得，当户—1和x=3时，ax2+bx+c=x

当x=l时，ax2+hx+c=5>1=x，

可得，当一lvx<3时，O¥2+(Z?-1)X+C>0,③正确，

(3丫3

由4向加2+/?)—6〃<9。可得机372+。)<。-+-h

、2J2

(3丫3

^am2+bm+c<a\—+—b+c>

⑴2

3

Va<0,开口向下，对称轴为尤=—

2

,对于任意实数机，都有a???+-|/?+c

④错误，

综上，正确的个数为2,

故选B

【点睛】此题考察了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，通过表格中

的数据，确定二次函数的性质.

二、填空题(每小题3分，共18分)

13.若关于x的一元二次方程N+2x-Z+3=0有两个不相等的实数根，则我的取值范围是.

【答案】k>2

【解析】

【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行解答即可.

【详解】解：I•一元二次方程N+2x-k+3=0有两个不相等的实数根，

.'.J=Z?2-4ac>0,

即22-4xlx(-k+3)>0,

解得：k>2.

故答案为：k>2.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键.

14.不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取

出1个球，则它是红球的概率是.

3

【答案】-

7

【解析】

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数：②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发

生的概率.

【详解】解：•••袋子中共有7个球，其中红球有3个,

3

从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是士，

7

故答案为士3.

7

【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现

机种结果，那么事件A的概率P(A)--.

n

15.已知圆锥的底面半径是3cm,母线长为6cm，侧面积为一cm?.(结果保留力)

【答案】18万

【解析】

【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可.

【详解】解：底面圆的半径为3cm,则底面周长=2兀x3=6底m,

侧面面积=,x6乃x6=187(cm2).

2

故答案为：18万.

【点睛】本题考查了圆锥的侧面积计算问题，注意：圆锥的侧面积=底面周长x母线长+2.

16.如图，AABC是等腰直角三角形，是斜边，尸为内一点，将AABP绕点A逆时针旋转后

与△ACP重合，如果AP=3,那么线段产户的长等于.

【答案】3也

【解析】

【分析】根据旋转的性质可知：旋转角度是90。，根据旋转的性质得出AP=AP=3,即APA户是等腰直

角三角形，用勾股定理求出斜边PP的长即可.

【详解】解：•・•△A3P绕点A逆时针旋转后与△ACP重合，

:.^ABP^ACP'.

即线段A8旋转后到AC,

.•.旋转角为90°,

:.APAP,^ABAC^9Q°,AP=AP=3,

：.PP'=3y/2，

故答案：3>/2•

【点睛】本题考查旋转的性质和直角三角形的性质.关键是找出旋转角：每一对对应点与旋转中心连线所

构成的角；及旋转性质：旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相等.

17.如图，AABC的内切圆OO与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9cm,BC=14cm,

CA=13cm,则AF的长为_____.

BL―卡----

【答案】4cm

【解析】

【分析】设AF=acm,根据切线长定理得出AF=AE,CE=CD,BF=BD,求出BD=BF=(9-a)cm,CD=CE=

(13-a)cm,根据CD+BD=BC,代入求出a即可.

【详解】设AF=acm,

「△ABC的内切圆。0与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,

，AF=AE,CE=CD,BF=BD,

AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,

BD=BF=(9-a)cm,CD=CE=(13-a)cm,

：BD+CD=BC=14cm,

(9-a)+(13-a)=14,

解得：a=4,

即AF=4cm.

故答案为4cm.

【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，关键是推出AF=AE,CE=CD,BF=BD,用了

方程思想.

18.如图，等边三角形ABC的边长为4,0C的半径为G，尸为AB边上一动点，过点尸作OC的切线

PQ,切点为。，则尸Q的最小值为.

p

Q

B，------------]

【答案】3

【解析】

【分析】连接0C和PC,利用切线的性质得到CQLP。，可得当CP最小时，尸。最小，此时CAB,再

求出CP,利用勾股定理求出PQ即可.

【详解】解：连接QC和PC,

和圆C相切，

：.CQLPQ,即△CPQ始终为直角三角形，C。为定值，

...当CP最小时，PQ最小，

•/ZVIBC是等边三角形，

.,.当CPJ_A8时，CP最小，此时CP_LAB,

：AB=BC=AC=4,

：.AP=BP=2,

:.CPZAcjP?=2百,

•..圆C的半径CQ=G，

：.PQ=ylCp2_CC=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握辅助线的

作法，注意得到当PC,48时，线段P。最短是关键.

三、解答题（66分）

19.解方程：

（1）X2+x-6=0

（2）3x（2x+l）=4x+2

【答案】（1）%=-3,42二2；

21

（2）x,=­,x,=—.

3-2

【解析】

【分析】（1）利用因式分解法求解即可：

（2）移项，利用因式分解法求解即可.

【小问1详解】

解：x2+x-6=0

则（x+3）（x-2）=0

解得飞

=-3,X2=2

【小问2详解】

解：3x（2x+l）=4x+2

3x（2x+l）-2（2x+l）=0,

即（3x-2）（2x+l）=0,

21

解得X=q，x2=——.

【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法.

20.一个盒中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4,随机摸取一个小球然后放回，再随

机摸出一个小球.

（I）请用列表法（或画树状图法）列出所有可能的结果；

（II）求两次取出的小球标号相同的概率；

（III）求两次取出的小球标号的和大于6的概率.

【答案】（I）画树状图见解析；（II）两次取出的小球标号相同的概率为1;（HI）两次取出的小球标号的

4

3

和大于6的概率为7.

16

【解析】

【分析】（I）根据题意可画出树状图，由树状图即可求得所有可能的结果.

（H）根据树状图，即可求得两次取出的小球标号相同的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案.

（III）根据树状图，即可求得两次取出的小球标号的和大于6的情况，然后利用概率公式求解即可求得答

案.

【详解】解：（I）画树状图得:

1234123412341234

（II）1•共有16种等可能的结果，两次取出的小球的标号相同的有4种情况，

41

，两次取出的小球标号相同的概率为—=-；

164

（III）I♦共有16种等可能的结果，两次取出的小球标号的和大于6的有3种结果，

3

.•.两次取出的小球标号的和大于6的概率为.

716T

【点睛】此题考查列表法与树状图法求概率的知识.此题难度不大，解题的关键是注意列表法与树状图法

可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上

完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.

21.已知AB是。。的直径，AP是。0的切线，A是切点，BP与。0交于点C.

（1）如图①，若AB=2,/尸=30。，求AP的长（结果保留根号）；

（2）如图②，若。为AP的中点，求证：直线CD是。。的切线.

【答案】（1）2y/3;（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）易证再通过解直角三角形求解；

（2）本题连接0C,证出OCLCD即可.首先连接4C,得出直角三角形4CP,根据直角三角形斜边上中

线等于斜边一半得CQ=AQ,再利用等腰三角形性质可证NOCQ=NOAQ=90。，从而解决问题.

【详解】解：（1）••SB是。。的直径，4P是切线，

ZBAP=90°.

在RMB48中，AB=2,ZP=30°,

：.BP=2AB=2x2=4.

由勾股定理，得AP=dB产—AB?=J42-22=2g.

（2）如图，连接OC、AC.

B

TAB是。。的直径，

JZBCA=90°,

・・・ZACP=180°-ZBCA=90°,

在RtZkAPC中，。为AP的中点，

CD=-AP=AD,

2

/4=/3,

,/OC=OA,

，N1=N2,

VZ2+Z4=ZB4B=90°,

.".Zl+Z3=Z2+Z4=90°,

即OC1.CD,

...直线CO是。。的切线.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质及解直角三角形等知识.熟练掌握切线的性质及判定方法是解题的

关键.

22.已知A3为。。的直径，AB=6,C为OO上一点，连接CACB.

（1）如图①，若C为AB的中点，求NC4B的大小和AC的长；

（2）如图②，若AC=2,0。为的半径，且。D_LC5,垂足为E,过点。作O。的切线，与AC

的延长线相交于点F,求ED的长.

【答案】（1）NC4B=45°,AC=3拒

（2）FD=2及

【解析】

【分析】（1）由圆周角定理得NACB=90。，由C为AB的中点，得AC=BC，从而AC=BC,即可求

得/。18的度数，通过勾股定理即可求得4c的长度；

(2)证明四边形£CFD为矩形，FD=CE=；CB,由勾股定理求得BC的长，即可得出答案.

【小问I详解】

•/A3为。。的直径，

，ZACB=90°,

由C为A8的中点，得AC=BC，

AAC=BC,得NABC=NC4B,

在RSABC中，ZA3C+NC4B=90°,

/.NC4B=45。；

根据勾股定理，有AC?+BO?=AB?，

又AB=6,得24。2=36，

；•AC=3万

【小问2详解】

,/ED是的切线，

A0D1FD,即N。。尸=90°,

ODLCB,垂足为E,

ZCED=90°,CE=^CB,

同(1)可得NACB=90。，有ZFC£=9()°,

NFCE=NCED=Z.ODF=90°,

；•四边形ECED为矩形，

:.FD=CE,于是FD=LCB,

2

在Rt^ABC中，由AB=6,AC=2,得CB=dAB?-AC?=40，

；•FD=2y[2-

【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，垂径定理，勾股

定理和矩形的判定和性质等，解题的关键是利用数形结合的思想解答此题.

23.如图，“IBC中，？890?,AB=12m.BC=24m,动点P从点A开始沿边AB向点8以

2m/s的速度移动，动点。从点B开始沿边向点C以4mzs的速度移动.已知P,。分别从A、B两点

同时出发，求当出发时间r为何值时，四边形APQC的面积最小，并求出这个最小值.

BQc

【答案】当r=3时，四边形APQC的面积最小，S最小=108

【解析】

【分析】根据路程=速度X时间用，表示出AP、PB、BQ,根据际边形APKUSMBC-SMBQ,即可用，表

示出S四边形根据函数性质即可得到答案•

【详解】解：由题意可得，

AP=2f,BQ=4t,

VAB=12m，BC=24m,

PB-12-2f,--6,—-6,

42

.,.0<t<6,

•S四边形APQC=^MBC-S"BQ

=^xl2x24-|x(12-2/)x4z

=4『-24f+144

=4(t—3)2+108(04r<6),

*.*Q=4>0,

.••当仁3时，四边形A尸QC的面积最小，S最小=108.

【点睛】本题考查二次函数性质及三角形上动点问题，解题关键是根据s四边形4Pse=S^ABC~S»BQ得到

S与，的关系式.

24.在平面直角坐标系中，。为原点，点4(4,0),点B(0,3),把AABO绕点B逆时针旋转得到

△A'80',点A、。旋转后的对应点为A'、O',记旋转角为a.

(1)如图①，若a=90°,求A4'的长；

(2)如图②，若a=60。，求点。的坐标；

(3)如图③，尸为A8上一点，且以：尸8=2:1,连接PO'、PA',在AABO绕点8逆时针旋转一周的

过程中，求APO'A'的面积的最大值和最小值(直接写出结果可).

【答案】(1)50

(2)。畔,|)

288

(3)—,-

33

【解析】

【分析】(1)连接AA',过点A'作A'£>J_x轴，由旋转的性质可求得和A。的值，再利用勾股定理

即可求解.

(2)过点。'作O'HLQB于点H,连接。。'，由旋转的性质得△BOO'是等边三角形，根据等边三角形

的性质即可求解.

(3)设P到A'。的距离为/?,则SAPO[.=；A'O"=2〃，由题意得O是在以B为圆心的圆上运动，当

时，APO'A'的面积最小；PGLOza时，APO/'的面积最大利用勾股定理即可求解.

【小问I详解】

解：连接AA',过点A作A'OLx轴，如图所示：

把AABO绕点B逆时针旋转得到"上。'，且点4(4,0),点8(0,3),

得0'。=03=3,。4'=。4=4,

A'D=OA'+O'D=4+3=7,AD=OA-OD=4-3=\,

：.AA'=yjA'D2+AD2=V72+l2=5c-

【小问2详解】

过点。‘作O'”，08于点”，连接OO',如图所示：

把AABO绕点8逆时针旋转得到AABO'，且旋转角a=60。,

；.ABOO'是等边三角形,

【小问3详解】

设P到A'O'的距离为儿

SK=gA，O'x//=2〃，

,/△ABO绕点B逆时针旋转，

•••O是在以8为圆心的圆上运动,

如图所示：

当？。，。同时，APO'A'的面积最小；「。2_1。24时，APO'A'的面积最大；

VPA:PB^2A,AB=S曾+OB?=5,

54

①当时，POl=BOl-BP=3-^=~,

S,——A0-PO=—x4x—=—,

pa2y।y।]।233

514

②当PO2,O24时，PO2=BO2+BP=3+-=—9

：.sPO.」4Q,.pa=Lx4x3型，

244《233

288

•••APOZ的面积的最大值和最小值分别为§和§.

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，勾股定理，含