人教A版高中数学第一册(必修1)学案3：5. 2 . 1 三角函数的概念

5.2.1三角函数的概念

『导学聚焦』

考点学习目标核心素养

理解三角函数的概念，会求给定角的

三角函数的概念数学抽象、数学运算

三角函数值

掌握各象限角的三角函数值的符号规

三角函数值的符号判断逻辑推理

律

诱导公式一及应用掌握三角函数诱导公式一的简单应用逻辑推理、数学运算

「问题导学J

预习教材，并思考以下问题：

1.任意角的三角函数的定义是什么？

2.如何判断三角函数值在各象限内的符号？

3.诱导公式一是什么？

r新知初探J

i.任意角的三角函数的定义

如图，设a是一个任意角，它的

前提“'j

终边与单位圆交于点P(x,y)

纵坐标叫做a的正弦函数，记作sina,即sina

正弦

横坐标叫做a的余弦函数，记作cosa,即cosa

余弦

定义正切比值叫做a的正切，记作tana,即tana=(x#0)

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位

三角圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函

函数数，将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为

三角函数

■名师点拨

(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：a是一个任意角，其范围是使函数有意义的实

数集.

(2)要明确sina是一个整体，不是sin与a的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如人用

表示自变量为x的函数一样，离开自变量的二出”飞0广3屋等是没有意义的.

2.三角函数值的符号

如图所示：

y

++

0《

sinacosalana

正弦：象限正，象限负;

余弦：象限正，象限负;

正切：象限正，象限负.

简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

3.公式一

终边相同的角的同一三角函数的值，由此得到一组公式(公式一)：

sin(a+h27r)=,

cos(a+k-2n)=,

tan(«+^-2n)=,

其中k《Z.

■名师点拨

(1)公式一的实质

公式一的实质是终边相同的角，其同名三角函数值相等.因为这些角的终边是同一条射线,

所以根据三角函数的定义可知，这些角的三角函数值相等.

(2)公式一的作用

利用公式一可以把任意角的三角函数值化为0。〜360。范围内与其终边相同的角的三角函数

值(方法是先在0。〜360。的范围内找出与所给角终边相同的角，再把它写成公式一的形式，

最后得出结果).

r自我检测』

si判断正误（正确的打错误的打“X”）

⑴已知。是三角形的内角，则必有sina>0,cosa20.（）

⑵若sina・cosa>0,则角a为第一象限角.（）

（3）对于任意角a,三角函数sina、cos。、tana都有意义.（）

（4）三角函数值的大小与点P（x,y）在终边上的位置无关.（）

（5）同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.（）

34

19已知sina=§,cosa=一亍则角a所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3

©已知角。的终边经过尸（一九4）,且cosa=-5，则的值为（）

A.3B.-3

C.±3D.5

9兀

Qsin780。=.cos^-=.

『探究互动』

探究点一求任意角的三角函数值

r例1J⑴已知角a的终边与单位圆的交点为噌，求tana的值.

（2）已知角a的终边落在射线y=2x（xN0）上，求sina,cosa的值.

「互动探究J

1.（变条件）本例（2）中条件“角«的终边落在射线y=2r（xK））上''变为"角a的终边为射线y=

一最（后0）”,求角a的正弦、余弦和正切值.

2.(变条件)本例(2)中条件“a的终边落在射线)=2%(后0)上”变为“a的终边落在直线y=2x上”,

其他条件不变，其结论又如何呢？

【规律方法】

已知a终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法

(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三

角函数值.

(2)在a的终边上任选一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>0),则sina=1,cosa=*已知a

的终边求a的三角函数值时，用这几个公式更方便.

(3)当角a的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨

论.

［跟踪训练』如图所示，在平面直角坐标系X。)，中，角a的终边与单位圆交于点A,点A

2

的纵坐标为则tana=.

探究点二三角函数值符号的判定

『例2J判断下列各式的符号:

(l)tan120°sin269°：

23n

(2)cos4tan|

【规律方法】

正弦、余弦函数值的正负规律

『跟踪训练』

1.若一方<0!<0,则点«21101,cosa）位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.已知sin0cos0<O,且|cos例=cos。，则角®是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

探究点三公式一的简单应用

「例3J求下列各式的值：

小25兀,（15叫

⑴cos-^-十tan!——J；

（2）sin810°+tan11250+cos420°.

【规律方法】

利用公式一求解任意角的三角函数的步骤

『跟踪训练J

1.sin585。的值为（）

A.一当B.当C.一坐D坐

2.tan（一铲）的值为（）

A.小B坐C坐D.1

+COS等tan4广

3.

【达标反馈』

1.若角a是第三象限角，则点P（2,$访6（）所在象限为（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.若cosa=一坐，且角a的终边经过点P（x,2）,则尸点的横坐标》是（）

A.2小B.±2小C.一26D.-2小

3.cos1470°=.

4.求下列三角函数值：

(l)sinfn+cos枭

Q/in^^+tan?1—普)tan

★参*考*答*案★

『新知初探』

1.任意角的三角函数的定义

yy

>yx*%噎

2.三角函数值的符号

一二三四

一四二三

一三二四

3.公式一

相等sin—acos_atan—a

『自我检测』

。『『答案(l)x(2)x(3)x(4)4(5)4

@仃答案」」B

期［『解析」］选A.由X=—b,y=4,得r=\j按+16,

—b3

所以cosa=//=一彳，解得Z?=3(0=-3舍去).

ylb~+16J

Qrr答案」」手申

『探究互动』

探究点一求任意角的三角函数值

『例1』

『解』⑴因为点砥，))()《))在单位圆上，

94

则毛+_/=1,所以,=一§,

4

所以tana——y

(2)设射线y=2t(xK))与单位圆的交点为P(x,y),

'y=2x,

则V炉+),2=］,解得

.x>0,

_2A/5

WRRrRtALsina=y=~^~,cosa=x=^~.

『互动探究」

;=_3

1.解：由,—4、’得/+卷2=],

、/+y2=l,

44

即25炉=16,即或x=—不

43

因为迂0，所以x=g,从而〉=一半

43

所以角a的终边与单位圆的交点坐标为点，一；）.

-34y3

所以sina=y=-g,cosa=x=ytana=；=—j.

2.解：（1）若。终边在第一象限内，解答过程同本例（2）.

（2）若。终边在第三象限内，设点尸（X,2x）a<0）是其终边上任意一点,

因为r=\OP\=y[^+4^=—V5x(x<0),

[跟踪训练』

「「解析」」设点A的横坐标为X,则由。2+11,解得x=小，因为角a为第二象限角,

2

所以x=-乎，cosa=一坐，所以tana=

5-

3

『「答案」」一冷

探究点二三角函数值符号的判定

『例2』

『解』⑴因为120。角是第二象限角，所以tan120。<0.

因为269。角是第三象限角，所以sin269°<0.

所以tan120°sin269°>0.

⑵因为兀<4<竽，所以4弧度角是第三象限角，

所以cos4<0,因为一23竽7r=—6兀+全7T

所以一竽是第一象限角，所以tan（一?）>0,

所以cos4tan

『跟踪训练J

I.r「解析」」选B.由一彳<a<0知a为第四象限角，

则tana<0,cosa>0,点在第二象限.

2.『「解析」」选D.由|cos。尸cos仇可知cos更0,结合sinJcosOO,得sinOO,cos0>0,

所以角。是第四象限角，故选D.

探究点三公式一的简单应用

r例3j

『解』⑴原式=cos(8jr+\+tan(—4兀+§

兀,711.3

=cosw十tan[=/+1=]

(2)原式=sin(2x360°+90°)+tan