人教A版（2019）高中数学必修第一册1.5.1全称量词与存在量词

1.5.1全称量词与存在量词

教学目标：

1.通过已知的数学实例，理解全称量词和存在量词的意义，达到数学抽象核心素养水平一的

要求.

2.能够借助常用逻辑用语进行数学表达，论证和交流，体会逻辑用语在数学中的作用，达到

逻辑推理核心素养水平一的要求.

3.能判断全称命题和存在命题的真假.

教学重点：理解全称量词和存在量词的意义；能判断全称命题和存在命题的真假.

教学难点：全称命题和存在命题真假的判定.

教学过程：

(-)新课导入

我们知道命题是可以判断真假的陈述句，在数学学习和日常生活中，有时会遇到一些含

有量词的陈述句，例如：所有的素数都是奇数、有的无理数的平方还是无理数、有的人能活

到一百多岁.

大家思考:这些语句都是命题吗?如果是命题，又怎么判断他们的真假呢？

让学生回答问题并提问，你还能举出类似的例子吗？

(-)探索新知

探究一：全称量词与全称量词命题

判断下列语句是否为命题？

(1)x>5；

(2)2%+1是整数；

(3)对所有的xeR,x>5

(4)对任意的xeZ,2x+l是整数.

解：命题是可以判断真假的陈述句，语句(1)(2)含有变量x,而变量x不知道代表什么数，

因此无法判断真假，故(1)(2)不是命题.

语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行了限定；语句(4)在(2)

的基础上，用短语“对所有的”对变量谜行了限定；使得(3)(4)成为可以判断真假的语

句，因此语句(3)(4)是命题.

由此，我们可以得出全称量词和全称量词命题的概念.

1.全称量词：短语“对所有的”“对任意一个“在逻辑用语中通常叫做全称量词.

用符号“V”表示，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“全部的”等.

2.全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.

例如：对任意的aeZ,2/1是奇数；所有的正方形都是矩形均为全称命题.

数学表达形式：VxeM,p(x).“对M中任意一个x,有p(x)成立”.

探究二：判断全称量词命题的真假

问题一：请将下列符号语言转化为文字语言并判断真假.

(1)VxeR,x2+2x+2>0;

(2)VxeR,x3>x2.

解：(1)对所有的实数x,都有尤2+2x+2N0;

x2+2x+2>0<^(x+1)2+1之0为真命题.

(2)对所有实数x,都有X32x2;

x3>x2(x-1)>0,当x<l时，不成立，故为假命题.

问题二：从上述命题中，你能找到判断全称量词命题真假的一般方法吗？

判断一个全称量词命题为真时，必须对在给定集合的每一个元素X,都使命题p(X)为

真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素无，使命题p(X)

为假即可.

探究三：存在量词与存在量词命题

思考：

下列语句是命题吗？(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系？

(1)2x+l=3;

(2)x能被2或3整除;

(3)存在一个xoeR,使得2沏+1=3;

(4)至少有一个xoeZ,沏能被2或3整除.

解：语句(1)(2)不是命题，语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个''对变

量x进行了限定;语句(4)在(2)的基础上，用短语“至少一个”对变量x进行了限定;使得(3)

(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题.

由此，我们可以得出存在量词和存在量词命题的概念.

1.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个“在逻辑用语中通常叫做存在量词.

用符号“m”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“有的”等.

2.存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.

例如：有的平行四边形是菱形;有一个素数不是奇数.

数学表达形式：BxosM,p(xo).“对M中任意一个必，有p(xo)成立

探究四：判断存在量词命题的真假

问题一：判断下列存在量词命题的真假.

(1)有一个实数X,使^打；

(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；

(3)有些平行四边形是菱形.

解：(1)由于二］,因此一元二次方程无实根.所以，存在量词命题“有一

个实数x,使盛工］”是假命题.

(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交

直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”

是假命题.

(3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形''是

真命题.

问题二：从上述命题中，你能找到判断存在量词命题真假的一般方法吗？

判断一个存在量词命题为真时，只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题0(%)为

真;要判断一个存在量词命题为假时，必须对在给定集合的每一个元素尤，使命题0(x)为假.

(三)课堂练习

1.判断下列全称量词命题的真假.

(1)每个四边形的内角和都是360。；

(2)任何实数都有算术平方根；

(3)存在一个四边形，它的对角线互相垂直.

解：(1)真命题；

(2)假命题，因为负数没有算术平方根;

（3）真命题，菱形的对角线互相垂直.

2.判断下列存在量词命题的真假.

（1）任意奇数的平方还是奇数；

（2）至少有一个整数小使得力人为奇数；

（3）-1।INI是无理数.

解：（1）真命题；

（2）假命题，因为〃（«+1