初中数学试题大全（四十二）函数基础知识难题

初中数学组卷：函数基础知识难题

一.选择题（共10小题）

1.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为工的小正方形CEFG,动

点P从点A出发，沿A玲D玲E玲F玲G玲B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时

停止（不含点A和点B）,则4ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是

（）

2.函数y=五中的自变量x的取值范围是（）

x+1

A.x>0B.xW-1C.x>0D.xNO且xW-1

3.函数y=Y三中，自变量x的取值范围是（）

x

A.x关0B.X》2c.x>2且xWOD.x》2且xWO

4.如图，已知某容器都是由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的

圆柱组合而成，若往此容器中注水，设注入水的体积为y,高度为x,则y关于x

的函数图象大致是（）

5.如图所示，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能够反映容器

内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是（）

6.如图，边长为1的正方形ABCD,点M从点A出发以每秒1个单位长度的速

度向点B运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿A玲D玲C玲B的路

径向点B运动，当一个点到达点B时，另一个点也随之停止运动，设△AMN的

面积为s,运动时间为t秒，则能大致反映s与t的函数关系的图象是（）

D.----------------------,C

7.如图，正方形ABCD的边长为4,点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从

点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿PfD玲Q

运动，点E、F的运动速度相同.设点E的运动路程为x,ZkAEF的面积为y,能

,AB为直径的半圆上的动点，AB=2.设弦AP的长

y,则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致

9.如图，RtZkABC中NC=90。，ZBAC=30°,AB=8,以2巧为边长的正方形DEFG

的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A-B的方向

以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过

程中，正方形DEFG与4ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系

10.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点P从A点出发，按A玲B玲C的方向在

AB和BC上移动.记PA=x，点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数大致

二.填空题（共10小题）

1L"龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定

再赛一场.图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出

发所行的时间，yi表示乌龟所行的路程，丫2表示兔子所行的路程）.有下列说法:

①"龟兔再次赛跑”的路程为1000米；

②兔子和乌龟同时从起点出发；

③乌龟在途中休息了10分钟；

④兔子在途中750米处追上乌龟.

其中正确的说法是.（把你认为正确说法的序号都填上）

12.如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以lcm/s的速

度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动.当点

P移动到点A时，P、Q同时停止移动.设点P出发xs时，△PAQ的面积为ycm2,

y与x的函数图象如图②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为.

13.如图，根据所示程序计算，若输入x=«,则输出结果为

/输入X/

,Yx1?-2L

I______

输出结果）

14.如图，IA，1B分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的

关系.

（l）B出发时与A相距千米.

(2)走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是小时.

(3)B出发后小时与A相遇.

(4)若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，小时与A相

15.若一个函数图象的对称轴是y轴，则该函数称为偶函数.那么在下列四个函

数：

①y=2x；②y=§；③y=x2；(4)y=(x-1)2+2中，属于偶函数的是(只填

X

序号).

16.如图，甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶，甲车

先到达B地，在B地停留1小时后，沿原路以另一个速度匀速返回，若干时间后

与乙车相遇，乙车的速度为每小时60千米.如图是两车之间的距离y(千米)

与乙车行驶的时间x(小时)之间

函数的图象，则甲车返回的速度是每小时千米.

17.已知函数f(x)=1+1,其中f(a)表示当x=a时对应的函数值，如f(1)

X

=1+2,f(2)=1+2,f(a)=1+2,贝Ijf(1)»f(2)・f(3)...f(100)=.

12a

18.如图①，在梯形ABCD中，AD〃BC,ZA=60°,动点P从A点出发，以lcm/s

的速度沿着A玲B玲C玲D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止.已知△

PAD的面积S(单位：cm2)与点P移动的时间(单位：s)的函数如图②所示，

19.火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）

之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：

①火车的长度为120米；

②火车的速度为30米/秒；

③火车整体都在隧道内的时间为25秒；

④隧道长度为750米.

其中正确的结论是.

（把你认为正确结论的序号都填上）

20.图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的.设y为第n层（n为正整数）

圆点的个数，则y与n之间的函数关系式y=.

三.解答题（共10小题）

21.阅读下面材料，再回答问题.

一般地，如果函数y=f(x)对于自变量取值范围内的任意x,都有f(-x)=f(x).那

么y=f(x)就叫偶函数.如果函数y=f(x)对于自变量取值范围内的任意x,都

有f(-x)=-f(x).那么y=f(x)就叫奇函数.

例如：f(x)=x4

当x取任意实数时，f(-x)=(-x)4=x4.*.f(-x)=f(x)/.f(x)=x4是偶函

数.

又如：f(x)=2x3-x.

当x取任意实数时,Vf(-x)=2(-x)3-(-x)=-2x3+x=-(2x3-x).*.f

(-x)=-f(x).*.f(x)=2x3-x是奇函数.

问题1：下列函数中：①y=x2+l②尸与③尸④产x+2■⑤y=x-2-2|x

X3X

是奇函数的有;是偶函数的有(填序号)

问题2：仿照例证明：函数④或⑤是奇函数还是偶函数(选择其中之一)

22.如图1,A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD=4cm,AB=dcm.动点E、F分

别从点D、B出发，点E以lcm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以lcm/s的

速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动.以EF为边作

正方形EFGH,点F出发xs时，正方形EFGH的面积为ycm2.已知y与x的函数

图象是抛物线的一部分，如图2所示.请根据图中信息，解答下列问题：

(1)自变量x的取值范围是；

(2)d=，m=，n=；

(3)F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16cm2?

图1图2

23.在4ABC中，点P从B点开始出发向(：点运动，在运动过程中，设线段AP

的长为y,线段BP的长为x(如图甲)，而y关于x的函数图象如图乙所示.Q

(1,V3)是函数图象上的最低点.请仔细观察甲、乙两图，解答下列问题.

(1)请直接写出AB边的长和BC边上的高AH的长；

(2)求NB的度数；

(3)若4ABP为钝角三角形，求x的取值范围.

24.如图甲，在正方形ABCD中，AB=6cm,点P、Q从A点沿边AB、BC、CD运

动，点M从A点沿边AD、DC、CB运动，点P、Q的速度分别为lcm/s,3cm/s,

点M的速度2cm/s.若它们同时出发，当点M与点Q相遇时，所有点都停止运

动.设运动的时间为ts,ZXPQM的面积为Scm2,则S关于t的函数图象如图乙

所示.结合图形，完成以下各题：

(1)当t为何值时，点M与点Q相遇？

(2)填空：a=；b=；c=.

(3)当2<tW3时，求S与t的函数关系式；

(4)在整个运动过程中，△PQM能否为直角三角形？若能，请求出此时t的值;

若不能，请说明理由.

25.如图，已知直角梯形ABCD中，AD〃BC,B=90°,AB=12cm,BC=8cm,DC=13cm,

动点P沿A玲D1C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿BfC线路以lcm/

秒的速度向C运动.P、Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时,

另一点也随之停止.设运动时间为t秒，△PQB的面积为ynR

（1）求AD的长及t的取值范围；

（2）当1.5WtWtO（to为（1）中t的最大值）时，求y关于t的函数关系式；

（3）请具体描述：在动点P、Q的运动过程中，△PQB的面积随着t的变化而变

化的规律.

BQ—。

26.如图，四边形ABCD中，ZBAD=ZACB=90°,AB=AD,AC=4BC,设CD长为x,

四边形ABCD的面积为y,则y与x之间的函数关系式是什么？

27.如图1,矩形OABC顶点B的坐标为（8,3）,定点D的坐标为（12,0）,

动点P从点0出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动

点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，P、Q

两点同时运动，相遇时停止，在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直

角三角形PQR.设运动时间为t秒，△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S,S

关于t的函数图象如图2所示（其中OWxWm,m<xWh时，函数的解析式不同）

（1）当t=时，△PQR的边QR经过点B；

（2）求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围.

28.如图1,Z\ABC中，AB=AC,NBAC=90。，点M是BC边上的一个动点，点B

关于点M的对称点N在BC上（运动开始时，点M与点B重合，当点N到达点

C时运动终止），过点M、N作BC的垂线，与折线B玲A玲C分别交于P、Q两点，

设线段BM的长为X,四边形PQNM的面积为S,S关于x的函数图象如图2所

示（其中0<xW3,3<xWa时，函数的解析式不同）.

22

（1）填空：当PM=QN时，x的值为；

（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.

图1图2

29.如图1,在^ABC中，NC=90。，点P、Q同时从点C出发，分别沿射线CA、

边CB均以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点Q到达B点时，点P、Q同

时停止运动.过点P作AC的垂线L,交AB于点R,连接PQ,RQ,并作△PQR

关于直线L的对称图形，得APTR.设点Q的运动时间为ts,APAR与APTR重

叠部分的面积为S,S关于t的函数图象如图2所示（其中丝_WtW6

55

时，函数的解析式不相同）.

（1）填空：△CQP为三角形，m的值为.

（2）求S关于t的函数关系式（不需写出t的取值范围）.

30.如图1,Rt^ABC中，NB=90。，点P是射线AB上动点，点E在边AC上，

AE=PE,过点P作PE的垂线交射线AC于点F；若AP=x,APEF与^ABC重合的

部分面积为S,S关于x的函数图象如图2所示（其中0<xW8,8<xW12,12

<x<p时，函数的解析式不同）

（1）填空：BC=

（2）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围.

初中数学组卷：函数基础知识难题

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2016•青海）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正

方形CEFG,动点P从点A出发，沿A玲D-E玲F-G玲B的路线绕多边形的边匀速

运动到点B时停止（不含点A和点B）,则4ABP的面积S随着时间t变化的函数

【分析】根据点P在AD、DE、EF、FG、GB上时，^ABP的面积S与时间t的关

系确定函数图象.

【解答】解：当点P在AD上时，4ABP的底AB不变，高增大，所以4ABP的

面积S随着时间t的增大而增大;

当点P在DE上时,△ABP的底AB不变,高不变,所以4ABP的面积S不变;

当点P在EF上时,△ABP的底AB不变,IWJ减小,所以4ABP的面积S随着时间

t的减小而减小;

当点P在FG上时,△ABP的底AB不变,高不变,所以4ABP的面积S不变;

当点P在GB上时,△ABP的底AB不变,IWJ减小,所以4ABP的面积S随着时间

t的减小而减小;

故选：B.

【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，正确分析点P在不同的线段上4ABP

的面积S与时间t的关系是解题的关键.

2.（2014•济宁）函数丫=立_中的自变量x的取值范围是（）

x+1

A.x>0B.xW-1C.x>0D.xNO且xW-1

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0,分母不等

于0,可以求出x的范围.

【解答】解：根据题意得：x'O且x+lWO,

解得x，0,

故选：A.

【点评】本题考查了自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑:

当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分

式的分母不能为0;当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

3.（2014•黄冈）函数丫=正且中，自变量x的取值范围是（）

x

A.xWOB.Xe2c.x>2且xWOD.x22且xWO

【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.

【解答】解：由题意得，X-2N0且xWO,

；.xN2.

故选：B.

【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0;

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

4.（2013•黄石）如图，已知某容器都是由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆

锥同底等高的圆柱组合而成，若往此容器中注水，设注入水的体积为y,高度为

x,则y关于x的函数图象大致是（）

【分析】分三个阶段，根据圆锥和圆柱的特点分析出上升的高度与水量的增长的

关系，从而得解.

【解答】解：如图，①水在下边的圆锥体内时，水面的半径为xtana,

水的体积丫=工兀(xtana)2»x=JL.ntan2a»x3,

33

所以，y与x成立方关系变化，即小于直线增长；

②水面在圆柱体内时，y是x的一次函数；

③水在上边的圆锥体时，水的高度增长的速度与①中相反，即直线变缓了，

纵观各选项，只有A选项符合.

故选A.

【点评】本题考查了函数图象，主要利用了圆锥、圆柱的体积，分析出水在三个

阶段的高度与水的体积的关系是解题的关键，需要有一定的空间想象能力..

5.（2016•黄石）如图所示，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则

能够反映容器内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是（）

【分析】水深h越大，水的体积v就越大，故容器内水的体积y与容器内水深x

间的函数是增函数，根据球的特征进行判断分析即可.

【解答】解：根据球形容器形状可知，函数y的变化趋势呈现出，当0<x<R时,

y增量越来越大，当R<x<2R时，y增量越来越小，

曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，故y关于x的函数图象是

先凹后凸.

故选A.

【点评】本题主要考查了函数图象的变化特征，解题的关键是利用数形结合的数

学思想方法.解得此类试题时注意，如果水的体积随深度的增加而逐渐变快，对

应图象是曲线从缓逐渐变陡.

6.（2015•盘锦）如图，边长为1的正方形ABCD,点M从点A出发以每秒1个

单位长度的速度向点B运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿

A玲-B的路径向点B运动，当一个点到达点B时，另一个点也随之停止运

动，设△AMN的面积为s,运动时间为t秒，则能大致反映s与t的函数关系的

【分析】根据题意，分3种情况：（1）当点N在AD上运动时；（2）当点N在

CD上运动时；（3）当点N在BC上运动时；求出^AMN的面积s关于t的解析

式，进而判断出能大致反映s与t的函数关系的图象是哪个即可.

【解答】解：（1）如图1,

当点N在AD上运动时，

s=ljXM»AN=J-XtX3t=-lt2.

(2)如图2,

当点N在CD上运动时,

S=_LAM・AD=tX辽=.

222

当点N在BC上运动时，

s=L\M・BN=LxtX（3-3t）=-22+3

2222

综上可得，能大致反映s与t的函数关系的图象是选项D中的图象.

故选：D.

【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关键是

要明确：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，

不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力.用图

象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.

7.（2015•葫芦岛）如图，正方形ABCD的边长为4,点P、Q分别是CD、AD的

中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出

发，沿P玲D-Q运动，点E、F的运动速度相同.设点E的运动路程为x,AAEF

的面积为y,能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）

【分析】分F在线段PD上，以及线段DQ上两种情况，表示出y与x的函数解

析式，即可做出判断.

【解答】解：当F在PD上运动时，4AEF的面积为y=L\E・AD=2x(0WxW2),

2

当F在AD上运动时，4AEF的面积为y=L\E・AF=L<(6-x)=-1J<2+3X(2<x

222

W4),

【点评】此题考查了动点问题的函数问题，解决本题的关键是读懂图意，得到相

应y与x的函数解析式.

8.(2013•北京)如图，点P是以。为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2.设

弦AP的长为x,△APO的面积为y,则下列图象中，能表示y与x的函数关系的

图象大致是()

AOB

【分析】作OCLAP,根据垂径定理得AC=1AP=1X,再根据勾股定理可计算出

22

0C=工行），然后根据三角形面积公式得到丫=争♦标I（°WxW2）,再根据

解析式对四个图形进行判断.

【解答】解：作OCLAP,如图，则AC=UP=L<,

22

在RtAAOC中，OA=1，比=向=引拓予

所以yJoJAP耳（0WXW2）,

24wx

所以y与x的函数关系的图象为A选项.

故选：A.

排除法：

很显然，并非二次函数，排除B选项；

采用特殊位置法；

当P点与A点重合时，此时AP=x=0,SAPAO=0；

当P点与B点重合时，此时AP=x=2,SAPAO=0；

当AP=x=1时，此时△APO为等边三角形，SAPAO=1;

4

排除B、C、D选项，

故选：A.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两

变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自

变量的取值范围.

9.（2015•烟台）如图，RtAABC中NC=90°,NBAC=30°,AB=8,以2y为边长

的正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG

沿A-B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则

在这个运动过程中，正方形DEFG与^ABC的重合部分的面积S与运动时间t之

间的函数关系图象大致是（）

【分析】首先根据RtZ^ABC中NC=90。,ZBAC=30°,AB=8,分别求出AC、BC,

以及AB边上的高各是多少；然后根据图示，分三种情况：（1）当0WtW2百时;

（2）当2、Q<t<6时；（3）当6<t<8时；分别求出正方形DEFG与^ABC的重

合部分的面积S的表达式，进而判断出正方形DEFG与AABC的重合部分的面积

S与运动时间t之间的函数关系图象大致是哪个即可.

【解答】解：如图1,CH是AB边上的高，与AB相交于点H,

VZC=90°,NBAC=30°,AB=8,

.*.AC=ABXcos30°=8X瓜=4«,BC=ABXsin3O°=8XJ,

22

.•.CH=ACXBC+AB=4五X4+8=2“，AH=AC2+AB=(M)2+8=6,

(1)当0WtW2上时,

5=~t*(t*tanSO0

(2)当2我<t<6时,

s=yt*(t"tanSO0)-y(t-2V3)•[(t-2V3)*tan30°]

=亚平jZl.[t2-4/3t+12]

66

=2t-2y

(3)当6<t<8时，

S=1x[(t-2正)・tan3(T+2V5]X[6-(t-273)J+*X[(8-t)・tan6O°+2«]

X(t-6)

=1x[告t+2V5-2】x1-t+2后6]总X[-打+1岫]X(t-6)

=-®2+2t+4«-1t2+g^t_so,际

62

=-2V3.t2+(2+8A/3)t-2673

3

综上，可得

S=12t-2V3>273<t<6

2

—o-1+(2+8«)t-26近，6<t48

L5

・•.正方形DEFG与4ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象

大致是A图象.

故选：A.

【点评】（1）此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过

看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的

含义即学会识图.

(2)此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及三角形、梯形的面积的求法,

要熟练掌握.

10.(2015•广元)如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点P从A点出发,按A玲B玲C

的方向在AB和BC上移动.记PA=x，点D到直线PA的距离为y,则y关于x的

点D到直线PA

的距离不变，恒为4；(2)当点P在BC上移动时，根据相似三角形判定的方法,

判断出△PABs^ADE,即可判断出(3<XW5),据此判断出y关于x的函

X

数大致图象是哪个即可.

【解答】解：(1)当点P在AB上移动时,

点D到直线PA的距离为:

y=DA=BC=4(0WxW3).

(2)如图1,当点P在BC上移动时，图1

VAB=3,BC=4,

,,AC=V3^+4^-5,

VZPAB+ZDAE=90",NADE+NDAE=90°,

AZPAB=ZADE,

在^PAB^HAADE中，

(NPAB=NADE

(ZABP=ZDEA

.,.△PAB^AADE,

；,PA_AB；

'*AD^DE'

&___3_；

4-y'

y=X£(3<xW5).

X

综上，可得

y关于x的函数大致图象是:

【点评】（1）此题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关

键是要明确：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高

分析问题、解决问题的能力.用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.

（2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握.

二.填空题（共10小题）

1L（2013•咸宁）"龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，

和乌龟约定再赛一场.图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌

龟从起点出发所行的时间，yi表示乌龟所行的路程，丫2表示兔子所行的路程）.有

下列说法：

①"龟兔再次赛跑”的路程为1000米；

②兔子和乌龟同时从起点出发；

③乌龟在途中休息了10分钟；

④兔子在途中750米处追上乌龟.

其中正确的说法是①③④.（把你认为正确说法的序号都填上）

【分析】结合函数图象及选项说法进行判断即可.

【解答】解：根据图象可知：

龟兔再次赛跑的路程为1000米，故①正确；

兔子在乌龟跑了40分钟之后开始跑，故②错误；

乌龟在30--40分钟时的路程为0,故这10分钟乌龟没有跑在休息，故③正确;

yi=20x-200(40<x<60),y2=100x-4000(40^x<50),当力=丫2时，兔子追上

乌龟，

此时20x-200=100x-4000,

解得：x=47.5,

yi=y2=750米，即兔子在途中750米处追上乌龟，故④正确.

综上可得①③④正确.

故答案为：①③④.

【点评】本题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含

义，理解问题叙述的过程，有一定难度.

12.(2014•徐州)如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A

以lcm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速

度移动.当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动.设点P出发xs时，APAQ

的面积为ycm2,y与x的函数图象如图②，则线段EF所在的直线对应的函数关

系式为y=-3x+18.

【分析】根据从图②可以看出当Q点到B点时的面积为9,求出正方形的边长,

再利用三角形的面积公式得出EF所在的直线对应的函数关系式.

【解答】解：•.•点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；点Q沿边

AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动.

.•.当Q到达B点，P在AD的中点时，△PAQ的面积最大是9cm2,设正方形的边

长为acm,

.\lxl^Xa=9,

22

解得a=6,即正方形的边长为6,

当Q点在BC上时，AP=6-x,△APQ的高为AB,

y=—(6-x)X6,即y=-3x+18.

2

故答案为：y=-3x+18.

【点评】本题主要考查了动点函数的图象，解决本题的关键是求出正方形的边长.

13.(2013•湘潭)如图，根据所示程序计算，若输入x=E，则输出结果为2

/输入X/

(输出结果)

【分析】根据选择左边的函数关系式进行计算即可得解.

【解答】解：•.％=近＞1,

**•y=(V3)2-1=3-1=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了函数值的计算，比较简单，准确选择函数关系式是解题的关

键.

14.(2013•成都模拟)如图，IA，1B分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的

路程S与时间t的关系.

(1)B出发时与A相距10千米.

(2)走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是1小时.

(3)B出发后3小时与A相遇.

(4)若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，一丝一小时与A相遇.

【分析】(1)还没出发时两人之间的距离也就是B出发时与A的距离;

(2)发生故障时行驶的路程不发生变化，求出两时间的差即可；

(3)根据图象，3小时时两人的路程相同，即为相遇点；

(4)先求出两人的速度，再根据相遇时B比A多走10千米列出方程求解即可.

【解答】解：(1)由图可知，B出发时与A相距10千米；

(2)B修理自行车所用的时间为：1.5-0.5=1小时；

(3)3小时时两人的路程都是22.5千米，

所以，B出发后3小时与A相遇；

(4)出发时A的速度为：22.5TO二至千米/时,

36

B的速度为：工邑15千米/时，

0.5

设若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，x小时与A相遇，

根据题意得，15x-型x=10,

6

解得x=」2.

13

故答案为：(1)10；(2)1；(3)3；(4)11.

13

【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标

表示的意义，理解问题的过程，以及追击问题的等量关系是解题的关键.

15.(2010•漳州)若一个函数图象的对称轴是y轴，则该函数称为偶函数.那么

在下列四个函数：

①y=2x；②y=§；③y=x2；©y=(x-1)2+2中，属于偶函数的是③(只填序

X

号).

【分析】根据对称轴是y轴，排除①②选项，再根据④不是偶函数，即可确定答

案.

【解答】解：①y=2x,是正比例函数，函数图象的对称轴不是y轴，错误；

②y=2是反比例函数，函数图象的对称轴不是y轴，错误；

X

③y=x2是抛物线，对称轴是y轴，是偶函数，正确；

@y=(x-1)2+2对称轴是x=l,错误.

故属于偶函数的是③.

【点评】本题主要考查正比例函数、反比例函数、二次函数的对称性和二次函数

是偶函数的性质.

16.（2016•景德镇二模）如图，甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀

速向B地行驶，甲车先到达B地，在B地停留1小时后，沿原路以另一个速度

匀速返回，若干时间后与乙车相遇，乙车的速度为每小时60千米.如图是两车

之间的距离y（千米）与乙车行驶的时间x（小时）之间

函数的图象，则甲车返回的速度是每小时90千米.

【分析】根据返回相遇时两车走的路程和为120,甲车走了0.4小时，乙车走了

1.4小时可得甲车返回时的速度.

【解答】解：甲车返回时的路程为120-1.4X60=36千米，

・••甲车返回时的速度为364-0.4=90千米/时.

故答案为90.

【点评】考查根据函数图象得到相关信息；判断出甲车返回时走的路程是解决本

题的难点，判断出甲车返回时用的时间是解决本题的易错点.

17.(2011•莆田)已知函数f(x)=1+2,其中f(a)表示当x=a时对应的函数

X

值，如f(1)=1+1,f(2)=1+1,f(a)=1+2,则f(1).f(2)・f(3)...f(100)

12a

=5151.

【分析】根据函数得，f(1)=s,f(2)="1,f(3)=A...f(99)=她，f(100)

12399

=A02；容易得出答案.

100

【解答】解：f(1)-f(2)*f(3)...f(100)

=lxAxlx£..ilxl00xlPLxl02

1234979899100

=101X102

~2~

=5151.

故答案为5151.

【点评】本题考查了函数知识，能够根据所给的函数式正确表示出对应的函数值,

找到题目的规律是解答的关键.

18.（2012•苏州）如图①，在梯形ABCD中,AD〃BC,NA=6O。，动点P从A点

出发，以lcm/s的速度沿着A玲B玲C玲D的方向不停移动，直到点P到达点D后

才停止.已知4PAD的面积S（单位：cm?）与点p移动的时间（单位：s）的函

数如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了（4+2立）秒（结果

保留根号）.

【分析】根据图②判断出AB、BC的长度，过点B作BELAD于点E,然后求出

梯形ABCD的高BE,再根据t=2时4PAD的面积求出AD的长度，过点C作CF,

AD于点F,然后求出DF的长度，利用勾股定理列式求出CD的长度，然后求出

AB、BC、CD的和，再根据时间=路程+速度计算即可得解.

【解答】解：由图②可知，t在2到4秒时，4PAD的面积不发生变化，

・•.在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4-2=2秒，

•••动点P的运动速度是lcm/s,

/.AB=2cm,BC=2cm,

过点B作BE±AD于点E,过点C作CF±AD于点F,

则四边形BCFE是矩形，

ABE=CF,BC=EF=2cm,

VZA=60°,

ABE=ABsin60o=2X冬会

AE=ABcos60°=2Xl.=l,

2

.,._LXADXBE=3\巧，

2

即尹ADX后3日，

解得AD=6cm,

.\DF=AD-AE-EF=6-1-2=3,

在RtACDF中，CD=JCF2+DF+3上2y

所以，动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+2仔4+2、.公，

•••动点P的运动速度是lcm/s,

点P从开始移动到停止移动一共用了（4+26）+1=4+2«（秒）.

故答案为：（4+273）.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据图②的三角形的面积的变化情况

判断出AB、BC的长度是解题的关键，根据梯形的问题中，经常作过梯形的上底

边的两个顶点的高线作出辅助线也很关键.

19.（2011•咸宁）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行

驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：

①火车的长度为120米；

②火车的速度为30米/秒；

③火车整体都在隧道内的时间为25秒；

④隧道长度为750米.

其中正确的结论是②③.

（把你认为正确结论的序号都填上）

5B

3035x秒

【分析】根据函数的图象即可确定在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米,

则速度是30米/秒，进而即可确定其它答案.

【解答】解：在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒.故

②正确；

火车的长度是150米，故①错误；

整个火车都在隧道内的时间是：35-5-5=25秒，故③正确；

隧道长是：35X30-150=1050-150=900米，故④错误.

故正确的是：②③.

故答案是：②③.

【点评】本题主要考查了用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐

标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决.

20.（2010•金东区模拟）图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的.设y为第

n层（n为正整数）圆点的个数，则v与n之间的函数关系式v=4n.

【分析】因为对于每一个x的值，y都有唯一的值和它相对应，可以发现：圆点

个数是所在层数的4倍.

【解答】解：y与n之间的函数关系式是y=4n.

故答案为：4n.

【点评】本题函数的关系式，有一定难度，关键在于根据图形信息得出x和y的

关系，注意细心观察.

三.解答题(共10小题)

2L(2009•岳阳一模)阅读下面材料，再回答问题.

一般地，如果函数y=f(x)对于自变量取值范围内的任意X,都有f(-x)=f(x).那

么y=f(x)就叫偶函数.如果函数y=f(x)对于自变量取值范围内的任意x,都

有f(-x)=-f(x).那么y=f(x)就叫奇函数.

例如：f(x)=x4

当x取任意实数时，f(-x)=(-x)4=x4/.f(-x)=f(x)/.f(x)=x4是偶函

数.

又如：f(x)=2x3-x.

当x取任意实数时,Vf(-x)=2(-x)3-(-x)=-2X3+X=-(2x3-x).*.f

(-x)=-f(x).'.f(x)=2x3-x是奇函数.

问题1：下列函数中：①y=x2+l②尸与③尸GTT④尸x+2■⑤y=x-2-21x

X3X

是奇函数的有②④；是偶函数的有①⑤(填序号)

问题2：仿照例证明：函数④或⑤是奇函数还是偶函数(选择其中之一)

【分析】(1)根据题目信息，求出f(-x)的值，如果f(-x)=f(x),则是偶

函数，如果f(-X)=-f(X),则是奇函数；

(2)同(1)的思路进行计算即可证明.

【解答】解：问题1：。)丫=(-x)2+l=x2+l,

・••①是偶函数；

・••②是奇函数；

③y=4-x+l*7x+1*~Vx+l>

③既不是奇函数，也不是偶函数;

(4)y=--(x+—),

-xX

•••④是奇函数;

(5)y=(-x)-2-2|-x|=x-2-2|x|,

•••⑤是偶函数，

故答案为：奇函数有②④；偶函数有①⑤;

问题2：证明：④,当xWO时，

f(-X)=-x+-J^-(x+—)=-f(x),

-xX

**.y=x+L是奇函数，

x

(5)*.*f(-x)=(-x)-2-2|-x|=x-2-2|x|=f(x),

.,.y=x2-21x|是偶函数.

【点评】本题考查了奇函数与偶函数的定义，根据题目提供信息，看懂题意准确

找出题目的解题思路是解题的关键.

22.(2012•徐州)如图1,A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD=4cm,AB=dcm.动

点E、F分别从点D、B出发，点E以lcm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以

lcm/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动.以

EF为边作正方形EFGH,点F出发xs时，正方形EFGH的面积为ycm?.已知y与

x的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示.请根据图中信息，解答下列问题:

(1)自变量x的取值范围是0WxW4；

(2)d=3,m=2,n=25；

(3)F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16cm2?

图1图2

【分析】(1)根据矩形的对边相等求出BC的长，然后利用路程、速度、时间的

关系求解即可；

(2)根据点的运动可知，当点E、F分别运动到AD、BC的中点时，正方形的面

积最小，求出d、m的值，再根据开始于结束时正方形的面积最大，利用勾股定

理求出BD的平方，即为最大值n；

(3)过点E作日，BC垂足为点I,则四边形DEIC为矩形，然后表示出El、IF,

再利用勾股定理表示出EF2,根据正方形的面积得到y与x的函数关系式，然后

把y=16代入求出x的值，即可得到时间.

【解答】解：(1)VBC=AD=4,44-1=4,

.♦.0WxW4；

故答案为：0WxW4；

(2)根据题意，当点E、F分别运动到AD、BC的中点时，

EF=AB最小，所以正方形EFGH的面积最小，

止匕时，d2=9,m=44~2=2,

所以，d=3,

根据勾股定理，n=BD2=AD2+AB2=42+32=25,

故答案为：3,2,25；

(3)如图，过点E作日，BC垂足为点I.则四边形DEIC为矩形，

.•.日=DC=3,CI=DE=x,

VBF=x,

.*.IF=4-2x,

在RtaEFI中,EF2=EI2+IF2=32+(4-2x)2,

•；y是以EF为边长的正方形EFGH的面积，

.*.y=32+(4-2x)2,

当y=16时，32+(4-2x)2=16,

整理得，4x2-16x+9=0,

解得，x产如巨，X2=上近，

22

・；点F的速度是lcm/s,

.•.F出发生巨或上五秒时，正方形EFGH的面积为16cm2.

22

H

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，（2）根据点的移动，结合二次函数图

象找出当EF=AB时正方形的面积为最小值是解题的关键，（3）求出正方形EFGH

的面积的表达式是解题的关键.

23.（2012•永州）在4ABC中，点P从B点开始出发向C点运动，在运动过程中,

设线段AP的长为y,线段BP的长为x（如图甲），而y关于x的函数图象如图乙

所示.Q（1,如）是函数图象上的最低点.请仔细观察甲、乙两图，解答下列

问题.

（1）请直接写出AB边的长和BC边上的高AH的长；

（2）求NB的度数；

（3）若4ABP为钝角三角形，求x的取值范围.

【分析】（1）当x取0时，y的值即是AB的长度，图乙函数图象的最低点的y

值是AH的值.

（2）当点P运动到点H时，此时BP（H）=1,AH=«,在RT^ABH中，可得出

ZB的度数.

(3)分两种情况进行讨论，①NAPB为钝角，②NBAP为钝角，分别确定x的

范围即可.

【解答】解：(1)当x=0时，y的值即是AB的长度，故AB=2；

图乙函数图象的最低点的y值是AH的值，故AH=6；

(2)在RT"BH中，AH=«,BH=1,tan/B=«,

故NB=60°.

(3)①当NAPB为钝角时，此时可得OVx<l；

②当NBAP为钝角时，过点A作APLAB,

则BP=—福=4,

cos/B

即当4<XW6时，NBAP为钝角.

综上可得0<x<l或4<xW6时4ABP为钝角三角形.

【点评】此题考查了动点问题的函数图象，有一定难度，解答本题的关键是结合

图象及函数图象得出AB、AH的长度，第三问需要分类讨论，注意不要漏解.

24.(2010•宿迁二模)如图甲，在正方形ABCD中，AB=6cm,点P、Q从A点沿

边AB、BC、CD运动，点M从A点沿边AD、DC、CB运动，点P、Q的速度分别

为lcm/s,3cm/s,点M的速度2cm/s.若它们同时出发，当点M与点Q相遇时，

所有点都停止运动.设运动的时间为ts,APQM的面积为Scm2,则S关于t的

函数图象如图乙所示.结合图形，完成以下各题：

(1)当t为何值时，点M与点Q相遇？

(2)填空：a=8；b=12；c=13.5.

(3)当2<tW3时，求S与t的函数关系式；

(4)在整个运动过程中，△PQM能否为直角三角形？若能，请求出此时t的值;

若不能，请说明理由.

【分析】（1）根据题意列出方程2t+3t=4X6求解即可;

（2）分别令时间t为2、3、4求得相应的三角形的面积即为a、b、c