2025优化设计一轮 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

第6节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025课标解读1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助图象理解参数A,ω,φ的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.研考点精准突破目录索引

强基础固本增分12强基础固本增分知识梳理1.函数y=Asin(ωx+φ)的有关概念

y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x≥0)表示一个简谐运动时振幅周期频率相位初相

T=

f==

Aωx+φφ2.五点法作y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)在一个周期内的简图时,要找出的五个特征点如下表所示:

精髓是通过变量代换,求出相应的x,然后描点、作图

主要指平移变换(相位变换)和伸缩变换(周期变换、振幅变换)3.函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换由函数y=sin

x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的两种方法.微思考先平移变换再周期变换和先周期变换再平移变换有什么联系与区别?提示

两种变换方法都是针对x而言的,即x本身加减多少,而不是ωx加减多少.先平移变换(左右平移),再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位长度,而先周期变换(伸缩变换),再平移变换(左右平移),平移的量是

个单位长度.常用结论1.三角函数图象的平移规则是“左加右减”“上加下减”.2.在函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)中,若其最大值、最小值分别为M,m,则自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.(

)4.由图象求函数解析式时,振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(

)×××√C解析

依题意,应把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的

倍,横坐标不变.6.(人教A版必修第一册习题5.6第4题)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示,此函数的解析式为_______________.

D研考点精准突破考点一函数y=Asin(ωx+φ)的图象(多考向探究预测)DBDA规律方法三角函数图象变换的关键点三角函数的平移变换问题类型多、情况复杂、技巧性强,在解题时容易出现错误,破解此类题的关键如下:(1)定函数:一定要看准是将哪一个函数的图象变换得到哪一个函数的图象.(2)变同名:变换前后函数的名称要一样.(3)选方法:即选择变换方法.要注意:对于函数y=sin

ωx(ω>0)的图象,向左平移|φ|个单位长度得到的是函数y=sin[ω(x+|φ|)]的图象.ACBC[对点训练2](多选题)(2020·新高考Ⅰ,10)右图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=(

)BC考点二函数y=Asin(ωx+φ)图象、性质的综合应用BC(-2,-1)变式探究(换条件)本例(2)中,若将“有两个不同的实数根”改为“有实根”,则m的取值范围是__________.

[-2,1)规律方法利用三角函数图象解决方程根或零点问题的方法(1)研究函数y=Asin(ωx+φ)在给定区间上零点个数问题时,仍然采用整体换元的方法,将ωx+φ

作为一个整体,结合函数的周期性确定ωx+φ

的范围,从而解决问题.(2)将方程的根转化为两函数图象的交点问题,结合三角函数的周期性,建立不等式组进行求解.BCD考点三三角函数模型的简单应用例4(2024·广东珠海一中模拟)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转(如图1),某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面10米,摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图2),开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动,游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱,摩天轮转完一周后游客在相同的位置离开座舱,摩天轮转一周需要30分钟,当游客甲坐上摩天轮的座舱时开始计时.(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米,已知H关于t的函数解析式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B(其中A>0,ω>0,|φ|≤π),求摩天轮转动一周的函数解析式H(t);(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度恰好为30米?规律方法三角函数模型在实际应用中的2种类型及其解题策略(1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系;(2)把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.[对点训练4](多选题)(2024·湖南长沙明德中学模拟)心脏跳动时,血压在增加或减小,血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压,健康成年人的收缩压和舒张压一般为120~140mmHg和60~90mmHg,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)=a+bsin

ωt,其中p(t)为血压(单位