2025优化设计一轮 任意角、弧度制及三角函数的概念

第五章三角函数、解三角形高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025领航

备考路径

新课标核心考点2020202120222023Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.三角恒等变换

第6题

第6题第8题第7题2.三角函数的图象与性质第10题第11题第4题

第6题第9题第15题第16题3.正弦、余弦定理,解三角形第17题第17题第19题第18题第18题第18题第17题第17题优化备考策略从题型和题量上看,高考对本专题考查基本稳定在“两小一大”的方式,总分约20~22分.从内容上看,小题主要考查三角函数的图象与性质,三角恒等变换等,解答题则主要考查三角恒等变换及利用正弦、余弦定理解三角形,且可能命制多条件选择的开放性题目,难度中等.复习本章时:(1)熟记公式:本单元公式众多,公式是解决题目的根本和工具,需熟练记忆.(2)掌握重要知识点:常见考点有三角函数的定义、图象和性质,诱导公式,同角三角函数关系式,和、差、倍角公式,三角函数图象变换,用正弦、余弦定理解三角形等.(3)提升运算正确率:要注意对三角恒等变换及解三角形等问题的训练,以提升运算的正确率.(4)重视知识交汇:三角函数与解三角形常与平面向量、圆、函数等知识综合.第1节任意角、弧度制及三角函数的概念课标解读1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性.2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,并能利用三角函数的定义解决相关问题.研考点精准突破目录索引

强基础固本增分12强基础固本增分知识梳理1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的__________旋转所成的图形.

(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为__________.

(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=____________________.

(5)象限角:使角的顶点与原点重合,角的始边与____________________重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.

角有正负之分,不但要注意角的大小,还要注意角的正负

端点

正角

负角

零角

象限角

轴线角

-α{β|β=α+k·360°,k∈Z}x轴的非负半轴

微思考1锐角一定是第一象限角吗?第一象限角一定是锐角吗?微思考2终边相同的角是否一定相等?提示

锐角一定是第一象限角.但第一象限角不一定是锐角.提示

终边相同的角不一定相等,它们之间相差360°的整数倍.2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号

rad表示,读作弧度.(2)公式角α的弧度数公式|α|=__________(l表示弧长)

角度与弧度的换算1°=__________rad;

1rad=__________°

弧长公式弧长l=__________扇形面积公式S=__________=|α|r2

利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度|α|r微点拨有关弧度制的注意点:(1)角度制与弧度制可利用180°=π

rad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.(2)注意扇形圆心角弧度数的取值范围是(0,2π],实际问题中注意根据这一范围进行取舍.3.任意角的三角函数(1)定义:设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),那么sin

α=__________,cos

α=__________,tan

α=__________.

(2)定义的推广:设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,它到原点O的距离为r(r>0),则

sin

α=__________,cos

α=__________,tan

α=__________.(3)三角函数值在各象限内的符号口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦

yx微点拨当角α的终边与x轴重合时,正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余弦值为0,正切值不存在.常用结论1.象限角的集合2.轴线角的集合自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.-是第三象限角.(

)2.第二象限角必大于第一象限角.(

)3.终边相同的角一定相等.(

)4.若sin

α>0,则α是第一或第二象限角.(

)××××题组二

回源教材5.(人教A版必修第一册5.1.2节练习1,2改编)将下列角度化成弧度,弧度化成角度:(1)-210°=__________;

(2)22°30'=__________;

(3)=__________.

54°6.(人教A版必修第一册180页5.2.1节练习第3题改编)已知角θ的终边过点P(-12,5),则sin

θ=__________,cos

θ=__________,tan

θ=__________.

7.(人教A版必修第一册182页5.2.1节练习第4题)对于①sin

θ>0,②sin

θ<0,③cos

θ>0,④cos

θ<0,⑤tan

θ>0与⑥tan

θ<0,选择恰当的关系式序号填空:(1)角θ为第一象限角的充要条件是_____________________________;

(2)角θ为第二象限角的充要条件是_____________________________;

(3)角θ为第三象限角的充要条件是_____________________________;

(4)角θ为第四象限角的充要条件是_____________________________.

①③或①⑤或③⑤或①③⑤①④或①⑥或④⑥或①④⑥②④或②⑤或④⑤或②④⑤②③或②⑥或③⑥或②③⑥题组三

连线高考8.(2014·全国大纲,文2)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos

α=(

)D9.(2007·北京高考)已知cos

θ·tan

θ<0,那么角θ是(

)A.第一或第二象限角

B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角

D.第一或第四象限角C解析

∵cos

θ·tan

θ<0,∴当cos

θ<0,tan

θ>0时,θ是第三象限角;当cos

θ>0,tan

θ<0时,θ是第四象限角.研考点精准突破考点一象限角与终边相同的角例1(1)在与1030°角终边相同的角中,最大的负角是__________;最小的正角是__________.

(2)若α是第一象限角,则

是第__________象限角.

-50°310°一或三

解析

(1)与角1

030°终边相同的角可以表示为α=1

030°+k·360°,k∈Z,当k=-3时,α=-50°;当k=-2时,α=310°,所以在与角1

030°终边相同的角中,最大的负角是-50°,最小的正角是310°.变式探究1(换结论)例1(2)改为“若α是第一象限角,则2α是第几象限角?”解

因为α是第一象限角,所以k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z),所以2k·360°<2α<2k·360°+180°(k∈Z).令m=2k,m∈Z,则m·360°<2α<m·360°+180°,m∈Z,所以2α是第一、第二象限角或终边在y轴的非负半轴上.变式探究2例1(2)改为“若α是第一象限角,则

是第几象限角?”2.求

或nθ(n∈N*)所在象限的步骤(1)将θ的范围用不等式(含有k,且k∈Z)表示;(2)两边同除以n或乘n(n∈N*);(3)对k进行分类讨论,确定

或nθ(n∈N*)所在的象限.[提醒]注意“顺转减,逆转加”的应用,如角α的终边逆时针旋转180°可得角α+180°的终边,类推可知α+k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角.[对点训练1](多选题)与-835°角终边相同的角有(

)A.-115°

B.245°C.475°

D.-475°ABD解析

与-835°角终边相同的角可表示为-835°+k·360°,k∈Z,当k=1时,为-475°;当k=2时,为-115°;当k=3时,为245°;当k=4时,为605°.故选ABD.考点二弧度与扇形面积公式例2已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l,(1)若α=30°,R=10cm,求扇形的弧长l;(2)若α=,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积;(3)若扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?规律方法有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.[对点训练2](1)(2024·天津河东模拟)在面积为4的扇形中,其周长最小时半径的值为(

)C(2)(2024·上海南洋模范中学模拟)已知扇形圆心角α=,α所对的弧长l=6π,则该扇形面积为__________.

54π考点三三角函数的概念及其应用(多考向探究预测)考向1三角函数定义的应用例3(1)(2024·北京昌平二中期中)角α以Ox为始边,它的终边与单位圆O相交于第四象限的点P,且点P的横坐标为,则tan

α的值为__________.

(2)(2024·北京八一中学校考)已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(m,-3),且tan

α=-,则sin

α的值为__________.

B考向2三角函数值符号的判断例4(