2022-2023学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷

2022-2023学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。15分）已知函数f（xlnx﹣2x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1处切线的斜率为()25分）为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者．现从所有报名的志愿者中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列关于样本数据的分析正确的是()A．老年男性志愿者人数为90B．青年女性志愿者人数为72C．老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数D．中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数35分）一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则不同的停放方法数为()A．70B．256C．1680D．409645分）袋子里有6个大小相同的球，其中2个黑球，4个白球，有放回的取3次，每次随机取1个，设此过程中取到黑球的次数为ξ,则P(ξ=1）=()55分）已知（x+m）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+……+a5（x+1）5，0ai＝32，则实数m=()65分）已知f（x）是定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，若f′（x）+f（x0，f（1）=，则f(lnx)＜的解集是()A0，1）B0，e）C1，+∞)De，+∞)75分）将三项式展开，得到下列等式：（x2+x+1）0＝1；（x2+x+1）1＝x2+x+1；（x2+x+1）2＝x4+2x3+3x2+2x+1；（x2+x+1）3＝x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1；观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角：若关于x的多项式（x2+ax﹣3x2+x+1）5的展开式中，x8的系数为30，则实数a=()85分）已知函数f（xx2﹣2ax+a2+（e2x+2﹣2a）2，若存在x0，使得f(x0)≤成立，则=()二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。（多选）95分）已知函数f（xx3﹣3x﹣2，则()A．f（x）在区间(﹣1，1）上单调递增B．f（x）有两个极值点C．f（x）有三个零点D．直线y=﹣4是曲线y＝f（x）的切线（多选）105分）已知离散型随机变量X的分布列为X01P 3 82t2t1 t2则下列说法正确的是()A．t＝1或B．E(X)=C．D(X)=D．D（8X+9）＝64A．bi=8B．b1b2＞1̂̂A．bi=8B．b1b2＞1̂̂̂将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据（xi，yii＝1，2，…，20经计算得：σ1xi＝60，σ1yi＝1200，σ1(xi−x）2＝80，σ1(xi−x)(yi−y640．该小组利用这组数据分别建立了y关于x的线性回归方程l1：=1x+1和x关于y的线性回归方程l2：y将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据（xi，yii＝1，2，…，覆盖面积x和野生动物数量y一致．则下列说法正确的是 C．l1经过点（3，60）D．l2经过点（3，60）（多选）125分）记两个函数f(x)=Atanx，x∈(，)，g（xxα的图象的公共点个数是φ（A，A．φ（1，﹣1）＝1B．φ（1，1）＝1C．φ（1，2）＝1D．φ(2，)=2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。135分）已知A=90，则c+2的值为．155分）已知函数f（xx（lnx+a）在（1，+∞）上单调递增，则a的最小值为．165分）为研究某新型番茄品种，科学家对大量该品种果实颜色进行了统计，发现果皮为黄色的番茄约占．果皮为黄色的番茄中，果肉为红色的约占；果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占．根据上述数据，估计该新型番茄果肉为红色的概率值为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1710分）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射升空，备受关注的“天宫课堂”将继续授课．为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据：喜欢天宫课堂不喜欢天宫课堂合计男生75参考公式：X2参考公式：X2=(a+b)(b+d)，其中n＝a+b+c+d.1812分）已知2c+22c+23c+⋯+2nc=728.45合计200已知从这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢“天宫课堂”的学生的概率为.（1）请将上面的2×2列联表补充完整；（2）根据以上数据，依据小概率值α=0.010的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“天宫课堂”与性别有关联？α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828（1）求n的值；（2）求(x+)n的二项展开式中的常数项.1912分）已知函数f(x)=x2−(a+1)x+alnx.（1）若f（x）在x＝2处取得极值，求实数a的值；（2）讨论f（x）的单调性.2012分）某学校举办知识竞赛，规则是：比赛共三轮，每名选手只有通过上一轮才能进入下一轮，每轮比赛有两次挑战机会，若第一次挑战成功则直接进入下一轮，第一次不成功可以再挑战一次，若成功同样进入下一轮，两次均未成功，选手比赛终止．已知每次挑战是否成功相互独立.（1）若选手甲第一轮每次挑战成功的概率为，第二轮每次挑战成功的概率为，求选手甲可以进入第三轮的概率；（2）已知共有2000名选手参加竞赛，竞赛采用计分制，选手得分X～N（212，σ2其中270分以上的选手有46名，学校决定对得分高的前317名选手进行表彰，若选手乙的得分为231分，问乙能否获得表彰.附：若随机变量X～N(μ,σ²),则P(μ﹣σ≤X≤μ+σ)≈0.683；P(μ﹣2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954；P(μ﹣3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.2112分）为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产.（1）现从试产的新产品中取出6件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对6件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望；（2）设每件新产品为次品的概率都为p（0＜p＜1且各件新产品是否为次品相互独立．记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为f（p问p取何值时，f（p）最大.2212分）已知函数f（xex﹣1+ax2，其中a∈R.（1）若f（x）存在唯一的极值点，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：x+x＞2(a+1)+e.2022-2023学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。15分）已知函数f（xlnx﹣2x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1处切线的斜率为()【解答】解：函数f（x）＝lnx﹣2x，可得f'（x）=2，所以f'（1）＝1﹣2=﹣1，因此曲线y＝f（x）在点（1，f（1处的切线的斜率为﹣1；故选：B.25分）为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者．现从所有报名的志愿者中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列关于样本数据的分析正确的是()A．老年男性志愿者人数为90B．青年女性志愿者人数为72C．老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数D．中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数【解答】解：根据饼状图老年志愿者占比10%，则人数为10%×300＝30＜90，故A错，青年志愿者占比60%，则人数为300×60%＝180人，而女性占比40%，则青年女性志愿者人数为180老年女性志愿者人数为30×70%＝21人，中年女性人数为300×30%×30%＝27人，则C错误；中年男性志愿者人数为300×30%×70%＝63人，青年男性志愿者人数为300×60%×60%＝108，则D错误.故选：B.35分）一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则不同的停放方法数为()A．70B．256C．1680D．4096【解答】解：一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则不同的停放方法数为A=8×7×6×5＝1680.故选：C.45分）袋子里有6个大小相同的球，其中2个黑球，4个白球，有放回的取3次，每次随机取1个，设此过程中取到黑球的次数为ξ,则P(ξ=1）=()A1B1【解答】解：由题意可知ξ=1表示三次中，有且只有一次取到黑球，另外两次取到白球，每一次取到黑球的概率为=，则取到白球的概率为，所以P(ξ=1）=C××()2=.故选：C.55分）已知（x+m）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+……+a5（x+1）5，0ai＝32，则实数m=()【解答】解：已知（x+m）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+……+a5（x+1）5，0ai＝32，故选：D.65分）已知f（x）是定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，若f′（x）+f（x0，f（1）=，则f(lnx)＜的解集是()A0，1）B0，e）C1，+∞)De，+∞)【解答】解：记g（xexf（x则g′（xexf（x）+exf′（xex[f′（x）+f（x）]，因为f′（x）+f（x0，所以g′（x0，所以g（x）在R上单调递增，由f(lnx)＜知x＞0，所以原不等式等价于xf（lnx1，又因为f（1）=，所以g（1）＝ef（1）＝1，所以原不等式等价于elnxf（lnxef（1即g（lnxg（1所以lnx＜1，解得0＜x＜e，即f(lnx)＜的解集是（0，e）.故选：B.75分）将三项式展开，得到下列等式：（x2+x+1）0＝1；（x2+x+1）1＝x2+x+1；（x2+x+1）2＝x4+2x3+3x2+2x+1；（x2+x+1）3＝x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1；观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角：若关于x的多项式（x2+ax﹣3x2+x+1）5的展开式中，x8的系数为30，则实数a=()【解答】解：由题意可得x2+x+1）5＝x10+5x9+15x8+30x7+45x6+51x5+45x4+30x3+15x2+10x+1，则（x2+ax﹣3x2+x+1）5的展开式中，x8的系数为1×45+a×30+(﹣3）×15＝30a，又x8的系数为30，故选：A.85分）已知函数f（xx2﹣2ax+a2+（e2x+2﹣2a）2，若存在x0，使得f(x0)≤成立，则=()【解答】解：已知函数f（xx2﹣2ax+a2+（e2x+2﹣2a）2x﹣a）2+（e2x+2﹣2a）2，此时函数f（x）可以看作是动点M（x，e2x+2）与动点N（a，2a）之间距离的平方，因为动点M在函数g（xe2x+2的图象上，动点N在直线y＝2x上，要求问题转化成求直线上的动点到曲线的最小距离，）＝此时2e2x+2＝2，解得x=﹣1，则点(﹣1，1）到直线y＝2x的最小距离d=，所以f（x）≥d2=，若存在x0，使得f(x0)≤成立，此时f（x0）=，即直线MN与直线y＝2x垂直，点N恰好为垂足，因为kMN即直线MN与直线y＝2x垂直，点N恰好为垂足，所以×2=﹣1，5故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。（多选）95分）已知函数f（xx3﹣3x﹣2，则()A．f（x）在区间(﹣1，1）上单调递增B．f（x）有两个极值点C．f（x）有三个零点D．直线y=﹣4是曲线y＝f（x）的切线【解答】解：已知f（xx3﹣3x﹣2，函数定义域为R，可得f′（x3x2﹣3＝3（x+1x﹣1当x<﹣1时，f′（x0，f（x）单调递增；当﹣1＜x＜1时，f′（x0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x0，f（x）单调递增，所以当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，极大值f(﹣1）＝0，当x＝1时，函数f（x）取得极小值，极小值f（1）=﹣4，作出函数f（x）图象如下所示：所以函数f（x）在区间(﹣1，1）上单调递减，故选项A错误；函数f（x）有两个极值点，别分为x=﹣1，x＝1，故选项B正确；函数f（x）存在两个零点，故选项C错误；不妨设切点为（x0，f（x0则曲线y＝f（x）在切点处的切线方程为yx−3x0﹣23x−3x﹣x0即y3x−3）x﹣2x−2，y＝f（x）的切线，解得x0＝1，符合题意，则直线y=﹣4是曲线y＝f（x）的切线，故选项D正确.故选：BD.（多选）105分）已知离散型随机变量X的分布列为X01P 3 82t2t1 t2则下列说法正确的是()A．t＝1或B．E(X)=C．D(X)=D．D（8X+9）＝64【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，由X的分布列，有+2t2t+t＝1，解可得t＝1或，0＜t＜1又由0＜2t20＜t＜1＜1则离散型随机变量X的分布列为X01P 3 8 1 8 1 2则E（X1）×+0×+1×=，B正确；对于C，D（X1−）2×+（0−）2×+（1−）2×=，C正确；对于D，D（8X+9）＝64D（x）＝55，D错误．故选：BC．（多选）115分）为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据（xi，yii＝1，2，…，20经计算得：σ1xi＝60，σ1yi＝1200，σ1(xi−x）2＝80，σ1(xi−x)(yi−y640．该小组利用这组数据分别建立了y关于x的线性回归方程l1：=1x+1和x关于y的线性回归方程l2：y+2，并把这两条拟合直线画在同一平面直角坐标系xOy下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致．则下列说法正确的是 ̂̂̂A．bi=8B．b1⋅̂̂̂C．l1经过点（3，60）D．l2经过点（3，60）【解答】解：对于选项A，=σC．l1经过点（3，60）D．l2经过点（3，60）ry)，对于选项C和D，由题意知，x=σ1xi＝3，y=σ1yi＝60，所以线性回归方程l1和l2均经过样本中心点（3，60即选项C和D正确.故选：ACD.（多选）125分）记两个函数f(x)=Atanx，x∈(，)，g（xxα的图象的公共点个数是φ（A，，﹣）＝）＝）＝【解答】解：对于A，当A＝1，α=﹣1时，f（xtanx，x∈(g（xx﹣1，在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝g（x）的图象，如图所示：由此可得两函数有2个交点，所φ（112，故A错误；对于B，当A＝1，α=1时，f（xtanx，x∈(g（xx，在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝g（x）的图象，如图所示：由此可得两函数有1个交点，所φ（1，1）＝1，故B正确；对于C，当A＝1，α=2时，f（xtanx，x∈(g（xx2，在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝g（x）的图象，如图所示：由此可得两函数有1个交点，所φ（1，2）＝1，故C正确；对于D，当A＝2，α=时，f（x2tanx，x∈(g（x）=x=x，在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝g（x）的图象，如图所示：由此可得两函数有2个交点，所φ（22，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。135分）已知A=90，则C+2的值为66.【解答】解：因为A=90，即n（n﹣1）＝90，且n∈N+，则C=C2=66.故答案为：66.【解答】解：因为随机变量X～N(μ,σ2若P（X＜20.2，P（X＜30.5，则对称轴为μ=3，则P（2＜X＜3）＝0.5﹣0.2＝0.3，则P（X＜4）＝0.5+0.3＝0.8.故答案为：0.8.155分）已知函数f（xx（lnx+a）在（1，+∞)上单调递增，则a的最小值为﹣1.【解答】解：因为函数f（xx（lnx+a）在（1，+∞)上单调递增，所以f′（xlnx+a+1≥0在（1，+∞)上恒成立，即a≥﹣lnx﹣1在（1，+∞)上恒成立，令g（x）=﹣lnx﹣1，因为g（x）在（1，+∞)上单调递减，所以g（xg（1）=﹣1，所以a≥﹣1，即a的最小值为﹣1.故答案为1.165分）为研究某新型番茄品种，科学家对大量该品种果实颜色进行了统计，发现果皮为黄色的番茄约占．果皮为黄色的番茄中，果肉为红色的约占；果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占．根据上述数据，估计该新型番茄果肉为红色的概率值为.【解答】解：黄皮非红肉的番茄为P1=×(1)=×=， 因为果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占，参考公式：X2=(a+b)(b+d)，其中n＝a+b+c+d.所以=P参考公式：X2=(a+b)(b+d)，其中n＝a+b+c+d.四、解答题： 1 .4本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1710分）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射升空，备受关注的“天宫课堂”将继续授课．为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据：喜欢天宫课堂不喜欢天宫课堂合计男生75女生45合计200已知从这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢“天宫课堂”的学生的概率为.（1）请将上面的2×2列联表补充完整；（2）根据以上数据，依据小概率值α=0.010的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“天宫课堂”与性别有关联？α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【解答】解1）由题意可得：喜欢天宫课堂不喜欢天宫课堂合计男生7525女生5545合计70200（2）零假设为H0：喜欢天宫课堂与性别之间无关联，x2=20)2≈8.791＞6.635，根据小概率值α＝0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜欢天宫课堂与性别有关系，故依据小概率值α＝0.010的独立性检验，能认为该校学生喜欢“天宫课堂”与性别有关联．1812分）已知2c+22c+23c+⋯+2nc=728．（1）求n的值；（2）求(x+)n的二项展开式中的常数项．【解答】解1）因为2c+22c+23c+⋯+2nc=728=（1+2）n﹣1，（2）由（1）知，n＝6，∴(x+)n的通项公式为Tr+1=cx6−r()r=c⋅()rx6r，r＝0，1，…，6，令6r=0，解得r＝4，∴展开式中的常数项为T5=()4c=，故二项展开式中的常数项为．1912分）已知函数f(x)=x2−(a+1)x+alnx．（1）若f（x）在x＝2处取得极值，求实数a的值；（2）讨论f（x）的单调性．【解答】解1）依题意，f'(x)=x−(a+1)+，解得：a＝2，经检验，符合题意．（2）函数定义域为（0，+∞因为f(x)=x−(a+1)+=(x−ax−1)，所以，当a＝1时f'(x)=(x1)2≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a≤0时，若0＜x＜1，f'（x0，f（x）在（0，1）递减，若x＞1，f'（x0，f（x）在（1，+∞）递增；当0＜a＜1时，若a＜x＜1，f'（x0，f（x）在（a，1）单调递减，若0＜x＜a或x＞1，f'（x0，f（x）在（0，a）和（1，+∞）递增；当a＞1时，若1＜x＜a，f'（x0，f（x）在（1，a）单调递减，若0＜x＜1或x＞a，f'（x0，f（x）在（0，1）和（a，+∞）单调递增；综上，当a≤0时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；当0＜a＜1时，f（x）在（a，1）单调递减，在（0，a）和（1，+∞）单调递增；当a＝1时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞1时，f（x）在（1，a）单调递减，在（0，1）和（a，+∞）单调递增．2012分）某学校举办知识竞赛，规则是：比赛共三轮，每名选手只有通过上一轮才能进入下一轮，每轮比赛有两次挑战机会，若第一次挑战成功则直接进入下一轮，第一次不成功可以再挑战一次，若成功同样进入下一轮，两次均未成功，选手比赛终止．已知每次挑战是否成功相互独立．（1）若选手甲第一轮每次挑战成功的概率为，第二轮每次挑战成功的概率为，求选手甲可以进入第三轮的概率；（2）已知共有2000名选手参加竞赛，竞赛采用计分制，选手得分X～N（212，σ2其中270分以上的选手有46名，学校决定对得分高的前317名选手进行表彰，若选手乙的得分为231分，问乙能否获得表彰．附：若随机变量X～N（μ，σ²则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.683；P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.954；P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.997．【解答】解1）设Bi：第i次通过第二关，Ai：第i次通过第一关，甲可以进入第三关的概率为P，由题意知PP（A1）+P（A1A2•（P（B1）+P（B1B2+×+×）=．（2）∵选手得分X～N（212，σ2∴对称轴为μ＝212，∵=0.1585%，且P(X＞μ+σ)=1−P(μ−σX≤μ+σ)=1−6830.1585， ∴20=0.023%，且(X＞μ+2σ)=1−P(μ−2σX≤μ+2σ)=1−954≈0.023，∴μ+2σ＝270，则σ=270212=2∴前317名参赛者的最低得分高于μ+σ＝241，而乙的得分为231分，所以乙无法获得奖励．2112分）为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产．（1）现从试产的新产品中取出6件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对6件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望；（2）设每件新产品为次品的概率都为p（0＜p＜1且各件新产品是否为次品相互独立．记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为f（p问p取何值时，f（p）最大.【解答】解1）根据题意可知X的取值可能为2，3，4，5，则可以得到：P(x=2)==，P（X＝3）=×=，P（X＝4）=×=，P（X＝5）=×=