2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（4）练习题及答案解析

2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（四）1．（2023·广东·高三校联考阶段练习）若函数恰有两个零点，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2023·广东·高三校联考阶段练习）若直角坐标平面内，两点满足：①点，都在函数的图象上；②点，关于原点对称，则称点是函数的一个“姊妹点对”点对与可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数恰有两个“姊妹点对”，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·广东广州·高三统考阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．4．（2023·广东广州·高三统考阶段练习）已知数列满足，记，则（

）A． B．C． D．5．（2023·广东广州·高三校联考阶段练习）若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是A． B． C． D．6．（2023·广东广州·高三校联考阶段练习）已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的周期为2 B．函数关于直线对称C．函数关于点中心对称 D．7．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）若存在实数a，对任意的x∈[0，m]，都有(sinx－a)·(cosx－a)≤0恒成立，则实数m的最大值为(

)A． B．C． D．8．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知函数的定义域为R，，且在上递增，则的解集为（

）A． B．C． D．9．（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知，化简的结果是（

）A． B． C． D．10．（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）设是定义域为的奇函数，且，当时，，则（

）A． B． C． D．11．（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知向量，，若关于的方程在上的两根为，则的值为（

）A． B． C． D．14．（2023·湖北·高三鄂南高中校联考阶段练习）已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且关于点中心对称.设，若，（

）A． B． C． D．15．（2023·湖北恩施·高三校考阶段练习）如图，在平行四边形中，是边的中点，是的一个三等分点（），若存在实数和，使得，则（

）A． B． C． D．16．（2023·山东潍坊·高三统考阶段练习）设是定义域的奇函数，是偶函数，且当，.若，则(

)A． B． C． D．17．（2023·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．18．（2023·山东滨州·高三校联考阶段练习）已知正方体的棱长为3，点P在内运动，且满足PB=2，则点P的轨迹长度为（

）A． B． C． D．19．（2023·山东滨州·高三校联考阶段练习）设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则的最小值是（

）A． B． C． D．820．（2023·山东聊城·高三校考阶段练习）设函数则满足不等式的x的取值范围是（

）A．−23+2578,+∞ B． C． D．21．（2023·山东聊城·高三校考阶段练习）边长为8的等边所在平面内一点O，满足，若M为边上的点，点P满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．22．（2023·福建莆田·高三莆田一中校考阶段练习）已知函数，方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．23．（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知函数，，，，若，，则（

）．A． B．C． D．24．（2023·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为，，，若，则（

）A． B． C． D．25．（2023·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．26．（多选题）（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知分别是函数和的零点，则（

）A． B．C． D．27．（多选题）（2023·广东广州·高三统考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（

）A．平面平面，且两平面的距离为B．当点在线段上运动时，四面体的体积恒等于四面体的体积C．与正方体所有棱都相切的球的体积为D．若是正方体的内切球的球面上任意一点，是外接圆的圆周上任意一点，则的最小值是28．（多选题）（2023·广东广州·高三校联考阶段练习）已知函数，则下列结论正确的有（

）A．若，则有2个零点 B．存在，使得有1个零点C．存在，使得有3个零点 D．存在，使得有3个零点29．（多选题）（2023·广东广州·高三校联考阶段练习）已知函数的零点为，函数的零点为，则（

）A． B． C． D．30．（多选题）（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）如图所示，在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（

）A．四面体的体积为定值B．当，分别为棱，的中点时，则在正方体中存在棱与平面平行C．直线与平面所成角的正切值的最小值为D．当，分别为棱，的中点时，则过，，三点作正方体的截面，所得截面为五边形31．（多选题）（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是（

）A．若，则是数列的最大项B．若数列有最小项，则C．若数列是递减数列，则对任意的：，均有D．若对任意的，均有，则数列是递增数列32．（多选题）（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．函数的零点为，C．若，则，D．若，则33．（多选题）（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知数列的前项和，，数列的前项和满足对任意恒成立，则下列命题正确的是（

）A． B．当为奇数时，C． D．的取值范围为34．（多选题）（2023·湖北·高三鄂南高中校联考阶段练习）设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得(为常数)，则称函数在上的均值为，下列函数中在其定义域上的均值为的有（

）A． B．C． D．35．（多选题）（2023·湖北·高三鄂南高中校联考阶段练习）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的值可以为（

）A． B．4 C． D．2236．（多选题）（2023·山东潍坊·高三统考阶段练习）关于函数，，下列说法正确的是（

）A．对，恒成立B．对，恒成立C．函数的最小值为D．若不等式对恒成立，则正实数的最小值为37．（多选题）（2023·山东滨州·高三校联考阶段练习）如图，在正四棱柱中，，分别是棱，，的中点，则（

）A．B．平面C．直线与是异面直线D．直线与平面的交点是的外心38．（多选题）（2023·山东滨州·高三校联考阶段练习）已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根，分别为，且，则下列说法正确的有（）A． B．C． D．的取值范围为39．（多选题）（2023·山东聊城·高三校考阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为B．已知O是所在平面上一点，若，则O点是三角形的外心.C．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足，则△ABC为等腰三角形D．设向量满足，且，则向量在向量方向上的投影向量为40．（多选题）（2023·山东聊城·高三校考阶段练习）下列命题正确的是（

）A．已知幂函数在上单调递增，则B．函数有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个必要不充分条件是C．已知函数，若，则的取值范围为D．已知函数满足，，且与的图象的交点坐标依次为，则41．（多选题）（2023·福建莆田·高三莆田一中校考阶段练习）已知定义在的函数满足以下条件：（1）对任意实数恒有；（2）当时，的值域是（3）则下列说法正确的是（

）A．值域为B．单调递增C．D．的解集为42．（多选题）（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知函数，则以下判断正确的是（

）A．函数的零点是B．不等式的解集是．C．设，则在上不是单调函数D．对任意的，都有．43．（多选题）（2023·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知，，给出下列结论：其中正确结论是（）A．若，，且，则B．存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称C．若在上恰有7个零点，则的取值范围为D．若在上单调递增，则的取值范围为44．（多选题）（2023·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知函数，其中是自然对数的底数，函数则（）A．若，则函数的零点为B．方程有两个不同根，则C．若，则函数有个的零点D．若函数有个的零点，则45．（多选题）（2023·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知定义在的函数满足，且，当时，，则（

）A．B．是偶函数C．在上单调递减，在上单调递增D．不等式的解集是46．（多选题）（2023·河北邢台·高三校联考阶段练习）关于x的不等式在上恒成立，则（

）A． B．C． D．47．（2023·广东·高三校联考阶段练习）函数在上不单调，则实数a的取值范围是．48．（2023·广东广州·高三统考阶段练习）双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为．49．（2023·广东广州·高三统考阶段练习）设函数在区间恰有两个零点，则的取值范围是．50．（2023·广东广州·高三校联考阶段练习）若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是.51．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为．52．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为120°，，则三棱锥的外接球的表面积为.53．（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知函数若关于的方程，有4个不同的实数根，则的取值范围为.54．（2023·湖北·高三鄂南高中校联考阶段练习）有这样一个事实:函数与有三个交点，，在直线上.一般地，我们有结论:对于函数与的图象交点问题，当时，有三个交点，当时有一个交点，借助导数可以推导:当时有两个交点，当时有一个交点，当时没有交点，先推导出的值，并且求：关于的方程在上只有一个零点，的取值范围为．55．（2023·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围.56．（2023·山东滨州·高三校联考阶段练习）已知，，若存在，，使得，则称函数与互为“阶逼近函数”.若与互为“1阶逼近函数”，则实数的取值范围为.57．（2023·山东聊城·高三校考阶段练习）已知函数，若，使不等式成立，则实数m的取值范围为.58．（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）若函数，当时，恒有，则实数t的取值范围．59．（2023·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知的定义域为且对于任意正数都有，且当时，，则不等式的解集为．60．（2023·河北邢台·高三校联考阶段练习）某迷宫隧道猫爬架如图所示，，C为一个长方体的两个顶点，，是边长为3米的大正方形的两个顶点，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小猫从点沿着图中的线段爬到点，再从点沿着长方体的棱爬到点，则小猫从点爬到点可以选择的最短路径共有条.

（2023·福建莆田·高三莆田一中校考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，.则当，；若与的图象交于点､､，则.2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（四）1．（2023·广东·高三校联考阶段练习）若函数恰有两个零点，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知方程即有两个不同的解，即与有两个不同的交点，记，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以当时，函数有极大值，当时，函数有极小值.又因为时，；时，，且，如下图：数形结合可知时，函数恰有两个零点.故选：C．2．（2023·广东·高三校联考阶段练习）若直角坐标平面内，两点满足：①点，都在函数的图象上；②点，关于原点对称，则称点是函数的一个“姊妹点对”点对与可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数恰有两个“姊妹点对”，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知函数恰有两个“姊妹点对”，等价于函数，与函数，的图象恰好有两个交点，所以方程，即在上有两个不同的解，构造函数，则，当时，，函数区间上单调递增，不符合题意；当时，令，解得，所以函数在区间上单调递增，令，解得，所以函数在区间上单调递减，所以，解得，又由，所以函数在上有且仅有一个零点，令，则，令，解得，所以函数在区间上单调递增，令，解得，所以函数在区间上单调递减，所以，所以，即，又由，所以函数在上有且仅有一个零点．综上可得：，即实数的取值范围是．故选：A.3．（2023·广东广州·高三统考阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，所以，即，.故选：D.4．（2023·广东广州·高三统考阶段练习）已知数列满足，记，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为数列满足，，所以，所以，故AB错误；又，所以，即，所以，故C正确；因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，故D错误.故选：C.5．（2023·广东广州·高三校联考阶段练习）若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】，，设切点为，则，，.原式，当且仅当，即时等号成立，即.故选:C.6．（2023·广东广州·高三校联考阶段练习）已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的周期为2 B．函数关于直线对称C．函数关于点中心对称 D．【答案】C【解析】∵为偶函数，∴，∴，故即，∴函数的图象关于直线对称.∵为奇函数，∴，∴，所以函数的图象关于点对称，故B错误，C正确；由及知，，∴，∴，即，∴，故∴函数的周期为4，A错误，，故D错误.故选：C.7．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）若存在实数a，对任意的x∈[0，m]，都有(sinx－a)·(cosx－a)≤0恒成立，则实数m的最大值为(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】在同一坐标系中，作出y＝sinx和y＝cosx的图象，当m＝时，要使不等式恒成立，只有a＝，当m＞时，在x∈[0，m]上，必须要求y＝sinx和y＝cosx的图象不在y＝a＝的同一侧.∴由图可知m的最大值是.故选：C.8．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知函数的定义域为R，，且在上递增，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数，满足，则关于直线对称，所以，即，又在上递增，所以在上递减，则可得函数的大致图象，如下图：所以由不等式可得，或，解得或，故不等式的解集为.故选：D.9．（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知，化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，且，则，可得，所以；又因为，且，可得，所以；综上所述：.故选：A.10．（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）设是定义域为的奇函数，且，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，则，可知4为的周期，且，可得.故选：C.11．（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知向量，，若关于的方程在上的两根为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，，可得：，设，当时，.且由，得在上的对称轴为.∵方程在上的两根为，∴，，且由得，∴.∴，∵当时，，∴，即有.又∵，∴，则，∴由得：，∴.故选：B.12．思路：函数图象的对称轴和对称中心可结合图象的对称轴和对称中心求解.13．方法：利用整体代换的方法求解，令，，可解得对称轴方程；令，，可解得对称中心横坐标，纵坐标为.对于、，可利用类似方法求解（注意的图象无对称轴）.14．（2023·湖北·高三鄂南高中校联考阶段练习）已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且关于点中心对称.设，若，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，且，所以，则，所以是以4为周期的周期函数.由可知，，则，所以，由得，，所以，则，所以，，…，，所以.故选：C.15．（2023·湖北恩施·高三校考阶段练习）如图，在平行四边形中，是边的中点，是的一个三等分点（），若存在实数和，使得，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为是的一个三等分点（），所以.因为是边的中点，所以.又，所以.故选：C.16．（2023·山东潍坊·高三统考阶段练习）设是定义域的奇函数，是偶函数，且当，.若，则(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是定义域的奇函数，所以，，因为当，，所以，从而，因为是偶函数，即的图像关于轴对称，因为图像是图像向左平移一个单位得到的，所以的图像关于对称，故，因为，所以，因为，，所以.故选：B.17．（2023·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意可知，方程在上有解，即在上有解，令，，则，时，时，所以在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为，又，，则的最大值为，所以的值域为，即可得的取值范围是.故选：C18．（2023·山东滨州·高三校联考阶段练习）已知正方体的棱长为3，点P在内运动，且满足PB=2，则点P的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设点B到平面的距离为，因为，所以，因为正方体的棱长为3，所以等边的边长为，所以，所以，解得，所以点B为球心，2为半径的球面与平面相交的圆半径为为半径的圆，又因为等边的内切圆半径为，所以交线长为.故选：C.19．（2023·山东滨州·高三校联考阶段练习）设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则的最小值是（

）A． B． C． D．8【答案】D【解析】由已知，所以，所以数列是常数列.又，所以，即，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，故，由存在，使得成立可知，存在，使得成立，即，设，则，从而.记（），由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，所以的最小值是8.故选：D.20．（2023·山东聊城·高三校考阶段练习）设函数则满足不等式的x的取值范围是（

）A．−23+2578,+∞ B． C． D．【答案】D【解析】根据和与1的大小分类讨论．由已知是上的增函数，当时，，当，即，不等式显然成立，当时，，，所以，当时，，，不等式成立，综上不等式的解为．故选：D．21．（2023·山东聊城·高三校考阶段练习）边长为8的等边所在平面内一点O，满足，若M为边上的点，点P满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，由，得，即，取BC中点G，AB中点H，连接GH，则，即，取GH中点K，延长KG到O，使，则O为所求点，此时，所以，，∵点P满足，M为边上的点，∴当M与A重合时，有最大值，为，而，∴的最大值为，D正确.故选：D.22．（2023·福建莆田·高三莆田一中校考阶段练习）已知函数，方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题设，图象如下图示，令，要使原方程有6个不同的实数解，则有两个不同实根且，若，则，则，此时，，显然此时不合题意，故由图知：，即的两个零点分别在区间和内，而开口向上，故.故选：C23．（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知函数，，，，若，，则（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】设，则在上单调递减，因为，故，即，设，则，故在上单调递增，因为，故，即，由于，，故，则，即，所以A错误，B正确；由，，无法确定还是，C，D错误，故选：B24．（2023·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则函数即为函数，的最小正周期为，最小正周期为，作出函数，的大致图象，如图，则函数的图象与直线连续的三个公共点，，，等价于的图象与直线连续的三个公共点，，，（连续的三个公共点从左到右排列），由题意不妨设，，位置如图中所示（三点位置可左右平移一个周期），即，关于直线对称，，由于，则，故，而，关于直线对称，故点横坐标为，将点横坐标代入，得，则．故选：A25．（2023·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令得，因为，所以．因为在上恰有两个零点，所以，解得．故选：C26．（多选题）（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知分别是函数和的零点，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因为，分别是函数，的零点，所以，，那么，可以看做函数和与函数图像交点的横坐标，如图所示，点，，分别为函数，，的图像与函数图像的交点，所以，因为函数和互为反函数，所以函数图像关于的图像对称，的图像也关于的图像对称，所以点和关于点对称，，，故AB正确；由反函数的性质可得，因为单调递增，，所以，所以，故C错；当时，函数对应的函数值为，函数对应的函数值为，因为，所以，所以的范围为，那么，而，所以，故D正确.故选：ABD.27．（多选题）（2023·广东广州·高三统考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（

）A．平面平面，且两平面的距离为B．当点在线段上运动时，四面体的体积恒等于四面体的体积C．与正方体所有棱都相切的球的体积为D．若是正方体的内切球的球面上任意一点，是外接圆的圆周上任意一点，则的最小值是【答案】BCD【解析】对于A，正方体中，，即四边形为平行四边形，故，平面，平面，故平面，同理可证平面，而平面，故平面平面；设B到平面的距离为d，，则,即，则；同理求得到到平面的距离为；连接，则，由于平面平面，故，平面，故平面，平面，故，同理可证，而平面，故平面，而平面平面，则平面，又，故平面和平面之间的距离为，A错误；对于B，当点在线段上运动时，四面体的体积为；而四面体的体积，即当点在线段上运动时，四面体的体积恒等于四面体的体积，B正确；对于C，与正方体所有棱都相切的球的直径为正方体面对角线长,故该球体积为，C正确；对于D，正方体的内切球球心和正方体外接球球心是同一个点，即为正方体的中心，外接球直径为，内切球直径为1；而外接圆为正方体外接球的一个小圆，故由是正方体的内切球的球面上任意一点，是外接圆的圆周上任意一点，得的最小值为正方体的外接球半径减去正方体球内切球半径，即，D正确，故选：BCD28．（多选题）（2023·广东广州·高三校联考阶段练习）已知函数，则下列结论正确的有（

）A．若，则有2个零点 B．存在，使得有1个零点C．存在，使得有3个零点 D．存在，使得有3个零点【答案】ABD【解析】由题，的零点个数可转化为与的函数图象交点个数，画出函数图象如下，若，函数与在和各有一个交点，故有2个零点，故A正确；当时，当，，，，故在上至少有一个零点，又，结合图象知，在上有两个零点，即与有两个不同的交点，则当直线绕点顺时针旋转时，存在直线与的图象相切，即有1个零点，故B正确，当时，与至多有两个交点，故C错误；当时，如图，存在函数与的图象分别在和上分别有1个和2个交点，故存在，使得有3个零点，故D正确.故选：ABD.29．（多选题）（2023·广东广州·高三校联考阶段练习）已知函数的零点为，函数的零点为，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】，又函数的零点为，则，其中.，得在上单调递增，又其有零点，则为其唯一零点.又，得.注意到，，则，且.对于A，因，，则，故A正确.对于B，因，则.令.在上单调递减，则，得在上单调递增.则，即，故B错误.对于C选项，因，，则，故.则由基本不等式结合有：，故C正确.对于D选项，因，则，由C选项分析可知.则令，.得在上单调递增，故，即.故D正确.故选：ACD30．（多选题）（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）如图所示，在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（

）A．四面体的体积为定值B．当，分别为棱，的中点时，则在正方体中存在棱与平面平行C．直线与平面所成角的正切值的最小值为D．当，分别为棱，的中点时，则过，，三点作正方体的截面，所得截面为五边形【答案】ACD【解析】点，在棱，上运动时，到距离始终为2，到平面的距离始终为2，所以四面体的体积恒为定值，A正确；在正方体中，棱可分为三类，分别是，及分别与它们平行的棱，又不与平面平行，则在正方体中，不存在棱与平面平行，B错误；正方体棱长为2，如图1，过作于，则有平面，于是与平面所成角即为，于是，又长度的最大值为，所以与平面所成角的正切值的最小值为，C正确；如图2，取中点，连接，有，且，则四边形是平行四边形，有，过作的平行线交于点，此时，则，即为过，，三点的平面与平面的交线，连接，在上取点，使得，同证的方法得，在棱上取点，使，连接并延长交直线于，则，即，而，于是四边形是平行四边形，有，则为过，，三点的平面与平面的交线，连接，则可得五边形即为正方体中过，，三点的截面，D正确．故选：ABD31．（多选题）（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是（

）A．若，则是数列的最大项B．若数列有最小项，则C．若数列是递减数列，则对任意的：，均有D．若对任意的，均有，则数列是递增数列【答案】BD【解析】对于A：取数列为首项为4，公差为的等差数列，，故A错误；对于B：等差数列中，公差，，是关于n的二次函数.当数列有最小项，即有最小值，对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，，B正确；对于C：取数列为首项为1，公差为的等差数列，，，即恒成立，此时数列是递减数列，而，故C错误；对于D：若数列是递减数列，则，一定存在实数，当时，之后所有项都为负数，不能保证对任意，均有.故若对任意，均有，有数列是递增数列，故D正确．故选：BD32．（多选题）（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．函数的零点为，C．若，则，D．若，则【答案】ACD【解析】对A：由函数图象得，且函数的周期满足：，则，解得：，即，代入点得：，，解得：，又，所以，故A选项正确；则，对B：令，得，，解得：，，所以函数的零点为，，故B选项错误；对C：因为，又，即，且，则，，所以C选项正确；对D：又，即，则，所以，其中，，故，所以，，即，，则，所以D选项正确；故选：ACD.33．（多选题）（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知数列的前项和，，数列的前项和满足对任意恒成立，则下列命题正确的是（

）A． B．当为奇数时，C． D．的取值范围为【答案】AC【解析】当时，，当时，，适合上式，所以，故A正确；所以，当为奇数时，，故B错误；当为偶数时，，所以，故C正确；当为奇数时，，若，则，即，所以，而，即；当为偶数时，则得，即，而，即，综上所述，，故D错误.故选：AC.34．（多选题）（2023·湖北·高三鄂南高中校联考阶段练习）设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得(为常数)，则称函数在上的均值为，下列函数中在其定义域上的均值为的有（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】对于,函数的定义域为,值域为，对任意的,方程，即必有解，则在其定义域上的均值为2，符合题意；对于,函数的值域为,对任意的,方程，即必定有解，则在其定义域上的均值为2，符合题意；对于,函数的定义域为，值域为，当时，，若，可得，方程无解，不符合题意；对于,函数的定义域为，值域为，当时，，方程化为，方程无解，不符合题意.故选：35．（多选题）（2023·湖北·高三鄂南高中校联考阶段练习）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的值可以为（

）A． B．4 C． D．22【答案】BC【解析】因为，设切点为，则切线方程为，将，代入得，，令，则，或时，，当时，，故函数的单增区间为和，的单减区间为，的极大值为，极小值为，由题意知，，又为整数，，，，20，21故选：BC36．（多选题）（2023·山东潍坊·高三统考阶段练习）关于函数，，下列说法正确的是（

）A．对，恒成立B．对，恒成立C．函数的最小值为D．若不等式对恒成立，则正实数的最小值为【答案】ABD【解析】设，，时，，递减，时，，递增，所以，所以，即恒成立，A正确；在中令，则，，，再令得，B正确；设，定义域为，，定义域内恒成立，令是增函数，，，所以在即在上存在唯一零点，，，时，，即，递减，时，，即，递增，所以，C错；不等式为，，，所以，即，令，则，时，，递减，时，，递增，，因为，所以，因此不等式恒成立，则恒成立，，即，设，，时，，递增，时，，递减，所以，所以，即的最小值是，D正确．故选：ABD．37．（多选题）（2023·山东滨州·高三校联考阶段练习）如图，在正四棱柱中，，分别是棱，，的中点，则（

）A．B．平面C．直线与是异面直线D．直线与平面的交点是的外心【答案】ABD【解析】由题意得，以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，对于选项A，由题意可知，，则，，，所以，即，故A正确；对于选项B，因为，则，又因为，则，所以，即，又因为，即，，平面，所以平面，故B正确；对于选项C，连接，，，，，则，，所以，由图知，不共线，所以，则四点共面，所以直线与是共面直线，故C错误；对于选项D，设直线与平面的交点为，由正方体的性质知，，则四面体为正四面体，又因为平面，则为正三角形的中心，即为正三角形的外心，故D正确.故选：ABD.38．（多选题）（2023·山东滨州·高三校联考阶段练习）已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根，分别为，且，则下列说法正确的有（）A． B．C． D．的取值范围为【答案】BD【解析】作出在上的图象，如图所示：对于A，因为，又因为方程有四个互不相等的实数根，所以，故A错误；对于B，由题意可得，，且有，，所以，故，当，即时，等号成立，故B正确；对于C，由题意可得，由A可知，所以，故C错误；对于D，由题意可知与关于直线对称，且，，所以，故.因为，所以.又因为，所以，在上单调递减，故,所以，，所以.因为，，所以，在单调递增，所以，故，所以的取值范围为，故D正确.故选：BD.39．（多选题）（2023·山东聊城·高三校考阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为B．已知O是所在平面上一点，若，则O点是三角形的外心.C．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足，则△ABC为等腰三角形D．设向量满足，且，则向量在向量方向上的投影向量为【答案】BC【解析】对于A，依题意，且与不共线，则，解得且，A不正确；对于B，依题意，，则，同理可得，则O点是的外心，B正确；对于C，，则，即，△ABC为等腰三角形，C正确；对于D，依题意，，即，向量在向量方向上的投影向量为，D不正确.故选：BC40．（多选题）（2023·山东聊城·高三校考阶段练习）下列命题正确的是（

）A．已知幂函数在上单调递增，则B．函数有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个必要不充分条件是C．已知函数，若，则的取值范围为D．已知函数满足，，且与的图象的交点坐标依次为，则【答案】AD【解析】对于A，幂函数在上单调递增，则且，求得，故A正确；对于B：若，可得函数满足，可得的零点一个大于0，一个小于0，若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0，则，即，不能推出，故是函数有两个零点，一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，故B错误；对于C：由得：，则函数的定义域为，故，至少满足，即，故C错误；对于D：函数满足，函数的图象关于对称，函数的图象关于对称，所以，，则，故D正确．故选：AD．41．（多选题）（2023·福建莆田·高三莆田一中校考阶段练习）已知定义在的函数满足以下条件：（1）对任意实数恒有；（2）当时，的值域是（3）则下列说法正确的是（

）A．值域为B．单调递增C．D．的解集为【答案】BCD【解析】对选项A：令可得，故，令可得，，，当时，，则，综上所述：，错误；对选项B：任取且，，，则，所以函数在上单调递增，正确；对选项C：取得到；取得到；取得到，正确；对选项D：，，即，即，函数单调递增，且，故，正确；故选：BCD42．（多选题）（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知函数，则以下判断正确的是（

）A．函数的零点是B．不等式的解集是．C．设，则在上不是单调函数D．对任意的，都有．【答案】BD【解析】对于A项，零点是数不是点，故A错误；对于B项，令，而恒成立，原不等式等价于，解之得，故B正确；对于C项，，所以，设，则，设即定义域上单调递增，，即存在使得，即存在使得，所以时有，则，在上单调递增，故C错误；对于D项，设，由C项结论可知在上单调递增，所以有，又，即成立，故D正确.故选：BD43．（多选题）（2023·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知，，给出下列结论：其中正确结论是（）A．若，，且，则B．存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称C．若在上恰有7个零点，则的取值范围为D．若在上单调递增，则的取值范围为【答案】BC【解析】对于A，若，，且，则，故A错误；对于B，将的图象向左平移个单位长度后得到，若所得图象关于y轴对称，则，，即，，所以存在时满足条件，故B正确；对于C，由，得，若在上恰有7个零点，则，即，故C正确；对于D，由，得，若在上单调递增，则，即，故D错误.故选：BC.44．（多选题）（2023·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知函数，其中是自然对数的底数，函数则（）A．若，则函数的零点为B．方程有两个不同根，则C．若，则函数有个的零点D．若函数有个的零点，则【答案】BCD【解析】对于A：若，，令，当时，，无解，当时，，，所以函数的零点为和，故A错误；对于B：方程有两个不同根等价于与有两个交点，因为当时，，所以与在无交点，所以与在有2个交点，联立得，即，由，解得，故B正确；对于C：设，令，得，即，因为时，，所以当时，有两个实数根，且，如图所示，设，则与轴有两个交点，且，则，即，解得，所以当，函数有个的零点，故C正确；对于D：由C可知，当与轴有两个交点，且，函数有个的零点，则，即解得，故D正确，故选：BCD．45．（多选题）（2023·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知定义在的函数满足，且，当时，，则（

）A．B．是偶函数C．在上单调递减，在上单调递增D．不等式的解集是【答案】AD【解析】令，得，即，则A正确；由题意可知的定义域是，则是非奇非偶函数，故B错误；当时，因为，所以，因为，所以，则在上单调递增，故C错误；令，得，因为，所以.因为，所以，所以，所以等价于，因为在上单调递增，所以，解得，则D正确.故选：AD46．（多选题）（2023·河北邢台·高三校联考阶段练习）关于x的不等式在上恒成立，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由，可得，即．记，，令，，则，令，则恒成立，所以在上单调递增且，所以当时，，所以，当且仅当时，等号成立，即如下图所示：，又，，且，从而为与在处的公切线时，才能使原不等式恒成立，，，则在处的切线方程为，即，得，．故选：BC.47．（2023·广东·高三校联考阶段练习）函数在上不单调，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】，令得，由于，分离常数得.构造函数，，所以在上递减，在上递增，.下证：构造函数，，当时，①，而，即，所以，所以由①可得.所以当时，单调递增.由于，所以当时，，故，也即.由于，所以.所以的取值范围是故答案为：48．（2023·广东广州·高三统考阶段练习）双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为．【答案】/【解析】内切圆Q分别与，，，轴切于点S，T，N，P则四边形、都为正方形，设内切圆半径为，由圆的切线性质，则，则，①又因为，②且双曲线定义得，，③由①、②、③得，所以，从而，由勾股定理，，所以，解得．故答案为：49．（2023·广东广州·高三统考阶段练习）设函数在区间恰有两个零点，则的取值范围是．【答案】【解析】由，得，因为函数在区间恰有两个零点，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：.50．（2023·广东广州·高三校联考阶段练习）若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是.【答案】【解析】，，设，设，那么，恒成立，所以是单调递减函数，当时，，当时，，函数单调递增，当，，函数单调递减，所以在时，取得最大值，，即，解得：或，写出区间为，故填：.51．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为．【答案】【解析】因为函数为偶函数，则，即，①又因为函数为奇函数，则，即，②联立①②可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最小值为．故答案为：52．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为120°，，则三棱锥的外接球的表面积为.【答案】【解析】将沿折起后，取中点为，连接，，得到，在中由余弦定理求出的长，进一步求出的长,分别记三角形与的重心为、，记该几何体的外接球球心为，连接，，证明与全等，求出，再推出，连接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面积.将沿折起后，取中点为，连接，，则，，所以即为二面角的平面角，所以；设，则,在中，即解得，即，所以所以与是边长为的等边三角形.分别记三角形与的重心为、，则，；即；因为与都是边长为的等边三角形，所以点是的外心，点是的外心；记该几何体的外接球球心为，连接，，根据球的性质，可得平面，平面，所以与都是直角三角形，且为公共边，所以与全等，因此，所以；因为，，，且平面，平面，所以平面；又平面，所以，连接，则外接球半径为，所以外接球表面积为.故答案为：53．（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知函数若关于的方程，有4个不同的实数根，则的取值范围为.【答案】【解析】作出的图象，因为的图象是过定点，并且是绕着该点旋转的两条关于对称的的射线.当时，为轴，两函数图象只有3个交点，不符合题意.当时，的是两条向下的射线，两图象只有1个交点，不符合题意.故，先考虑时两图象的交点情形，当时，,与刚好只交于点.证明如下：当时，在点处，由，故，令，则，所以切线方程为：；当时，在点处，由，故，令，则，所以切线方程为：；所以当时在，两图象只有