小学奥数盈亏问题

盈亏问题

儿歌：鸟儿飞来了，落在大树梢，每树落一只，一鸟没树找，每树落2只，一树没有鸟，请问几棵树？

又有几只鸟？

居澄思公

一、在理解的基础上掌握盈亏问题的三种类型

二、能灵活运用盈亏问题的基本公式解题

三、理解盈亏中的“总量”和“份数”，灵活应用盈亏法解决问题

颂旗阳咫

一、盈亏问题的三种类型

1.直接计算型盈亏问题

【举例】朝阳小学买来一批小足球分给各班：如果每班分个，就差个；如果每班分个，则正好分完,

朝阳小学一共有多少个班？买来多少个足球？

2.条件转换型盈亏问题

【举例】幼儿园把一袋糖果分给小朋友，如果分给大班的小朋友，每人粒就缺粒；如果分给小班的

小朋友，每人粒就余粒.已知大班比小班少个小朋友，这袋糖果共有多少粒？

3.关系互换型盈亏问题

【举例】小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉则还差6元，若买12千克猪肉则还剩4元.已

知每千克牛肉比猪肉贵3元，问：小明妈妈带了多少钱？

二、基本公式

1.（盈+亏）+两次分得之差=人数或单位数

2.（盈一盈）4■两次分得之差=人数或单位数

3.（亏一亏）+两次分得之差=人数或单位数

三、基本思想方法

1.实质

分配中的余缺问题

2.三种类型的综合处理

简单问题的处理：量的差别十单位差别

3.遇到陌生'复杂的盈亏问题，可以用转换的思想

用假设法，把陌生问题、复杂问题转化为熟悉问题、简单问题

£1湄麻

重点：在理解的基础上，掌握盈亏问题的基本类型并能灵活运用公式解决问题

难点：盈亏问题中份数与总量的区分（这是学生能够灵活运用盈亏法解决问题的前提）

做I题需检

【例。小朋友分糖果，若每人分10粒则多9粒；若每人分11粒则刚好.问：有多少个小朋友分多少粒糖？

【考点】直接计算型盈亏问题【难度】☆【题型】填空题；应用题；结合方程的应用题

【解析】在这个例题中，主要让学生体会到分10粒则多9粒，而分II粒则刚刚好！那么可以说”这九粒

糖的任务”就是给每一位小朋友再发一个糖，那么九粒糖每人发一个？是多少个小朋友？九个.这

道题的目的在于让学生体会盈亏的思想，数量上都不用做太高要求，这是学习盈亏问题之前的预

热！

【答案】（1）9个小朋友（2）99颗糖

【巩固】北京某校三年级一部分同学分小玩具，如果每人分4个就少9个，如果每人分3个正好分完.问：

有多少位同学分多少个小玩具？

【答案】（1）9个小朋友（2）36个玩具

【例2】小朋友分糖果，若每人分10粒则多9粒；若每人分11粒则差6粒.问：有多少个小朋友分多少粒

糖？总共有多少粒糖果？

【考点】直接计算型盈亏问题【难度】☆【题型】填空题；应用题；结合方程的应用题

【解析】与上题相比，这题有了变化，本来9粒糖就可以分了，但是现在呢？要几粒糖？15粒？小朋友的

人数（份数）与糖的粒数（总数）是不变的.比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9

粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9+6=15（粒）.相差的原

因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之

差为5—4=1（粒）.每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为15+1=15（人），

糖果的粒数为：4x15+9=69（粒）.

通过上述两道例题主要是让学生体会盈亏的思想，这对于后面公式的总结比较有帮助.教师可以酌

情考虑，假如学生的情况比较好，那就不需要上述预热.

【答案】（1）15（2）69

【巩固】智康给优秀学员发奖品，假如每人领取7枝笔，则还剩3枝，假如每人领取8枝笔，则还差55

枝.问：有多少优秀学员？多少支笔？

【答案】（1）58（人）（2）409（支）

【例3】点点妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；如果每

天吃6个，则又少8个苹果.那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？

【考点】直接计算型盈亏问题【难度【题型】填空题；应用题；结合方程的应用题

【解析】题中告诉我们每天吃4个，多出48个苹果；每天吃6个，少8个苹果.观察每天吃的个数与革

果剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，苹果从多

出48个到少8个，也就是所需的苹果总数要相差48+8=56（个）.从这个对应的变化中可以看

出，只要求56里面含有多少个2,就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共

有多少个苹果了.吃的天数是（48+8）+（6-4）=56+2=28（天），苹果数是6x28-8=160（个）

或4x28+48=160（个）.

【答案】（1）160（2）28

【巩固】“六一”国际儿童节联欢会上，买来一包糖，如果每人分15块，则还剩42块，如果每人分17块,

则少16块.问：这包糖有几块？一共有几个学生？

【答案】（1）29（2）477

【例4］妈妈带小敏去商店买布，妈妈带的钱如果买2米还余1.80元，如果买4米则差2.40元，问妈妈带

着多少钱？

【难度】【考点】直接计算型盈亏问题【题型】填空题；应用题；结合方程的应用题

【解析】题中告诉我们买2米还余1.80元，如果买4米则差2.40元，那么买两米布需要多少钱？通过上

述两种方案我们可以知道本来买2米剩1.80元，而再买两米就还要差2.40元，所以我们可以知

道两相对比钱数的变化是3.2元.而钱发生变化是因为我们又买了2米，也就是说2米3.2元，所

以很自然就可以知道一米1.6元，算式：1.6x2+1.8=4（元）.

【答案】4元

【巩固】某校同学排队上操.如果每行站9人，则多69人；如果每行站12人，则多15人.一共有多少学生？

【答案】（1）10人(2)72

【例5】一家旅店，若每个房间住6人，则16人没有床位；若每个房间住8人，则有一间房间是空出来

的.这家旅店有多少个房间？要住宿的人数有多少？

【考点】条件转化型盈亏问题【难度】☆☆☆【题型】填空题；应用题；结合方程的应用题

【解析】这道题式较之前的题发生变化的是在第二个分配方案里并没直接告述我们少多少（即亏是多少），

在这种说法中学生可能会错误计算.实际上，在第二种方案中，只要换一个说法：若每个房间住8

人，还需要8个人才能住满。这就跟之前的盈亏没有区别，同样是方案一：有一批人（总数），

住进房间（份数）第一次分配6人住一间（一间房间分给它6个人），还多余8个人；第二次分

配是8人住一间（一间房间分给它6个人），再来8个人才能让所有房间有人.也就是所需的人的

总数要相差16+8=24（人），从这个对应的变化中可以看出，只要求24里面含有多少个2,就

是所求的房间数；有了房间数，就不难求出有多少人了.

16+8=24（人）；24+2=12（间）人数是12x8-8=88（人）或6x12+16=88（人）.

【答案】12个房间；88人

【巩固】某合唱队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出9人，若每条长椅上坐4人则多一个

长椅.问：合唱队有多少人？有多少个长椅？

【答案】48人；13个长椅

【例6】某班同学去划船.他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好

每条船坐9人.问：这个班共有多少同学？

【考点】条件转化型盈亏问题【难度】☆☆☆【题型】填空题；应用题；结合方程的应用题

【解析】这道题中，总量:人的数量份数：计划中船的数量.但是在两种分配方案中都没有统一的份数，

一个是比计划的船数少一，一个是比船数多一.我们不妨用假设法（这是在盈亏问题中常用的思想

方法）假设在方案一中，不增加船数那么就有六个人没座（即剩六人），假设在方案一中，不减

少船数那么就有9个座没人（即差9个人来坐这位置）.原式9+6=15（人）；15+3=5（条）人

数是5x9—9=36（个）或5x6+6=36（个）.

【答案】36个人

【巩固】某实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则还需要加派一辆车；如果每辆车多坐5人,

恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？

【答案】25辆车；1560个人

【例7】少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其

余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑.请问，共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？

【考点】条件转化型盈亏问题【难度】☆☆☆【题型】填空题；应用题；结合方程的应用题

【解析】题中告诉我们每人挖5个，还有3个树坑没人挖（即是多出3个树坑）；如果其中两人各挖4个

树坑，其余每人挖6个树坑.也许有同学会有一个想法，假如第二个方案中所有人都挖6个树坑那

就好了！那我们有什么办法把第二种方案中所有人都变成挖6个树坑呢？假设法!这里我们自己提

供了一种方案：每人都挖6个树坑，则还差四个树坑（2x2=4,较原来的基础上多挖了，多挖的

是别人的树坑不是少先队员的树坑，所以是差四而不是多四）少先队员：（3+4）-（5-4）=7

（人），树坑数是7x6-4=38（个）或5x7+3=38（个）

【答案】7个人；38个树坑

【巩固】兔子妈妈分白菜：如果其中2只小兔子每只分4棵，其余每只分2棵，则多4棵白菜；如果其中

一只小兔子分6棵，其余每只分4棵，则差12棵白菜.问：一共有多少只小兔子？一共有多少棵白菜？

【答案】9只兔子；26棵白菜

［例8］有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩2个梨；如果按1

个苹果配4个梨分一堆.那么梨分完时，还剩1个苹果.问梨有多少个？

【考点】条件转化型盈亏问题【难度】☆☆☆☆【题型】填空题；应用题；结合方程的应用题

【解析】在这道题中，我们主要是把苹果看作为份数（即我们分糖果中的人头），有了这个想法这道题就

不难解决了！就变成了我们盈亏中的基本题型了！

方案一：三个梨—►一个苹果（一个小朋友），剩两个梨.

方案二：四个梨—►一个苹果（一个小朋友），剩一个苹果.

方案三：四个梨一►一个苹果（一个小朋友），剩一个苹果即差两个梨.

方案三是建立在方案二的基础上的，方案三是隐形的方案.由方案一和方案三就可以通过基本

盈亏问题来解决.2+2=4苹果数：4+1=4梨数：4x4-2=14（个）或3x4+2=14（个）

【答案】14个梨

【巩固】肯德基搞买汉堡赠玩具活动（玩具是有限的，送完即止），如果按照三个汉堡换赠一个玩具，那

么玩具送完了，汉堡还剩10个，假如按照四个汉堡送一个玩具，那么汉堡卖完了，玩具还剩4个？问这

一天肯德基准备了多少汉堡？多少玩具？假如你是肯德基的负责人你会怎么计划呀？

【答案】88个汉堡；26个玩具；以玩具刚好送完为原则（答案不唯一）

【例9】王老师由家里到学校，如果每分钟骑车500米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟骑车600米,

就可以比上课时间提前2分钟到校.王老师家到学校的路程是多少米？

【考点】条件转化型盈亏问题【难度】☆☆☆☆☆【题型】填空题：应用题；结合方程的应用题

【解析】对于学生来说，这道题的盈与亏好像都不容易直接看出来，假如前面的学习中对份数和总量都有

所要求，那么在后面的讲解中也会容易许多.这道题我们主要是把时间看作为份数（即我们分糖果

中的人头），而路程是总数.

方案一：500米一►一分钟，迟到三分钟.

500米一►一分钟，剩1500米（假设迟到的三分钟停止不动）...①

方案二：600米一►一分钟，提前两分钟.

600米一►一分钟，少1200米（假设早到的二分钟也在肺车）...②

由①与②可以得出以下算式：1500+1200=2700米原计划时间：2700+100=27分钟

路程：600x27-1200=15000（个）或500x27+1500=15000（米）

【答案】15000米

【巩固】（☆☆☆☆☆）学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分种走60米，可提早3分钟到校；

如果每分钟走50米，要迟到2分钟到校.由家到学校的路程是多少？

【答案】1500米

【例10】李阿姨给小朋友分糖果.若每人分8块，还剩10块；若每人分9块，最后一人分不到9块，但

至少可分到一块.那么糖果最多有多少块？

【考点】条件转化型盈亏问题【难度】☆☆☆☆☆【题型】填空题；应用题；结合方程的应用题

【解析】方法一：假设法

我们可以假设最后这人分8块，分7块让后去分别进行计算.

分7块时：还差3块，10+3=13+1=13人糖果数：13x8+10=114

分8块时：还差2块，10+2=12+1=12人糖果数：12x8+10=106

通过上述两个算式我们可以看到差的越多在计算糖果数时会越大，所以差9块（分一块）

时糖果数是最多的.19x8+10=162

方法二：当（盈+亏）越大，糖果数越多，所以亏=9时，糖果数最大.

（10+9）x8+10=162

【答案】162

【巩固】（☆☆☆☆☆）有48个香蕉分给两个笼子的小猩猩，已知第二个笼子比第一个笼子多5只猩猩.如

果把香蕉全部分给第一个笼子的猩猩，那么每只猩猩4个，有剩余；每只猩猩5个，香蕉不够.如果把香

蕉全分给第二个笼子里面的猩猩，那么每只猩猩3个，有剩余；每只猩猩4个，香蕉不够.问第二个笼子

有多少只猩猩？

【答案】第一组：10只猩猩第二组：15只猩猩

盘绘组测

一、假设法常使用（当问题与基本盈亏问题有差异时，我们可以通过一些假设创造出符合我们要求的方案）

二、公式要活学：（盈+亏）+两次分得之差=份数（人数）

三、“总数”、份数要分清（需要多变式练习）

图第希雨

一、教学目标

本讲主要学习第一种类型的盈亏问题：

1.理解掌握并运用直接计算解决盈亏问题（盈与亏型）

2.通过例题练习，让学生总结盈亏公式

3.能够运用假设法解决复杂的盈亏问题

二、教学建议

本堂课作为盈亏问题（直接计算型）的第一课时，是基础章节.但是在这一堂课中必须要学生充分理解

盈亏问题的涵义，这样才能游刃有余。再通过例题让学生掌握解答盈亏问题的基本技巧，培养学生的思维

分析能力.

1.（☆）“六一”国际儿童节联欢会上，买来一包糖，如果每人分15块，则还剩42块，如果每人分17块,

则少16块，这包糖有块，一共有个学生.

【解析】（42+16）+2=29（人）29x15+42=477（块）

【答案】477块；29人

2.（☆☆☆）李师傅加工一批零件，如果每天做50个，要比原计划晚8天完成；如果每天做60个，就可

以提前5天完成.这批零件共有多少个？

【解析】（在这道题中，我们主要是把天数看作为份数（即我们分糖果中的人头），有了这个想法这道题

就不难解决了！就变成了我们盈亏中的基本题型了！

方案一：50个零件一►一天（一个小朋友），要比原计划晚8天完成（相当于多了400个零件）

方案一：60个零件一►一天（一个小朋友），提前五天完成（相当于还差300个零件）

通过盈亏问题来解决.300+400=700天数：700+10=70天零件数：70x60—300=3900（个）

【答案】3900个

3.（☆☆☆）有一批故事书分给几个小朋友，如果其中3人每人5本，其余每人4本，那么会剩2本；如

果其中1人分3本，其余每人5本，就会刚好分完.这批故事书共有多少本？

【解析】方案一：3人每人5本，其余每人4本，剩2本

每人四本，剩5本（假设那三人也是四本）

方案二：1人分3本，其余每人5本，就会刚好分完

每人五本，差两本（假设那一个人也是五本）

算式：（5+2）+1=7（人）7x4+5=33（块）

【答案】33本

相局岱迪

【家庭作业】

1.（☆）秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4