小学直线型面积讲义图文版

第跋等目竭

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1.熟练运用直线型面积的最基本性质——等积变形:

2.熟练掌握直线型面积的两个模型：

（1）等积变形（2）鸟头模型

直线型面积求解是在以三角形、长方形、正方形、梯形等一些规则图形为基础上进行的。

最基本的思想是等积变形。

一、等积变形

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比：

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如左图S]:S2=a:h

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S/se=5△"„>；

反之，如果k48=%的，则可知直线平行于CO.

④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.

共角三角形的面积比等于对应南（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.

如图在△ABC中，分别是AB,4c上的点如图⑴（或。在84的延长线上，E在AC上），

则:S&QE=（A3xAC）:（AOxAE）

板块一、等积变形

【例1】如图，长方形ABC。的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形A8CD边上的中点，H为

AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.

【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用.

连接BH、CH.

AE=EB,

,•S4AEH-S4BEH,

同理，S&BFH=S&CFH，0GH,

,,,$阴影=5方形ABCO=—x56=28（平方厘米）.

【巩固】图中的E、F、G分别是正方形A8CQ三条边的三等分点，如果正方形的边长是12,那么阴影部

分的面积是.

【例2】如图，有三个正方形的顶点。、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFE8的边长为10厘米,

求阴影部分的面积.

【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角

线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化.

如右图所示，连接FK、GE、BD,则BDUGE//FK,根据几何五大模型中的面积比例模型，可

得S3E=SRBGE,SAKGE=SE所以阴影部分的面积就等于正方形GFE8的面积，即为1。2=10°平

方厘米.

【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形A8C的面积.

【巩固】（2008年西城实验考题）如图，ABC。与AEFG均为正方形，三角形A3”的面积为6平方厘米，图

中阴影部分的面积为•

【巩固】正方形4BC。和正方形CEFG,且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米?

【例3】长方形A8CO的面积为36a/,E、F、G为各边中点，〃为AD边上任意一点，问阴影部分面

积是多少？

【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接84、HC,如下图：

可仔：S.HB=]^^AHB、S^FHB=S'CHB、S^HG=Q^SDHC，而SABCD=S^HB+S&CHB+S&CHD=36

即,的用+SmHF+SWHG=2"3出十^^CHB+*^AC//D)=/'36=18；

=xxx

而SAEHB+S.HF+SM）HG=A,膨+^EBF'»^&EBF77BExBF=—（-AB）x（彳xBC）=—x36=4.5.

，LLLo

所以阴影部分的面积是：*吃=18-=18-4.5=13.5

解法二：特殊点法.找〃的特殊点，把〃点与。点重合，

那么图形就可变成右图：

这样阴影部分的面积就是AOEF的面积，根据鸟头定理，则有：

SW»=^ABCD~SMKI)~S&HEF-^ACT»=36-TX-X36-XXX36~XX36=13.5•

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABC。内任取一点P,将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分,

分别与P点连接,求阴影部分面积.

[例4]（2007首届全国资优生思维能力测试）A8c。是边长为12的正方形，如图所示，P是内部任意一点,

BL=DM=4、BK=DN=5,那么阴影部分的面积是.

【解析】（法1）特殊点法.由于P是内部任意一点，不妨设P点与A点重合（如上中图），那么阴影部分就是

AAMN和A4LK.而AAMN的面积为（12-5）x4+2=14,AAAK的面积为（12-4）x5+2=20,所以

阴影部分的面积为14+20=34.

（法2）寻找可以利用的条件，连接AP、BP、CP、OP可得右上图所示：

则有：S^K+ShPAn=—SA8co=5x12~=72

同理可彳于：S4PAe+S.BC=72;

而Sw/w:Sgix=DM:£>C=4:12=1:3,即SSPDM——;

同理：S&PBL=—SaAB'S&PND~Y2'S"BK=五^APBC；

所以：(SAPOM+SaBL)++S"BK)=](SAPDC+^&PAB)++)

而3+S"PBL)*(SwM>+SMBK)=(S"NM+)+(5皿的+SA/ILK)；

阴影面积

S^DNM=SSBLK=-x4x5=10：

所以阴影部分的面积是：

SbPNM+S,VZK=2(S,\mc+S"AB)+~(SM/M+S"HC)—(S,v加“+S谢.K)

即为：-x72+—x72-10x2=24+30-20=34.

312

[例5]（2008年四中考题）如右图，AD=DB,AE=EF=FC,已知阴影部分面积为5平方厘米，\ABC

的面积是..平方厘米.

连接C£>.根据题意可知，由所的面积为AD4c面积的1,AD4C的面积为A4BC面积的L,所

【解析】

32

以ADE尸的面积为&4BC面积的=而AOEE的面积为5平方厘米，所以AA8C的面积为

236

5+1=30(平方厘米).

6

【巩固】图中三角形A8C的面积是180平方厘米，。是8c的中点，AZ）的长是长的3倍，的长是3尸

长的3倍.那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？

A

BC

［例6］如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形

组合而成.求阴影部分的面积.

AB

【解析】如图，将大长方形的长的长度设为1,则48=上一=',CD=-^—=-,

12+36424+483

所以,阴影部分面积为(12+24+36+48)x1xL=5(cm2).

3412212

【例7】(2009年第七届“希望杯“二试六年级)如图，在三角形ABC中，已知三角形AOE、三角形。CE、

三角形BC。的面积分别是89,28,26.那么三角形的面积是.

【解析】根据题意可知，5MDC+5^£=89+28=117,

所以BD:AD=Sg0c:SMDC=26:117=2:9,

刃卜么S皿底5必麻=Q:A0=2:9,

2227

故53=89、§=(90-1»3=20-§=19鼠

【例8】。是长方形ABC。内一点，已知AOBC的面积是5cm-A0A8的面积是2cm?,求AOBD的面积是

多少？

由于。是长方形所以而所以

【解析】A8C,S.oo+SM0C=/SABCD，SgBo=/SABCD,SMOO+SABOC=

则所以

S,\Boc—S.MMH+Sf101m>S.OBD=S4goe—S610AB=5—2=3cm.

【例9】如右图，过平行四边形ABC力内的一点p作边的平行线即、GH,若的面积为8平方分米,

求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？

【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形PGAE的面积差，相当于求平行四边

形BCFE的面积与平行四边形ABHG的面积差.

如右上图，连接CP、AP.

由于湫「所以

$+=SMBP++SMDP--S48co，SABCP-SAABP=^&BDP•

S-I5=

所以SBCFEABHG~2(S*fiCP—)2s=16(平方分米).

-2ABHG，—Ae

【例10］如右图，正方形A8C。的面积是20,正三角形ABPC的面积是15,求阴影反叫的面积.

【解析】连接AC交班>于。点，并连接PO.如下图所示，

可得PO//OC,所以△。尸O与△CPO面积相等（同底等高），所以有:

S^BPO+S&CPO=S诩O+^SPDO=SgPD>

因为=；S"CD=；x20=5,所以％叨=15-5=10.

【巩固】如右图，正方形A5CO的面积是12,正三角形ABPC的面积是5,求阴影A6PD的面积.

B

【例11】（2008年“华杯赛”决赛）右图中，ABC。和CGEF是两个正方形，AG和CF相交于已知C”

等于CF的三分之一，三角形C”G的面积等于6平方厘米，求五边形48GE尸的面积.

【解析】连接AC、GF,由于AC与GF平行，可知四边形ACGF构成一个梯形.

由于A//CG面积为6平方厘米，且CH等于CF的三分之一，所以CH等于FH的,，根据梯形蝴蝶

2

定理或相似三角形性质，可知AF"G的面积为12平方厘米，AA/7F的面积为6平方厘米，的

面积为3平方厘米.

那么正方形CGEF的面积为（6+12）x2=36平方厘米，所以其边长为6厘米.

又AA尸C的面积为6+3=9平方厘米，所以AO=9x2+6=3（厘米），即正方形ABCO的边长为3厘

米.那么，五边形A8GEF的面积为：36+9+32x4=49.5（平方厘米）.

2

【例12］如图，已知长方形的面积16,三角形4）3的面积是3,三角形ACF的面积是4,那么三角

形ABC的面积是多少？

【解析】方法一：连接对角线AE.

,/ADEF是长方形

..DB_S^DB3FC_S^CF1

DES^DE8EFS$EF2

.BEDE-DB5CEFE-CF\

,~DE~~DE~-8'~EF~~EF~~2

515

•c_•1A_

•"SABEC=-XgX2X16=2

13

SiABC=SADEF—SB~^MCFSiCBE

6AoT

方法二：连接3/，由图知S”所=16+2=8,所以5口印=16-8-3=5,又由59“=4,恰好是

AAEF面积的一半，所以C是£F的中点，因此2=2,所以

5A4BC=16-3-42.5

［例13］（第七届“小机灵杯”数学竞赛五年级复赛）如图所示，三角形4BC中，。是45边的中点，E是AC

边上的一点，且AE=3EC,。为OC与BE的交点.若ACEO的面积为。平方厘米，AB。。的面积

为平方厘米.且。-a是2.5平方厘米，那么三角形A8C的面积是平方厘米.

==a+

【解析】3slMc=S骋CD=b+S^co，^SABC^&BCE^&BCO,所以5sA48c一1S/VIBC=人一a=2.5（平方厘

米）.所以无（BC=2.5x4=10（平方厘米）.

【例14]如图，长方形ABC。的面积是2平方厘米，EC=2DE,尸是DG的中点.阴影部分的面积是多少

平方厘米？

【解析】如下图，连接FC,DBF、BFG的面积相等，设为x平方厘米；FGC、。尸C的面积相等，设

为y平方厘米，那么DEF的面积为:），平方厘米.

SBC=^Lx+2y=,SBDE=x+1y=lx1=」.所以有?.比较②、①式，②式左边比①

333[3x+y=l②

式左边多2x,②式右边比①式右边大0.5,有2x=0.5,即x=0.25,y=0.25.而阴影部分面积为

y+±2y=25x0.25=35平方厘米.

■3312

【例151（2008年第一届“学而思杯”综合素质测评六年级2试）如图，BC=45,AC=21,AA8C被分成

9个面积相等的小三角形，那么/+%=.

2

【解析】由题意可知，BD:BC=S,:S„=2:9,所以BD=-BC=\Q,CD=BC-BD=35;又

WDMC9

2

DI:D€酬：&$九2：,所以O/=yOC=14同样分析可得FK=1（,所以

DkF<4+10=.

【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点,

并且AOA8、AABC、ABC。、RCDE、AGE尸的面积都等于1,则AOCF的面积等于.

【例16]（2009年四中入学测试题）如图，已知CQ=5,DE=7,EF=}5,FG=6,线段口将图形分成

两部分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形AOG的面积是.

【解析】连接AF,BD.

根据题意可知，CF=5+7+15=27;0G=7+15+6=28：

1512217

：

所以，S2EF=药S&CBF,SgEc=—S^CBF'=云^MDG'女^HADG'

2115712

7o

于40c+王SACSF=65;—SCM)G+—SACBF=38;

可得见凶二射.故三角形AOG的面积是40.

【例17】（2008年走美六年级初赛）如图所示，长方形ABCO内的阴影部分的面积之和为70,A8=8,

AO=15,四边形EFGO的面积为.

【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、QOG和四边形E/GO的面积之和，以及三角形

AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积.

由于长方形ABC。的面积为15x8=120,所以三角形BOC的面积为120x4=30,所以三角形AOE和

4

3

OOG的面积之和为120x2—70=20;

4

又三角形AOE、OOG和四边形EFGO的面积之和为120x（g-；）=30,所以四边形EFGO的面积

为30-20=10.

另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积=三角形AFC面积+三角形BFD面积-白色部分的面积，

而三角形AFC面积+三角形3ED面积为长方形面积的一半，即60,白色部分的面积等于长方形面

积减去阴影部分的面积，即120-70=50,所以四边形的面积为60-50=10.

【巩固】（2008年“华杯赛”初赛）如图所示，矩形ABC。的面积为24平方厘米.三角形4加与三角形8CN

的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是平方厘米.

【例18］（清华附中分班考试题）如图，如果长方形ABC。的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ的面积

是多少平方厘米？

AN6B

【解析】如图，过M、N、P、。分别作长方形ABC。的各边的平行线.易知交成中间的阴影正方形的边长

为3厘米，面积等于9平方厘米.设AMQ。、g/AM、APBN、AQCP的面积之和为S,四边形MVPQ

的面积等于X,则解得x=32.5（平方厘米）.

x-S=9

板块二鸟头模型

【例19］如图在△ABC中，分别是A8,4C上的点，且AO:A8=2:5,AE:AC=4:7,5%叱=16平

方厘米，求△4BC的面积.

【解析】连接BE,S“0E：S"BE=A£）：A3=2:5=（2X4）:（5X4）,

5AABE:S^ABC=A£:AC=4:7=（4x5）:（7x5）,所以SaDg:诋=（2x4）:（乙5：,设份，

则%ABC=35份，S”0E=16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ZiABC的

面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角（相

等角或互补角）两夹边的乘积之比.

【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4,BE=3,AE=6,乙部分面

积是甲部分面积的几倍？

AA

:.AB=3BE,S.=3SBDE

又：BD=DC=4,

,•2sABD,..6sBDE，5乙=5s甲.

【例20]如图在△ABC中，。在物的延长线上，E在AC上，且48:40=5:2,

AEtEC=3:2,=12平方厘米，求△48C的面积.

【解析】连接BE,5AAD£:SA4B£=AD:AB=2:5=(2X3):(5X3)

S/\AM：$△,%=人氏AC=3:(3+2)=(3*5):[(3+2)X5],

所以:S.ABC=(3x2):[5x(3+2)]=6:25,设k4展=6份,则以谢.=25份'平方厘

米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到

一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【例21)如图，三角形A8C的面积为3平方厘米，其中A8:8E=2:5,BC:CD=3:2,三角形或区的面

积是多少？

D

【解析】由于乙48。+/。8£'=180',所以可以用共角定理，设45=2份，BC=3份，则BE=5份，

80=3+2=5份，由共角定理工“8c:S△皿=(ABxBC)：(8Ex8D)=(2x3):(5x5)=6:25,设

=6份，恰好是3平方厘米，所以1份是().5平方厘米，25份就是25x0.5=12.5平方厘米，三角

形BDE的面积是12.5平方厘米

【例22)已知的面积为7平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积.

【解析】S&BDE:S.ABC=(8DxBE):(BAxBC)=(1x1)：(2x3)=1:6,

SAC£F:S^ABC=(CExCF):(CBxC4)=(1X3):(2X4)=3:8

SA4DF:SAABC=(AZ>XAF):(ABXAC)=(2X1)：(3X4)=1:6

设S“BC=24份，贝IS△曲=4份，S△皿=4份，S/F=9份，S△团=24-4-4-9=7份，恰好是7

平方厘米，所以Z.c=24平方厘米

【例23］如图，已知三角形ABC面积为延长他至。，使BD=AB;延长8c至E,使CE=2BC；延

长C4至尸，使AF=3AC,求三角形£>£F的面积.

【解析】(法1)本题是性质的反复使用.

连接AE、CD.

♦.$说_1o_1

•q-1，OABC-1，

3DBC1

=

,"SDBC1•

同理可得其它，最后三角形。EF的面积=18.

(法2)用共角定理・・•在A8C和CFE中，NACB与NFCE互补,

.SA”ACBC1x11

-

“sFC£-FC-CE4x2-8,

又SABC=1，所以SFCE=8.

同理可得5皿.=6,SBDE=3.

所以+SFCE+SADF+SBDE=1+8+6+3=18.

【例24］如图，平行四边形ABC。，BE=AB,CF=2CB,GD=3DC,HA=4AD,平行四边形ABC。的

面积是2,求平行四边形48C。与四边形EFGH的面积比.

【解析】连接AC、BD.根据共角定理

・・,在△ABC和△BFE中，/ABC与NFBE互补,

.S^cABBClx{=i

S"跖BEBF1x33

又S^ABC=1,所以S2FBE=3.

同理可得S^GCF~8'S^DHG=15,S&AEH=8.

+

所以SEFGH=^^AEH+SMFG+^^DHG+ABCD=8+8+15+3+2=36.

所以&^=_1=_L.

SEFGH3618

【例25］如图，将四边形ABC。的四条边A3、CB、CD、4。分别延长两倍至点E、F、G、〃，若四

边形ABCD的面积为5