2024年上海市中考数学试卷

第1页（共1页）2024年上海市中考数学试卷一、选择题（每题4分，共24分）1．（4分）如果x＞y，那么下列正确的是（）A．x+5≤y+5 B．x﹣5＜y﹣5 C．5x＞5y D．﹣5x＞﹣5y2．（4分）函数的定义域是（）A．x＝2 B．x≠2 C．x＝3 D．x≠33．（4分）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2﹣6x＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2﹣6x+6＝0 D．x2﹣6x+9＝04．（4分）科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的是（）种类甲种类乙种类丙种类丁种类平均数2.32.32.83.1方差1.050.781.050.78A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类5．（4分）四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线AC的垂线．如果四个垂线拼成一个四边形（）A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形6．（4分）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，点P在ABC内，分别以ABP为圆心画圆，圆B半径为2，圆P半径为3，圆P与圆B的关系是（）A．内含 B．相交 C．外切 D．相离二、填空题（每题4分，共48分）7．（4分）计算：（4x2）3＝．8．（4分）计算：（a+b）（b﹣a）＝．9．（4分）已知，则x＝．10．（4分）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2×105GB，一张普通唱片的容量约为25GB，则蓝光唱片的容量是普通唱片的倍．（用科学记数法表示）11．（4分）若正比例函数y＝kx的图象经过点（7，﹣13），则y的值随x的增大而.（选填“增大”或“减小”）12．（4分）在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，则∠BAC＝°．13．（4分）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入90万元时销售量5000万元．则投入80万元时，销售量为万元．14．（4分）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是个绿球．15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线AC上一点，设，则＝（结果用含，的式子表示）．16．（4分）博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求（一人可以选择多种）．那么在总共2万人的参观中，需要AR增强讲解的人数约有人．17．（4分）在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，D′，若AC′：AB：BC＝1：3：7．18．（4分）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，那么抛物线“开口大小”为．三、简答题（共78分，其中第19～22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分）19．（10分）计算：．20．（10分）解方程组：．21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k为常数且k≠0）上有一点A（﹣3，m）（n，6）．（1）求k与m的值；（2）过点A作直线l∥x轴与直线y＝﹣2x+4交于点C，求sin∠OCA的值．22．（10分）同学用两幅三角板拼出了如图的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）．（1）求：①两个直角三角形的直角边（结果用h表示）；②平行四边形的底、高和面积（结果用h表示）；（2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边．23．（12分）如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点（1）求证：AD2＝DE•DC；（2）F为线段AE延长线上一点，且满足，求证：CE＝AD．24．（12分）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过（5，0）．（1）求平移后新抛物线的表达式；（2）直线x＝m（m＞0）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q；①如果PQ小于3，求m的取值范围；②记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标．25．（14分）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且．（1）如图1所示，点F在边CD上，且，联结EF；（2）已知AD＝AE＝1；①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的圆心恰好落在∠B的平分线上；②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，BC＝4，且CD2＝DM•DN，求边CD的长．

2024年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共24分）1．（4分）如果x＞y，那么下列正确的是（）A．x+5≤y+5 B．x﹣5＜y﹣5 C．5x＞5y D．﹣5x＞﹣5y【解答】解：如果x＞y，两边同时加上5得x+5＞y+3；如果x＞y，两边同时减去5得x﹣5＞y﹣3；如果x＞y，两边同时乘5得5x＞5y；如果x＞y，两边同时乘﹣5得﹣5x＜﹣7y；故选：C．2．（4分）函数的定义域是（）A．x＝2 B．x≠2 C．x＝3 D．x≠3【解答】解：由题意得x﹣3≠0，解得：x≠7，故选：D．3．（4分）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2﹣6x＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2﹣6x+6＝0 D．x2﹣6x+9＝0【解答】解：x2﹣6x＝5的根为x＝0或x＝6，∴x2﹣6x＝0有两个不等实数根，故A不符合题意；x4﹣9＝0的根为x＝6或x＝﹣3，∴x2﹣3＝0有两个不等实数根，故B不符合题意；由x2﹣4x+6＝0知Δ＝36﹣24＝12＞4，∴x2﹣6x+4＝0有两个不等实数根，故C不符合题意；由x2﹣6x+9＝0知Δ＝36﹣36＝8，∴x2﹣6x+8＝0有两个相等实数根，故D符合题意；故选：D．4．（4分）科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的是（）种类甲种类乙种类丙种类丁种类平均数2.32.32.83.1方差1.050.781.050.78A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类【解答】解：∵甲种类和乙种类开花时间最短，∴从甲种类和乙种类进行选，∵甲的方差大于乙的方差，∴开花时间最短的并且最平稳的是乙种类．故选：B．5．（4分）四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线AC的垂线．如果四个垂线拼成一个四边形（）A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，S△ABC＝S△BCD＝S△ADC＝S△BAD，∵AE⊥BD，BF⊥AC，DH⊥AC，∴AE＝BF＝CG＝DH，∴四个垂线可以拼成一个菱形，故选：A．6．（4分）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，点P在ABC内，分别以ABP为圆心画圆，圆B半径为2，圆P半径为3，圆P与圆B的关系是（）A．内含 B．相交 C．外切 D．相离【解答】解：∵圆A半径为1，圆P半径为3，∴圆A含在圆P内，即PA＝7﹣1＝2，∴P在以A为圆心、6为半径的圆与△ABC边相交形成的弧上运动∴当到P'位置时，圆P与圆B圆心距离PB最大，为，∵，∴圆P与圆B相交，故选：B．二、填空题（每题4分，共48分）7．（4分）计算：（4x2）3＝64x6．【解答】解：（4x2）8＝64x6，故答案为：64x6．8．（4分）计算：（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2．【解答】解：（a+b）（b﹣a）＝（b+a）（b﹣a）＝b2﹣a2，故答案为：b5﹣a2．9．（4分）已知，则x＝1．【解答】解：∵，∴2x﹣1＝3，∴x＝1，故答案为：1．10．（4分）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2×105GB，一张普通唱片的容量约为25GB，则蓝光唱片的容量是普通唱片的8×103倍．（用科学记数法表示）【解答】解：2×105＝200000，则200000÷25＝8000＝7×103，即蓝光唱片的容量是普通唱片的8×108倍，故答案为：8×103．11．（4分）若正比例函数y＝kx的图象经过点（7，﹣13），则y的值随x的增大而减小.（选填“增大”或“减小”）【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（7，﹣13），∴﹣13＝7k，解得：k＝﹣．∵k＝﹣＜0，∴y的值随x的增大而减小．故答案为：减小．12．（4分）在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，则∠BAC＝57°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠ABC＝66°，∴∠BAC＝（180°﹣66°）＝57°．故答案为：57．13．（4分）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入90万元时销售量5000万元．则投入80万元时，销售量为4500万元．【解答】解：设y＝ke+b，∵当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，∴，解得，∴y＝50x+500，当x＝80时，y＝50×80+500＝4500，故答案为：4500．14．（4分）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是3个绿球．【解答】解：∵一个袋子中有若干个白球和绿球，随机从中摸一个球，∴袋子中至少有7个绿球，故答案为：3．15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线AC上一点，设，则＝（结果用含，的式子表示）．【解答】解：∵，AE＝2CE，∴，又∵，∴＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝，故答案为：．16．（4分）博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求（一人可以选择多种）．那么在总共2万人的参观中，需要AR增强讲解的人数约有2000人．【解答】解：在总共2万人的参观中，需要AR增强讲解的人数约有20000××．故答案为：2000．17．（4分）在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，D′，若AC′：AB：BC＝1：3：7或．【解答】解：当C′在AB之间时，如图，根据AC'：AB：BC＝1：3：2，不妨设AC'＝1，BC＝7，由翻折的性质知：∠FCD＝∠FC'D'，∵CD沿直线l翻折至AB所在直线，∴∠BC′F+∠FC′D′＝∠FCD+∠FBA，∴∠BC′F＝∠FBA，∴，过F作AB的垂线交于E，∴，∴，当C′在BA的延长线上时，如图，根据AC′：AB：BC＝1：3：8，不妨设AC'＝1，BC＝7，同理知：，过点F作AB的垂线交于E，∴，∴，故答案为：或．18．（4分）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，那么抛物线“开口大小”为4．【解答】解：∵抛物线＝﹣）2+，∴x′﹣＝﹣）2+﹣，解得x′﹣＝﹣8，∴抛物线“开口大小”为2|x′﹣，故答案为：4．三、简答题（共78分，其中第19～22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分）19．（10分）计算：．【解答】解：＝＝＝．20．（10分）解方程组：．【解答】解：，由①，得（x﹣4y）（x+y）＝6，x﹣4y＝0或x+y＝8，x＝4y或x＝﹣y，把x＝4y代入②，得6y+2y＝6，解得：y＝2，即x＝4×1＝5；把x＝﹣y代入②，得﹣y+2y＝6，解得：y＝3，即x＝﹣6，所以方程组的解是，．21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k为常数且k≠0）上有一点A（﹣3，m）（n，6）．（1）求k与m的值；（2）过点A作直线l∥x轴与直线y＝﹣2x+4交于点C，求sin∠OCA的值．【解答】解：（1）点B（n，6）在直线y＝﹣2x+2图象上，∴﹣2n+4＝3，解得n＝﹣1，∴B（﹣1，4），∵B（﹣1，6）在反比例函数图象上，∴k＝﹣2，∴反比例函数解析式为y＝﹣，∵点A（﹣3，m）在反比例函数图象上，∴m＝﹣＝2．∴m＝7．（2）在函数y＝﹣2x+4中，当y＝7时，∴C（1，2），∴OC＝，∴sin∠OCA＝＝．22．（10分）同学用两幅三角板拼出了如图的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）．（1）求：①两个直角三角形的直角边（结果用h表示）；②平行四边形的底、高和面积（结果用h表示）；（2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边．【解答】解：（1）①如图，△ABC为等腰直角三角板，则，如图，△DEF为含30°的直角三角形板，∠F＝30°，则EF＝2h，；综上，等腰直角三角板直角边为；②由题意可知∠MNG＝∠NGH＝∠GHM＝∠HMN＝90°，∴四边形MNGH是矩形，由图可得，，，∴，故小平行四边形的底为，高为，（2）如图，即为所作图形．23．（12分）如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点（1）求证：AD2＝DE•DC；（2）F为线段AE延长线上一点，且满足，求证：CE＝AD．【解答】证明：（1）∵矩形ABCD，∴∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵AE⊥BD，∴∠DAE+∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠DAE，∵∠BAD＝∠ADE＝90°，∴△ADE∽△BAD，∴，∴AD2＝DE•BA，∵AB＝DC，∴AD2＝DE•DC；（2）连接AC，交BD于点O，∵矩形ABCD，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵AE⊥BD，∴∠DAE+∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠AED，∵∠FEC＝∠AED，∴∠ADO＝∠FEC，∵矩形ABCD，∴，∴，∴OA＝OD＝EF＝CF，∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE，∵∠ADO＝∠FEC，∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE，在△ODA和△FEC中，，∴△ODA≌△FEC（AAS），∴CE＝AD．24．（12分）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过（5，0）．（1）求平移后新抛物线的表达式；（2）直线x＝m（m＞0）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q；①如果PQ小于3，求m的取值范围；②记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标．【解答】解：（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和B（3，可得：，解得：，∴新抛物线为；（2）①如图，设，则，∴，∵PQ小于2，∴，∴x＜6，∵x＝m（m＞0），∴0＜m＜8；②，∴平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：P在B的右边，当BP′∥PQ时，∴BP′⊥x轴，∴xP′＝xB＝8，∴，由平移的性质可得：，即；如图，当P′Q∥BP时，过P′作P′S⊥QP于S，∴∠P'SQ＝∠BTP＝90°，∴△P'SQ∽△BTP，∴，设，则，，，∴，解得：x＝1（不符合题意舍去）；综上：．25．（14分）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且．（1）如图1所示，点F在边CD上，且，联结EF；（2）已知AD＝AE＝1；①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的圆心恰好落在∠B的平分线上；②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，BC＝4，且CD2＝DM•DN，求边CD的长．【解答】（1）证明：延长DE和CB交于点G，∵AD∥BC，∴，∵