人教版高中数学必修4第二章《平面向量》导学案汇编

新人教版高中数学必修四

《平面向量》

教案学案

2.1平面向量的实际背景及基本概念学案

一、学习目标

1、通过对向量的学.习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.

2、通过学生对向量.与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.

二、学习过程

1、数量与向量的区别？

2.向量的表示方法？AA由（共曷总）

①

②

③

④向量方的大小一一长度称为向量的模，记作O

3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：o

4、零向量、单位向量概念：

①叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.

②叫单位向，量.

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

5,平行向量定义：

①叫平行向量；②我们规定。与平行.

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a、b、c平行，记作a〃方

//c.

6、相等向量定义：叫相等向量。

说明：（1）向量a与6相等，记作a=6：（2）零向量与零向量相等；

（3）任.意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与尊网缱

段的起点无关..一

7、共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为（与有向线段的起点无关）.

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

三、理解和巩固：

例1判断：

（1）平行向量是否一定方向相同？

（2）不相等的向量是否一定不平行？

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？

（7）共线向量一定在同一直线上吗？

例2下列命题正确的是（）

A.a与6共线，6与c共线，则a与c也共线

B.任意两个相等的非零晌量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

例.3如图，设0是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量°”、°B、℃相等的

向量.

变式一：与04向量长度相等的向量有多少个？

变式二：是否存在与向量04长度相等、方向相反的向量？0

变式三：与向量共线的向量有哪些？

课堂练习：

1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量方与无是共线向量，则/、B、C、。四点必在一直线上;

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形/BCD是平行四边形当且仅当=DC

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

课后练习与提高

1.下列各量中不是向量的.是（）

L浮力B.风速C.位移D.密度

2.下列说法中管送的是（.）

A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0

C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是.任意的

3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）

A.--条线段B.•段圆弧C.圆上一群孤立点D.一个单位圆

4.一知非零向量。〃石，若非零向量,则。与3必定.

5.已知7、3是两.非零向量，且［与］不共线，若非零向量限与；共线，则1与3必定.

6.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点、K、/、，伙/V分别是AB、BC、CD、DA的中点，则

|~KL|=,KL=

2.2向量加减法运算及其几何意义学案

【学习目标】

1.通过物理学中的位移合成、力的合成等实例，认识理解向量加法的意义，体验数学知识

发生、发展的过程.

2.理解和掌握向量加法的运算”熟练运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量.

3.理解和掌握向量加法的运算律，能熟练地运用它们进行向量运算.

4.了解相反向量的意义；

5.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其儿何意义.

6.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化

的辩证思想.

【重点、难点】

1理解和掌握向量加法的运算，熟练运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量；

2向量减法的概念和向量减法的作图法

自主学习案

【知识梳理】

1.长度且方向的向量叫做相等向量

2.求两个向量和的运算，叫做

3.已知向量在平面内任取一点Z,作==则向量叫做向量2]

的和.记作.即万+很=方+前=12,这种求向量和的方法，称

为。

4.在平面内任取一点A,作a=仇丽=很,以为,为,为边作，连结无，则

OC^a+b.这种求向量和的方法，叫做向量加法的。

5.向量加法的运算律

(1)交换律：a+b=b+；(2)结合律：(a+Z>)+c=a+-a+b+c

6.相反向量：(1)“相反向量”的定义：与5、的向量.记作—(2)规定：

零向量的相反向量仍是；(3)-(-5)=ua+(-5)=—；(4)如果石、b

互为相反向量，则5=B=-2,a+b=0

7.向量的减法：向量石加上的5的向量，叫做石与B的差.

即：石-B=3+(-3)，求两个向量差的运算叫做向量的减法.

8.两个向量差的作法：若向量G和B有相同的起点，贝可以表示为从向量B的—指

向向量万的—的向量.⑴三角形法则：如图1,作5=无砺=5,则加=石一瓦即

把两个向量的起点放在一起，这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点

为终点的向量。

(2)平行四边形法则：如图2,作万拦乙否=4以OA,OB为边作平行四边形OACB,连接

BA,贝后)=万一&从图中可以看出，一个向量减去另外一个向量，等于此向量加上另一个

向量的u

【预习自测】

1.如图，已知£、b,分别用三角形法则和四边形法则作出£+bo

2.设非零向量石和B互为相反向量，则下列说法中错误的是()

A.aIIbB.a^bC.|石国D.a^-b

3.在平行四边形ABCD中，觉—就'=()

A.DB；B.就；C.丽；D.CA

4.化简：(1)而-而=(2)OD-CD=

【我的疑问】

合作探究案

例1.如图所示，已知不共线的向量5,B和3,求作向量万-B+c

b

例2.如图，0寸正六边形AiA2A3A4A5A6的中心,作出下列向量:

(1)0A,+0A[(2)04+A2A3

()

A：%

(3)A,1LXJ+AJXA,H+A.*A♦e〉+〉4AO

推广：44+44+44+……+4,-14,+44=

例3.化筒：AB-CB-AC

【当堂检测】

i.如图，已知方,求作和5+B.

2.填空：

AB-AD^BA-BC^

BC-BA=OD-OA=

OA-OB=________

3.化简向量(1)为+无一砺+历=(2)AB—CB—DC+DE+EA=

4.如图所示的四边形ABCD中，设

AB=3,AD=b,BC=乙则用扇B忑表示而=AC=

觉=_________________

课后练习案

1.四边形ABCD中，化简标—皮—诬=()

A.AC；B.就；C.BD；D.石

■,—»

2.在三角形ABC中，则荏等于（）

A.a+bB.-(a+b)C.a-b

3.已知0为平行四边形ABCD对角线的交点，若

OA=a,OB=b,OC=c,OD=2.贝旧+b+c+d=

4.如图，在四边形中，根据图示填空：

a+b=.b+c=c-d=

b+c-d=_____________

2.2.3向量数积学案

【学习目标】

1.掌握实数与向量积的定义，理•解实数与向量数积的几何意义；

2.让学生能由实数运算律类比向量数乘运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，

正确表示结果，掌握实数与向量的积的运算律；

3.能熟练运用实数与向量积的定义，运算律进行有关计算.

【重点、难点】实数向量积的儿何意义，用运算律进行计算。

自主学习案

【知识梳理】

1.向量的数乘

我们.规.定实数几与向量力的积是一个向量，这种.运算叫作向量的数乘，记作.

它的长度和方向规定如下：

（1）|X«|=_；____；（2）入>0时入万与石方向；入<0时入）与不方向；

由（3）知入=0或万=6时，X«=,方向；

2.实数与向量积的几何意义

当门|>1时，表示向量）的有向线段在原方向（2>0）或反方向（4<0）上伸长到原来

的倍，当0<|X|<1时，表示向量）的有向线段在原方向（力〉0）或反方向（力<0）

上到缩短到原来的倍.

3.实数与向量积的运算律

（1）结合律：入（口石）=；

⑵分配律：（入+u））=,A（万+B）=；

4.如果5（a^O）与了共线，那么有且只有.一个实数力，使

5.若存在AGR使得，则三点A,B,C共线..

【预习自测】

1、设eR,则下列叙述不正确的是（）

A.2（a-b）=Aa-AbB.（几一〃）万=而一曲

C.五二〃（而）D.而（％。0）的方向与向量方的方向相同

2.已知同=5,忖=10,若5=花，且向量分的方向与向量）的方向相反，则人的值为

（）

A.2B.—2C.---D.—

22

3.设是任意的两个向量，2e/?,给出下面四个结论：

（1）若G与X共线，则1=41（2）若X=则3与Z共线；

(3)若。=丸6,则。与方共线，(4)若。〃a,且I。0,则有aeR使得》=4a

其中，正确的结论有()

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)

【我的疑问】

合作探究案

【课内探究】

例1.化简(1)5(3云-26)+4(26-35)(2)(x-y)(a+b)-(x-y)(a-b)

例2.如图,已知任意两个非零向量a5,试作a=石+友丽=a+2瓦瓦=3+3冗你能

判断A,B,C三点之间的关系吗？为什么？

a

b

变式：设两个非零向量e1和02不共线，如果48=2q+3.02,BC=6et+23e2,

CD=4ex-8e2,求证：A、B、D三点共线.

i—►]—►—►].

例3.设M,N,.P是三边上的点，且满足前=—部，CN=/A,AP、AB^

333

酢=2就=很,试用扇B,5表示而,NP,PM.A

N

B

变式：平行四边形ABCD的对角线相交于点M,且而=£,屈=］，你能用表示

MA,MB,MC吗？

【当堂检测】

-1-1_1_

1化简：⑴5(3a-2b)+4(2b-5a)(2)-(a-2b)--(3a-2b)--(a-b)

2.3、右为非零向量，且IZ+1I=I1I+I9I则()

A.a〃1且a、3方向相同B.a=bC.a--bD.以上都不对

3.在aABC中，设刀=?,就=B,D、E是BC边上的三等分点，则而=

AE—(用b、c表示).

课后练习案

1.化简48—NC—3BC=.

2.已知4c=±48,AC=XBC,则人的值为（）

5

3.已知梯形ABCD,中，且凝=2皮，M、N分别为CD、AB的中点，若荔=5,~AD=b,

用万、X表示加.

―•••・-♦—»■•——#—»•-e・

4.已知任意两个非零向量a,方，设43=2«1+1（防,3。=一加+助,。。=30-3力，求

证：A,B,D三点共线。

5.ZXABC中，/E=,N8,EF〃BC交AC于F点，设N8=。，4(7=3,试用a,3表示向量

5

BF。

2.3.1平面向量基本定理学案

【学习目标】

1.平面向量基本定理；

2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示;能够在具体问题中适当地

选取基底，使其他向量都能够用基底来表示.

3.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义.

【重点、难点】重点难点：平面向量基本定理的理解与应用.

自主学习案

【知识梳理】

1.平面向量.基本定理：

（1）我们把不共线向量［,晟叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

（2）基底不惟一，关键是不共线；

（3）基底给定时，分解形式惟一.储，刖是被石，［，］唯一确定的数.

2.向量的夹角

（1）已知非零向量石与b,作0A—a，OB—b,则/（0W史乃）叫）与X

的.

（2）当0=0时，d与B；当〃时，五与B；

n-

（3）当，=5时，5与6垂直，记；

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点，夹角的范围.

【预习自测】

1.设1是同一平面内的两个向量，则有（）

A.,,e2•—定平行B.6,e2的模相馨

C.同一*平面内的任一向量）都有石=46+〃/（"、〃£R）

D.若最不共线，则同一平面内的任一向量）都有2=41+（4、〃£R）

2.已知非零不共线向量石与bR,且〃疝+>=0,则()

A.a=A=6B.m=n=0C.〃=0,5=0D.m=0,6=0

3.已知不共线向量石与彼长度分别为4和3,除+3|=5,

则5和很的夹角为.

【我的疑问】

合作探究案

【课内探究】

例1.已知向量弓，e2求作向量-Ze1+3e2.

例2.已知向量,，e2不共线，实数x、y满足(3六4历,+(2x-3y)e2=6^+3e2,求产y的

值.

变式：已知向量1=，-2々，3=2,+e2,c=2,+362,且N=/wb-〃c,则

例3.如图，平行四边形OADB的对角线OD,AB相交于点C,线段BC上有一点M满足

BC=3BM,线段CD上有一点N满足CZ>3CN,设方=瓦丽=试用瓦B表示万口丽.

变式：如图所示，在平行四边形OADB中，M,N分别为DC,BC的中点，已知

AM=c,AN=d,试用表示刀,75.

【当堂检测】

a,

1.已知向量万=,一26，5=21+晟其中［,最不共线，则3与

—>»>

C二66一202,的关系（）

A.不共线后共线C.相等D.无法确定

2.已知石，很不共线，S.c=^a+A2b（儿，A2eR）,若巨与3共线，则，=.

-►

-*—*—»

3.已知入1>0,入2>0，C］，。2是一，组基底，且5=4耳+则石与，_____.»G与

--►

02（填共线或不共线）.

4.等边aABC中，AB与BC的夹角是

课后练习案

1.下面三种说法正确的是（）

①--个平面内只有•对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；

②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；

③零向量不可为基底中的向量.

A.①②B.②③C.①③D.①②③

■*—*,,—♦*

2.已知向量,62。0,〃£火,石二6+〃6，6=26，若石，石共线，则

下列关系中一定成立的是（）

A.//=05.e2=0C.q〃e2D.q〃6或4=0

3.设O是平行四边形288两对角线的交点，下列向量组：

①75,荏②方面③反比@OD,OB

其中可以作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底是。

―»—»—►―»——►—►——*,—*,

4.已知向量ei,e2不共线，向量万=3%—262,b=-2ex+e2,c=7q-de2,试用3,

b表■示3.

5.AABC,D、E、产分别是48、BC、C/上的中点，已知AC=b,用5,B表

示DE,EF,AE.

2.3.2平面向量的正交分解及坐标运算和共线的坐标表示学案

【学习目标】

1.理解向量的正交分解及其意义。

2.理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，能熟练进行向量的坐标运算；

3.理解并掌握用坐标表示平面向量共线的条件,能应用平面向量共线的条件解决向量共线的

有关问题.

【重点、难点】

重点：理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，能熟练进行向量的坐标运算

难点：能灵活应用平面向量共线的条件解决向量共线的有关问题.

自主学习案

【知识梳理】

2.平面向量的正交分解

由平面向量的基本定理，对于平面内的任向量)均可以分解为不共线的两个向量力[和

X2a2,使之=为由+42a2，若________________,______，则称为)的正交分解，它是平面向

量基本定理的特殊形式，是向量坐标表示的理论基础。

3.平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量;、，作为基底，由

平面向量基本定理知，对于平面内任一向量5,有且只有一对实数x、y,使得5=x7+0,

即a=________

从原点出发的向量宓＜.对应〉向量的坐标(x,y)

3.已知a=(X/,%),b=(后/2)，则：

(1)a+h^____________

(2)a-b=____________

(3)Aa-____________

4.若/(X],y]),8(》2,%)，则AB=.

—»―►-►

5.设2=(%1，%)，b=(x2,y2),其中bW0,.当且仅当——时，a//b.

【预习自测】

1、已知7、7分别是与x轴、夕轴方向相同的两个单位向量，若G=(3,4),则石可以用7、

7表示为()

A.a=3i+4jB.a=3i-4jC.a=-3i+4jD.a=4i+3j

2.已知向量石=(1,3),向量B=(-2,1),求以下向量的坐标运算：

a+b=a—b=3a=2a+3b-

3.已知4(—l,2),8(3,-4),则向量方的坐标是。

4.下面各组的日个向量，共“线的是()

A、5=(-2,3),=(4,6)B、c=(l,-2),J=(4,6)

C、e=(2,3),/=(3,2)D、g=(-3,2),A=(6,-4)

【我的疑问】

合作探究案

【课内探究】

例1、已知不=(2,1),3=(一3,4),求)+B,5-B,3G+4B的坐标。

变式：已知方=(1,-2),B=(—3」)4=(11,-7),且7=x方+歹3,求x,y.

例2、已知UBCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是A、B、C的坐标分别是

(-2,1)、(-1,3)、(3、4),试求顶点D的坐标。

例3.已知石=(1,2),3=(-3,2),若而+6与3—3很平行，求3

变式：已知4(一1,一1),3(1,3),。(2,5),试判断A、B、C三点是否共线。

例4：设点尸是线段片B上的一点，片,鸟的坐标分别是(X，乂)，(％2，%)。

(1)当点P是线段片鸟的中点时，求点尸的坐标；

(2)当点P是线段86的一个三等分点时，求点尸的坐标。

总结提升：

向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种特殊形式；向量的坐标表示也是向量

的代数表示，向量的坐标表示体现了数形的紧密联系，从而可用“数”来解决“形”的问题。

【当堂检测】

1.下列说法正确的是()

A..平面内由单位向量组成的正交基底有只有一对，

B.相等向量的坐标相同，并且它们起点的坐标，终点的坐标都要相同

C.平面内任,何两个不共线的非零向量都能作为基底向最。

D.平面内任何两个不共线的非零向量都能作为正交基底向量

2.在平面直角坐标系中，0为原点，已知点A的坐标为(2,3)点B的坐标为(6,5),则

0A=,0B=,AB=

3.若石=(2,3)/=(4,相—1),且3〃5，则相等于()

A、5B、6C、7D、8

4.已知点0(0,0),向量为=(2,3),为=(6,-3),点P是线段48的三等分点，求点P

的坐标。

课后练习案

I—]——*.

1.0是坐标原点，向量次的坐标是(4,0),向量03=彳04,则向量丽的坐标是—

2.已知旭=(2,7),n=(x+2,7),若加二〃，贝ijx二

t_—]f

3.已.知向量a=(x+y,xy),b=(-10,-12),若。=一小,求x,y.

4.已知表示向量)的有向线段始点A的坐标，求它的终点B的坐标：

(1)5=(-2,1),^=(0,0)(2)a=(5,-4),4=(3,-6)

5.已知OBCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),求顶点D的坐标。

6.已知点A(1,1),B(T,5)及AC=、AB,AD=2AB,AE=,求点C、D、

E的坐标.。

3—­

7.已知A(2,3),B(4,-3),点P在线段AB的延长线上，且力尸=-PB,求点p的坐

标。

2.3.3《平面向量的坐标运算》教案

【教学目标】

1.能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运

算，进一步培养学生的运算能力；

2.通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互

联系，培养学生辨证思维能力.

【教学重难点】

教学重点：平面向量的坐标运算.

教学难点：对平面向量坐标运算的理解.

【教学过程】

一、k创设情境》

以前，我们所讲的向量都是用有向线段表示，即几何的方法表示。向量是否可以用代数

的方法，比如用坐标来表示呢？如果可能的话，向量的运算就可以通过坐标运算来完成，那

么问题的解决肯定要方便的多。因此，我们有必要探究一下这个问题：平面向量的坐标运算。

二、R新知探究》

思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设3=(xi,yi)h=(x2,Y2)

则g=X|i+yjb=x2i+y2j,根据向量的线性运算性质，向量石+分，a-b,Xa(X

GR)如何分别用基底i、j表示？

5+3.=(xi+x2)i+(yi+y2)/，

a-b=(x1-x2)i+(yi-y2V-

入石=入X]i+入yj.

思考2：根据向量的坐标表示，向量万+B,a~b,入石的坐标分别如何？

a+h=(x!+x2,yi+y2)；

石―B=(xi—X2，yi—y2)；

入G=(入X],A.y,).

两个向量和与差的坐标运算法则：

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原-来向量的相应坐标.

思考3：已知点A(xi,yi),B(X2,y2)，那么向量方的坐标如何？

结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

思考4：•个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？

结论：

1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关系，只与其

相对位置有关。

2：当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的坐标就是向量终点的坐标.

三、K典型例题2

例1已知G=(2,1),3=(—3,4),求a+b,a—b,33+4B的坐标.

解：5+6—(2,1)+(-3,4)=(—1,5),

a—b—(2,1)-(-3,4)=(5,-3),

33+4各=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).

点评：利用平面向量的坐标运算法则直接求解。

变式训练1：已知2=(3,2),6=(0,-1),求一2Z+4B,41+31的坐标;

例2、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(-2,1)、(-1,3)(3,

4),求顶点D的坐标。

解：设点D的坐标为(x,y),

•.•屈=(-1,3)-(-2,1)=(1,2)

5c=(3,4)-(x,^)=(3-x,4-y)

且在=皮

.-.(l,2)=(3-x,4-^)

即3・x=l,4・y=2

解得x=2,产2

所以顶点D的坐标为(2,2).

另解：山平行四边形法则可得

BD^BA+BC

=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)

=(3,-1)

OD^OB+BD

所如名星曲D((2,2)

点评：考查了向量的坐标与点的坐标之间的联系.

变式训练2：已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-l,3),C(3,4),求点D的坐标使

这四点构成平行四边形四个顶点。

四、K课堂小结』

本节课主要学习了平面向量的坐标运算法则：

(1)两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和；

(2)两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差；

(3)实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标乘以该实数；

五、工反馈测评】

1.下列说法正确的有()个

(1)向量的坐标即此向量终点的坐标

(2)位置不同的向量其坐标可能相同

(3)一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标

(4)相等的向量坐标一定相同

A.1B.2C.3D.4

2.已知A(-1,5)和向量石=(2,3),若=3G,则点B的坐标为。

A.(7,4)B.(5,4)C.(7,14)D.(5,14)

3.已知点4(1,1),8(-1,5)及工=；在，AD=2AB,AE=-^AB,求点C、D、

E的坐标。

2.3.3平面向量的坐标运算

课前预习学案

一、预习目标：通过预习会初步的进行向量的加法、减法、实数与向量的枳的坐标运

二、预习内容：

1、知识回顾：平面向量坐标表示

2.平面向量的坐标运算法则：

若a=(xbyD,b=(x2,y2)贝Ua+b=,

a—b=,Xa=..

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标：

1.能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关

运算，进一步培养学生的运算能力；

2.通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相联

系，培养学生辨证思维能力.

二、学习内容

1.平面向量的坐标运算法则：

思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若5=(X|,yi)，b=(x2,y2)＞则

a=xii+yij.B=X2i+y2j，根据向量的线性运算性质，向量3+B，a—b,入5(人

GR)如何分别用基底i、j表示？

思考2：根据向量的坐标表示，向量5+B,a-b,入万的坐标分别如何？

思考3：已知点A(xby)B(X2,y2)，那么向量的坐标如何？

平面向量的坐标运算法则：

(1)两向量和的坐标等于;

(2)两向量差的坐标等于;

(3)实数与向量积的坐标等于;

思考4：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？

2.典型例题

例1：已知3=(2,1),5=(—3,4),求a+b,a—b,35+4分的坐标.

例2：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标.分别为(-2,1)、(-1,3)、

(3,4),求顶点D的坐一标。

三、反思总结

(1)引进向量的坐标后，向量的基本运算转化为实数的基本运算，可以解方程，可以解不等式,

总之问题转化为我们熟知的领域之中。

(2)要把点坐标与向量坐标区分开来，两者不是一个概念。

四、当堂检测

1.下列说法正确的有()个

(1)向量的坐标即此向量终点的坐标

(2)位置不同的向量其坐标可能相同

(3)一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点.坐标

(4)相等的向量坐标一定相同

A.1B.2C.3D.4

2.已知A(-l,5)和向量为=(2,3),若凝=35,则点B的坐标为。

A.(7,4)B.(5,4)C.(7,14)D.(5,14)

3.已知点4(1,1),8(-1,5)及抚=；在，AD=2AB,AE=-jAB,求点C、D、E

的坐标。

课后练习与提高

1.已知工=(3,2),1=(0,-1),则-2Z+4/等于()

A.(-6,—8)B.(―3,—6)

C.(6,8)D.(6,-8)

2.已知平面向量)=(1,2),%=,且2)=九则2)-33等于(.)

A.(-2,-4)B.(-3,-6)

C.(-5,-10)D.(-4,-8)

3已知£=(2,3),B=(—1,2),若左Z—石与Z—女鼠平行，贝U左等于().

A.1B..-1C.1或-1D.2

4.已知a=(5,2),a=(-7,-2),则4a+3b的坐标为.

5.已知：点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若AP=AB+入AC(入GR),则人为

时，点P在一、三象限角平分线上.

6.已知a=(2,-4),b-(-1,3),c-(6,5),p-a+2b-c,则以a,B为基底,

求p.

参考答案:

VlW.WA'2.D3.C4.(-1，,2)5.-3

6.解：令2=总+施,则(6,5)=4(2,-4)+皿-1,3).

.2兄一〃=6

(6,5)=(24-区一4；1+3以),」-44+3〃=5'

23

=T，：.p=a+^-—a-\lb=--a-\^>.

"=1722

2.3.3平面向量的坐标运算学案

【学习目标】

1.会用坐标.表示平面向量的加减与数乘运算；能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标；

2.体会向量是处理几何问题的工具.培养细心、耐心的学习习惯，提高分析问题的能力。

【学习过程】

一、自主学习

（一）知识链接：复习：⑴向量是共线的两个向量，则之间的关系可表示

为.

⑵向量亲,最是同一平面内两个不共线的向量，［为这个平面内任一向量，则向量£可用］，瑟

表示.为0

（二）自主探究：（预习教材P96—P97）

探究：平面向量的坐标运算

问题1：已知＜7=（X］,%），b=（x2,y2）,能得出“+否，a-b,几”的坐标吗？

1、已知：a=（为，/），5=（巧，巧），义为一实数

a+b=。a—b=。

这就是说，两个高量和（差）的坐标分别等于

Aa=.这就是说,实数与向量的积的坐.标等于:

问题2：如图，已知力后,乂），8（马,必），则怎样用坐标表示向量拓呢？

2、若已知2（*1，匕），6（巧，/），

贝ijAB==

即一个向量的坐标等于此向量的有向线段

的。

问题3:你能在上图中标出坐标为（X2-司,％-必）的P点吗？标出尸点后，你能发现向量

的坐标与点的坐标之间的联系吗?

二、合作探究

1、已知a+5=（2,-8）,a-否=（-8,16）,求。和5.

2、已知平行四边形/BCO的顶点力（-1,-2）,5（3,-1）,C（5,6）,试求:

（1）顶点。的坐标.

（2）若/C与8。的交点为O,试求点。的坐标.

3、已知△ZBC中，3(7,8),3(3,5),C(4„3),M、N是AB、3c的中点,3是5c的中点,

MN与AD交于点、F,求亦

三、交流展示

1、已知向量的坐标，求£+加£一5的坐标.

(l)o=(3,7),6=(-2,l)

⑵)=(-3,-4),1=(4,3)

⑶7=(2,-5)1=(3,-8)

(4)a=(O,-l),6=(-1,0)

2、已知力、8两点的坐标，求方，成的坐标.

⑴/(1,3),8(-2,-5).

⑵/(0,-1),8(3,6)

⑶4(4,-7),3(2,1)

⑷/(0,0),8(4,-5)

3251—1-

3、已知以，-),M—,-)，且g=一MN,求P点的坐标。

2

4、已知向量a=(3,-2),b=(-2,1)(c=(7,-4),试用来表示c.

四、达标检测(A组必做，B组选做)

A组：L若向量〃=(x-2,3)与向量否=(l,y+2)相等，则()

A.x=l,y=3B.x=3,y=1C.x=l^y=—5D.x=5,y=-1

2.已知方=(x,y),点击的坐标为(-2,1),则行的坐标为()

A.(x-2,y+l)B.(x+2,_y-1)C.2—x,y)D.(x+2,y+l)

3.已知£=(3,-1),1=(一1,2),贝IJ-3Z-2否等于()

A.(7,l)B,(-7,-l)C.(-7,1)D.(7,-l)

4.设点/(—1,2),8(2,3),C(3,-l)且赤=2万一3及，求。点的坐标。

B组：1、已知点4(—1,—5)和向量a=(2,3),若4B=3a,则点8的坐标为()

A.(6,9)B.(5,4)C.(7,14)D.(9,24)

2、已知圆C：(x—3)2+3—3)2=4及点M为圆C上的任意一点，点儿在线段M1

的延长线上，且该=2用/,求点N的轨迹方程.

2.3.4《平面向量共线的坐标表示》教案

【教学目标】

1.会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件；

2.能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。

3.通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思

维能力.

【教学重难点】

教学重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解.

教学难点：定比分点的理解和应用.

【教学过程】

一、K创设情境F

前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。这就为解

决问题提供了方便。我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数人使得坂=入石，那

么这个条件是否也能用坐标来表示呢？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的

坐标表.示。

二、K新知探究』

思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数人使得5=入B,那么这个条件是否也能

用坐标来表示呢？

设2=(xi,y。3=(x2,丫2)(b*6)其中Bw石

_-[x\~〜

由石=入/),(xi,yi)=X(x,y),消去入：X!y—xyi=0

22〔乂=机22

结论：a//b(b^0)<»x1y2-x2yi=0

注意：1。消去入时不能两式相除，・・・力,丫2有可能为0，・・・Bw6,

；・X2,Y2中至少有一个不为0.

2。充要条件不能写成"=匹•；X],X2有可能为0.

再x2

-=亦

3。从而向量共线的充要条件有两种形式：a//ba~

%%f必=o

三、R典型例题》

例L已知a=(4,2),b=(6,y),且。〃讥求

解：Vallb,:.4y—2x6=0.y=3.

点评：利用平面向量共线的充要条件直接求解.

变式训练1：已知平面向量1=(1,2),b=(-2,m)，且工〃几则0+3否等于

例2:已知/(-1,7),3(1,3),C(2,5),求证:/、B、。三点共线.

证明：刀=(1—(一1),3-(—1))=(2,4),^C=(2-(-l),5-(-l))=(3,6),

又2乂6-3乂4=0,；.在〃就.：直线48、直线4C有公共点Z,

：.A,B,C三点共线。

点评:若从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线.

变式训练2：若Z(x,-1),8(1,3),C(2,5)三点共线，则x的值为.

例3.:设点P是线段PR上的一点,Pi、P2的坐标分别是(X】,力)，(x2,y2).

(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；

(2)当点P是线段PF2的一个三等分点时，求点P的坐标.

解：(1