人教A版高中数学第一册(必修1)学案1：3 . 4 函数的应用(一)

3.4函数的应用(一)

课程标准

核心素养

理解函数模型是描述客观世界中变量关

通过对函数的应用(一)的学习，提升“数

系和规律的重要数学语言和工具.在实

学建模，，、“逻辑推理，，、“数学运算，，的核

际情境中，会选择合适的函数类型刻画

心素养.

现实问题的变化规律.

课堂互动探究

探究一分段函数模型

例1电信局为了满足客户的不同需要，设有A,B两种优惠方案，这两种方案的应付话费

(元)与通话时间(min)之间的关系如图所示(实线部分).(注：图中MN〃C0试问:

(1)若通话时间为2h,按方案A,B应各付话费多少元？

(2)方案B从500min以后，每分钟收费多少元？

(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？

『方法总结』

1.一次函数模型的特点和求解方法

(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.

(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解.

2.分段函数模型应用的两个注意点

(1)分段对待：分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当成几个

问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围，特

别是端点值.

(2)原则：构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏.

跟踪训练1为方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民

卡''与"如意卡''在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)与通话费M元)的关系如图所示：

(1)分别求出通话费y””与通话时间x之间的函数『解析』式;

(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡更便宜.

探究二二次函数模型

例2牧场中羊群的最大蓄养量为相只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大

蓄养量，必须留出适当的空闲率.已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘

积成正比，比例系数为k(Q0).

(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；

(2)求羊群年增长量的最大值；

(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围.

变式探究若将本例”与空闲率的乘积成正比”改为”与空闲率的乘积成反比”，又如何表示出

y关于x的函数关系式？

『方法总结』

利用二次函数求最值的方法及注意点

方法：根据实际问题建立函数模型［解析』式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用

函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.

注意点：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.

跟踪训练2据市场分析，某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本），（万

元）可以看成月产量x（吨）的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量

为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点.

（1）写出月总成本y（万元）关于月产量x（吨）的函数关系式；

（2）已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获得最大利润.

探究三事函数模型应用举例

例3某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在

的关系为y=K(a为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品

利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为万元.

『方法总结』

处理事函数模型的步骤

(1)阅读理解、认真审题.

(2)用数学符号表示相关量，列出函数『解析J式.

(3)根据基函数的性质推导运算，求得结果.

⑷转化成具体问题，给出解答.

跟踪训练3某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收

益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资

1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.

(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；

(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，

其最大收益是多少万元？

随堂本课小结

建立数学模型一定要过好三关：

(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口.

(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达文字关系.

(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的

数学模型.

★参*考*答*案★

课堂互动探究

探究一分段函数模型

例1解由题图可知，M(60,98),N(500,230),C(500,168),MN//CD.

设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为力(x),报x),

'98,(0<x<60),(168,(0<x<500),

则/(x)=〈33

市+80,(x>60),[Y^C+18,(X>500).

(1)通话2h,两种方案的话费分别为116元，168元.

333

(2)因为.屈”+1)一为(〃)=诟(〃+1)+18一行”-18=而=0.3(元)(〃>500),

所以，方案B从500min以后，每分钟收费0.3元.

(3)由题图知，当0S区60时，有/(x)<加(x).

当后500时，力(x)>加x),

当60<JC<500时，由fA(x)>fn(x),得x>皆^

即当通话时间在偌2+8)时，方案B比方案A优惠.

跟踪训练1解(1)由图象可设了1=上途+29,y2=kix.

由点8(30,35),C(3015)分别在yi=/(x)和)，2=g(x)的图象上，

可得30攵1+29=35,30攵2=15.，4|=/，左2=今

•••通话费力，”与通话时间X之间的函数「解析」式为yi=5+29,

11290

⑵令力=”，得尹+29=中.解得X——.

...当》=等290时，两种卡的收费相同；

令”>丫2，得$+29>夕，解得xV皆.

...当x<爷时，使用“如意卡”便宜；

令得$+29V5,解得x>皆.

...当x>怨时，使用“便民卡”便宜.

综上，当用户在一个月内的通话时间为2等90min时，两种卡收费相同；当用户在一个月内的

通话时间小于竽min时，使用“如意卡”便宜；当用户在一个月内的通话时间大于竽min

时，使用“便民卡”便宜.

探究二二次函数模型

例2解(1)据题意，由于最大蓄养量为只，实际蓄养量为x只，则蓄养率为今

故空闲率为1—今由此可得尸区(1-(0<x</n).

(2)对原二次函数配方，

得尸一'(/一〃犹尸一作一郢+笄

即当时，)，取得最大值竽.

(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养

量，即0<x+y<m.

因为当时，ymax=牛，所以。与+竽<，〃，解得一2<%<2.

又因为Q0,所以0<k<2.

变式探究解据题意，由于最大蓄养量为机只，实际蓄养量为x只，则蓄养率为'

故空闲率为1一康，因为羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成反比,

由此可得)'=(0<X<AW).

跟踪训练2解(1)设丫=°(x-15)2+17.5,

将x=10,y=20代入上式，得20=25〃+17.5.解得

所以卜=需(》一15)2+17.5,(10<A<25).

(2)设最大利润为Q(x),则Q(x)=1.6x—y=1.6x一(舟―3x+40)=-^-23)2+12.9,

(10<r<25).

因为x=23G/10,25』时取最大值，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.

探究三幕函数模型应用举例

例3125

H解析』』由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y=Y中，即3a

=27,解得。=3,故函数『解析』式为所以当尤=5时，y=125.

跟踪训练3解(1)设两类产品的收益与投资的函数关系分别为_/(外=鬲筋8(X)=依也.

由已知得八1)=