对数函数讲义-2025届高三数学一轮复习

基础课12对数函数考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养对数函数掌握2023年北京卷T2020年全国Ⅲ卷T★★☆逻辑推理直观想象数学运算命题分析预测从近几年高考的情况来看，对数函数是高考常考内容，一般以选择题或填空题的形式出现，难度在中等及以下.命题热点为对数函数的图象与性质的应用.预计2025年高考会单独考查对数函数的图象与性质的应用一、对数函数的定义一般地，函数y=logax(a>二、对数函数的图象与性质ya0图象性质定义域：①0值域：②R过定点③1当x>1时，y>0当x>1时，y<0在0,+∞上是④在0,+∞三、反函数一般地，指数函数y=ax(a>0,且a对数函数的图象与底数大小的比较：如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.题组1走出误区1.判一判.（对的打“√”,错的打“×”）（1）函数y=log2（2）函数y=ln1+x（3）当x>1时，若logax>（4）函数y=log2x与2.（易错题）已知函数y=fx，x，y满足关系式lglg【易错点】忽视对数函数的定义域致误.[解析]因为lglgy=lg3x+lg3−x，所以{3x>0,3−x>0,题组2走进教材3.（人教A版必修①P133·例3改编）设a=log412，b=A.a>b>c B.b>c[解析]a=1+log43，b=1+4.（人教A版必修①P139·T3改编）如图，对数函数y=lnx的图象与一次函数y=fx的图象有A，B[解析]由题意得，A1,0,Be,1.设fx=题组3走向高考5.[2022·全国乙卷]（双空题）若fx=lna+1[解析]因为函数fx=lna+11−x+b为奇函数，所以其定义域关于原点对称.由a+11−x≠0，可得1−x考点一对数函数的图象及应用［师生共研］典例1（1）已知lga+lgb=0(a>0且aA. B. C. D.[解析]∵lga+lgb=0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，∴ab=1（2）当0<x≤12时,4A.(0,22) B.(22,1)[解析]易知0<a<1,函数y=4x与y=log变式设问若将本例（2）中的条件“4x<logax”变为“4x=[解析]若方程4x=logax在(0,12]上有解,则函数y=4x与函数y=logax对数函数图象的识别及应用方法1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.1.函数fx=xA.B.C.D.[解析]由题意，函数fx=xlogaxx0<当x>0时，函数fx=log2.已知函数fx=log2x，实数a，b满足0<a<b，且[解析]∵fx=log2x，∴fx的图象如图所示，又fa∴a2<∴a=12，考点二对数函数的性质及应用［多维探究］比较大小典例2（1）[2024·九江模拟]已知a=20.2，b=logA.b>a>c B.b>c[解析]因为20<2又b=log0.5所以b>a>（2）[2022·全国甲卷]已知9m=10，a=10A.a>0>b B.a>b[解析]由9m=10，可得m=log910=lg10lg9>1，而lg9⋅lg比较对数函数值大小的方法单调性法在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，则先化为同底中间量过渡法寻找中间数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法根据图象观察得出大小关系解对数方程或不等式典例3（1）方程log2x−（2）已知不等式logx2x2+1<[解析]（1）原方程变形为log2x−1+log2x+（2）原不等式⇔或x解不等式组①得13所以实数x的取值范围为(13,对数不等式的常见类型及解题策略1.解形如logafx>logagx的不等式，常借助函数2.解形如logafx>b的不等式，应先将b3.解形如loga对数函数性质的综合应用典例4（1）已知函数fx=ln2+2xA.是奇函数，且在0,1上单调递增 B.是奇函数，且在C.是偶函数，且在0,1上单调递增 D.是偶函数，且在[解析]∵fx=ln2+2x+ln3−∵f−x=ln6∵fx=ln1−x2+ln6，内层函数u=1−（2）若fx=lgx2−2ax+A.[1,2) B.[1,[解析]令函数gx=x要使函数fx在(−∞,1]上单调递减，则有g1>0,a≥在利用对数函数的性质求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性时，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.1.[2024·赣州模拟]设a=2log32，b=log23，cA.a>b>c B.c>b[解析]∵3a=6log32=log364<log2.已知函数fx=log12[解析]当x≤1时，不等式fx<f当1<x≤2时，不等式