高一数学学案(任意角)

高一数学必修4导学案第一章三角函数1.【学习目标】了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角【自主学习】一、复习引入问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？______________________________________________________。所学的角的范围是什么？______________________________________________________。问题2：在体操、跳水中，有“转体”这样的动作名词，这里的“”，怎么刻画？______________________________________________________。二、建构数学1．角的概念角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。2．角的分类按__________方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。【典型例题】1、度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小对于α＝210°，β＝－150°，γ＝－660°，你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？例1（1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？（2）若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度？（3）如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？2、任意两个角的数量大小可以相加、相减，如50°＋80°=130°，50°－80°=－30°，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？3.终边相同的角思考:（1）下列角分别是第几象限角？这当中一些角有什么共同特征？（2）具有相同终边的角彼此之间有什么关系？你能写出与角终边相同的角的集合吗？所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个_________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成。4．象限角、轴线角的概念我们常在直角坐标系内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与__________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________。象限角的集合（1）第一象限角的集合：_______________________________________（2）第二象限角的集合：_______________________________________（3）第三象限角的集合：_______________________________________（4）第四象限角的集合：_______________________________________轴线角的集合（1）终边在轴正半轴的角的集合：_______________________________________（2）终边在轴负半轴的角的集合：_______________________________________（3）终边在轴正半轴的角的集合：_______________________________________（4）终边在轴负半轴的角的集合：_______________________________________（5）终边在轴上的角的集合：_______________________________________（6）终边在轴上的角的集合：_______________________________________（7）终边在坐标轴上的角的集合：_______________________________________三、课前练习在直角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。【典型例题】例2在的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角。（1）（2）（3）（4）－950012＇例3已知角的终边相同，判断是第几象限角。例4写出终边落在第一、三象限的角的集合。例5写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）（1）（2）（3）【拓展延伸】已知角是第二象限角，试判断为第几象限角？【巩固练习】1、设，则与角终边相同的角的集合可以表示为___________________.2、把下列各角化成的形式，并指出它们是第几象限的角。（1）（2）（3）（4）3、终边在轴上的角的集合_______________;终边在直线上的角的集合________________;终边在四个象限角平分线上的角的集合_________________________.终边在角终边的反向延长线上的角的集合___________________________.若角的终边与角的终边关于原点对称，则；若角的终边关于直线对称，且，则。集合，，则7、若是第一象限角，则的终边在__________________________【课后训练】分针走10分钟所转过的角度为___________;时针转过的角度为____________.2、若，则的范围是_________，的范围是________.3、（1）与终边相同的最小正角是________;（2）与终边相同的最大负角是_______________;（3）与终边相同且绝对值最小的角是__________;（4）与终边相同且绝对值最小的角是___________.4、与终边相同的在之间的角为_______________________.5、已知角的终边相同，则的终边在___________________________.6、若是第四象限角，则是第_____象限角；是第____象限角。7、若集合，集合，则8、已知集合，，，下列说法：（1），（2），（3），（4）其中正确的是____________.9、下列命题正确的是（）第一象限角一定不是负角B.小于的角一定是锐角C钝角一定是第二象限角D第一象限角一定是锐角试求出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角：（1）－550°（2）（3）（4）11、角小于而大于，它的7倍角的终边又与自身终边重合，求角。12、已知与角的终边相同，分别判断是第几象限角。【课堂小结】角的概念推广后，角的大小可以任意取值.把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.2.终边相同的角有无数个，在0°～360°范围内与已知角β终边相同的角有且只有一个.用β除以360°，若所得的商为k，余数为α（α必须是正数），则α即为所找的角.1.【学习目标】理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系【学习重点、难点】弧度的概念，弧度与角度换算【自主学习】一、复习引入请同学们回忆一下初中时所学的角度制，是怎么规定角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？二、建构数学1．弧度制角还可以用__________为单位进行度量，___________________________________叫做1弧度的角，用符号_____表示，读作________。2．弧度数：正角的弧度数为_________，负角的弧度数为_________，零角的弧度数为_____如果半径为r的圆心角所对的弧的长为1，那么，角α的弧度数的绝对值是_________。这里，α的正负由____________________________________决定。3．角度制与弧度制相互换算360°＝_________rad180°＝_________rad1°＝_________rad1rad＝_________°≈_________°4．角的概念推广后,在弧度制下,________________与______________之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即_______________)与它对应;反过来,每一个实数也都有________________(即_______________)与它对应。5．弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：角的弧度数的绝对值______________（为弧长，为半径）弧长公式：____________________________扇形面积公式：____________________________【典型例题】例1．把下列各角从弧度化为度。（1）（2）（3）（4）（5）例2．把下列各角从度化为弧度。（1）（2）（3）（4）（5）例3．（1）已知扇形的周长为，圆心角为，求该扇形的面积。（2）已知扇形周长为，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数。例4．已知一扇形周长为（），当扇形圆心角为何值时，它的面积最大？并求出最大面积。【巩固练习】1、特殊角的度数与弧度数的对应。度数00300450600900120013501500180021002250240027003600弧度数2、若角，则角的终边在第____象限；若，则角的终边在第___象限。3、将下列各角化成，的形式，并指出第几象限角。（1）（2）（3）（4）5．下列命题中，假命题的是（）A、“角度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；B、1度的角是周角的，1弧度的角是周角的；C、根据弧度的定义，一定有成立；D、不论是用角度制还是用弧度制量角，它们与圆的半径长短有关.4、圆的半径为，则的圆心角所对的弧长为______；扇形的面积为________。5、用弧度制表示下列角终边的集合。（1）轴线角（2）角平分线上的