新九年级数学时期讲义第4讲二次函数(二)-满分班(学生版+解析)

第4讲二次函数（二）1二次函数的图象与系数的关系抛物线中，的作用：

(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，

故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.

(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.

当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：

①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则【例题精选】例1(2023秋•长春月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中：①a＞0，②a+b+c＝2，③bc＜0，④a﹣b+c＞0，正确的有（）A．①④ B．①②③ C．①②④ D．②③④例2(2023秋•香坊区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④b2﹣4ac＜0，其中正确结论的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【随堂练习】1．(2023秋•诸暨市校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．(2023秋•南岗区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列关于a，b，c间关系判断正确的是（）A．ab＜0 B．bc＜0 C．a+b+c＞0 D．b2﹣4ac＜03．(2023秋•福田区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④a+b+c＜0．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2二次函数与方程的综合函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.

【例题精选】例1(2023秋•乐亭县期末）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为（）A．﹣7 B．7 C．﹣10 D．10例2(2023秋•滦南县期末）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根，则m最大值为（）A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．9【随堂练习】1．(2023秋•开远市期末）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），则一元二次方程x2+bx+c＝0的根为____________．2．(2023秋•江阴市期末）二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为_________．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，3二次函数与不等式的关系【例题精选】例1(2023•浙江自主招生）二次函数y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为________．例2(2023•玉山县一模）“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b【随堂练习】1．(2023秋•铁西区期末）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101…y…0430…（1）把表格填写完整；（2）根据上表填空：①抛物线与x轴的交点坐标是________和________；②在对称轴右侧，y随x增大而________；③当﹣2＜x＜2时，则y的取值范围是_____________．（3）确定抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；综合练习一．选择题（共5小题）1．已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，且过点A（a，b），B（a﹣4，b），则b的值为（）A．4 B．2 C．6 D．92．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点纵坐标为﹣5．若|ax2+bx+c|＝m有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．0＜m＜5 B．m＞5或m＜0 C．m＞5或m＝0 D．m≥5或m＝03．关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（）A．开口向上 B．当a＝2时，经过坐标原点O C．抛物线与x轴无公共点 D．不论a为何值，都过定点4．若m、n（m＜n）是关于x的一元二次方程3﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两个根，且a＜b，则m，n，b，a的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．b＜n＜m＜a D．n＜b＜a＜m5．已知二次函数y＝x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则b＝（）A．2 B．±2 C．4 D．±4二．解答题（共4小题）6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2．（1）b＝；（用含a的代数式表示）（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；7．如图，抛物线y＝x2﹣3x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求k的值；（2）求抛物线与x轴的交点坐标；（3）设抛物线y＝x2﹣3x+k的顶点为M，求△ABM的面积．8．抛物线C1：y＝x2向左平移1个单位长度，在向下平移4个单位长度得到抛物线C2．（1）求抛物线C2对应的函数解析式以及抛物线C2与x轴的交点坐标；（2）当x取什么值时，抛物线C2在x轴的下方？9．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴是直线x＝1．（1）求证：2a+b＝0；（2）若关于x的方程ax2﹣bx+6＝0的一个根是4，求方程的另一个根．第4讲二次函数（二）1二次函数的图象与系数的关系抛物线中，的作用：

(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，

故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.

(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.

当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：

①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则【例题精选】例1(2023秋•长春月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中：①a＞0，②a+b+c＝2，③bc＜0，④a﹣b+c＞0，正确的有（）A．①④ B．①②③ C．①②④ D．②③④分析：根据函数的图象的开口向上，即可判断①，把（1，2）代入函数解析式，即可判断②；根据函数的对称轴即可求出b＞0，根据函数图象与y轴的交点的位置求出c＜0，即可判断③，把x＝﹣1代入函数解析式，即可判断④．【解答】解：抛物线开口向上，则a＞0，因此①正确；抛物线过（1，2），代入得，a+b+c＝2，因此②正确；对称轴在y轴的左侧，则a、b同号，而a＞0，则b＞0，∵二次函数的图象与y轴交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∴bc＜0，因此③正确，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，因此④不正确；故选：B．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．例2(2023秋•香坊区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④b2﹣4ac＜0，其中正确结论的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个分析：根据图象的开口可确定a．再结合对称轴，可确定b，根据图象与y轴的交点位置，可确定c，根据图象与x轴的交点个数可确定△．【解答】解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵x＝﹣＞0，∴b＞0，∵图象与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线的对称轴x＝﹣＜1，a＜0，∴b＜﹣2a，∴2a+b＜0，故②正确；∵当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故③正确；∵图象和x轴交于两点，∴b2﹣4ac＞0，故④错误．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点．【随堂练习】1．(2023秋•诸暨市校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由图象可知：当x＝1时y＞0，∴a+b+c＞0；故①错误当x＝﹣1时y＜0，∴a﹣b+c＜0．故②正确；由图象可知：抛物线的开口方向向下，∴a＜0，对称轴为x＝﹣＜1，a＜0，∴﹣b＞2a，∴b+2a＜0，故③正确；∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴对称轴为x＝﹣＞0，又∵a＜0，∴b＞0，故abc＜0；故④错误；故选：B．2．(2023秋•南岗区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列关于a，b，c间关系判断正确的是（）A．ab＜0 B．bc＜0 C．a+b+c＞0 D．b2﹣4ac＜0【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，得2a＝b，∴a、b同号，即b＜0，∴ab＞0，bc＞0，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，∵抛物线与x轴没有交点，∴b2﹣4ac＜0，所以D正确．故选：D．3．(2023秋•福田区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④a+b+c＜0．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，∴a＜0，﹣＜0，c＞0，∴b＜0，∴abc＞0，结论①错误；②∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，结论②正确；③∵﹣＞﹣1，a＜0，∴b＞2a，∴2a﹣b＜0，结论③错误；④∵当x＝1时，y＜0；∴a+b+c＜0，结论④正确．故选：B．2二次函数与方程的综合函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.

【例题精选】例1(2023秋•乐亭县期末）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为（）A．﹣7 B．7 C．﹣10 D．10分析：先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】方法一：解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣7，∴a＞0．﹣＝﹣7，即b2＝28a，∵一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，∴△＝b2﹣4am≥0，即28a﹣4am≥0，解得m≤7，∴m的最大值为7，方法二：解：一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则二次函数y＝ax2+bx的图象与直线y＝﹣m有交点，由图象得，﹣m≥﹣7，解得m≤7，∴m的最大值为7，故选：B．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，根的判别式，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．例2(2023秋•滦南县期末）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根，则m最大值为（）A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．9分析：根据函数图象中的数据，可以得到该函数的最小值，再根据一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根，从而可以求得m的取值范围，从而可以得到m的最大值．【解答】解：由图象可得，二次函数y＝ax2+bx的最小值是y＝﹣3，∵一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根，∴﹣m≥﹣3，解得，m≤3，∴m的最大值是3，故选：A．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．【随堂练习】1．(2023秋•开远市期末）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），则一元二次方程x2+bx+c＝0的根为____________．【解答】解：物线y＝x2+bx+c与x轴交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），则一元二次方程x2+bx+c＝0的根为：x＝﹣1或3，故答案为：﹣1或3．2．(2023秋•江阴市期末）二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为_________．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，解得m＝1．故答案为1．3二次函数与不等式的关系【例题精选】例1(2023•浙江自主招生）二次函数y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为________．分析：利用二次函数的性质得抛物线的对称轴为直线x＝4，利用抛物线的对称性得到x＝2和x＝6对应的函数值相等，由于抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，所以只有x＝2和x＝6时，y＝0，然后把（2，0）代入y＝a（x﹣4）2﹣4中可求出a的值．【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的对称轴为直线x＝4，∴x＝2和x＝6对应的函数值相等，∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，∴x＝2和x＝6时，y＝0，即抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），（6，0），把（2，0）代入y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）得a（2﹣4）2﹣4＝0，解得a＝1．故答案为1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．例2(2023•玉山县一模）“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b分析：由m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根可得出二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），将y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象，画出两函数图象，观察函数图象即可得出a、b、m、n的大小关系．【解答】解：∵m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，∴二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），∴将y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象，二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴交于点（a，0）、（b，0）．画出两函数图象，观察函数图象可知：m＜a＜b＜n．故选：A．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，画出两函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．【随堂练习】1．(2023秋•铁西区期末）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101…y…0430…（1）把表格填写完整；（2）根据上表填空：①抛物线与x轴的交点坐标是________和________；②在对称轴右侧，y随x增大而________；③当﹣2＜x＜2时，则y的取值范围是_____________．（3）确定抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；【解答】解：（1）∵x＝﹣3，y＝0；x＝1，y＝0，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴x＝0和x＝﹣2时，y＝3；（2）①抛物线与x轴的交点坐标是（﹣3，0）和（1，0）；②设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把（0，3）代入得3＝﹣3a，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣2x+3，抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），抛物线开口向下，∴在对称轴右侧，y随x增大而减小；③当x＝﹣2时，y＝3；当x＝2时，y＝﹣4﹣4+3＝﹣5，当﹣2＜x＜2时，则y的取值范围是﹣5＜y≤4．（3）由（2）得抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，故答案为（﹣3，0）、（1，0）；减小；﹣5＜y≤4．综合练习一．选择题（共5小题）1．已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，且过点A（a，b），B（a﹣4，b），则b的值为（）A．4 B．2 C．6 D．9【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，∴△＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n＝0，∴n＝m2，∵抛物线y＝x2+mx+n过点A（a，b），B（a﹣4，b），∴b＝a2+ma+n，b＝（a﹣4）2+m（a﹣4）+n，∴a2+ma+n＝（a﹣4）2+m（a﹣4）+n，化简，得a＝，∴b＝a2+ma+n＝（）2+m×+m2＝4，故选：A．2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点纵坐标为﹣5．若|ax2+bx+c|＝m有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．0＜m＜5 B．m＞5或m＜0 C．m＞5或m＝0 D．m≥5或m＝0【解答】解：由图象可知：将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数图象的顶点的纵坐标为5，∵|ax2+bx+c|＝m的图象是x轴上方部分（包含与x轴的两个交点），（1）当m＝0时，|ax2+bx+c|＝m有两个不相等的实数根，（2）在x轴上方时，只有m＞5时，作平行于x轴的直线才会与图象有两个交点，∴m＝0或m＞5．故选：C．3．关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（）A．开口向上 B．当a＝2时，经过坐标原点O C．抛物线与x轴无公共点 D．不论a为何值，都过定点【解答】解：因为二次函数的二次项系数为1＞0，所以抛物线开口向上，故选项A正确；当x＝2时，y＝x2﹣3x＝x（x﹣3），由于抛物线与x轴交于（0，0）和（3，0），故选项B正确；∵△＝[﹣（a+1）]2﹣4（a﹣2）＝a2﹣2a+9＝（a﹣1）2+8＞0，所以抛物线与x轴总有两个交点，故选项C错误；当x＝1时，y＝1﹣a﹣1﹣2＝﹣2，此时抛物线不再含有a，即不论a为何值，都过定点（1，﹣2），故选项D正确．故选：C．4．若m、n（m＜n）是关于x的一元二次方程3﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两个根，且a＜b，则m，n，b，a的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．b＜n＜m＜a D．n＜b＜a＜m【解答】解：如图抛物线y2＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点（a，0），（b，0），抛物线与直线y1＝3的交点为（m，3）（n，3）由图象可知m＜a＜b＜n，故选：A．5．已知二次函数y＝x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则b＝（）A．2 B．±2 C．4 D．±4【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，∴△＝b2﹣4＝0，解得b＝±2，故选：B．二．解答题（共4小题）6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2．（1）b＝4a；（用含a的代数式表示）（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；【解答】解：（1）由题意得：抛物线的x＝＝﹣2解得b＝4a，故答案为：4a；（2）当a＝﹣1时，b＝﹣4；∴抛物线y＝﹣x2﹣4x+c；∵关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，即关于x的方程x2+4x﹣c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解∴△＝b2﹣4a