向量在物理中的应用举例同步课时训练-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.2向量在物理中的应用举例——2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第二册同步课时训练一、单选题1．在中，，，且，，则点的轨迹一定通过的（

）A．重心 B．内心C．外心 D．垂心2．在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（

）A． B．当时，C．当角越大时，用力越省 D．当时，3．如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头处，其航行速度的大小（

）A． B． C． D．4．已知三个力，，同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，需再加上一个力，则（

）A． B． C． D．5．已知点，，，则下列结论正确的是（

）A．三点共线 B．C．是锐角三角形的顶点 D．是钝角三角形的顶点6．如果表示“向南走”，表示“向北走”，表示“向东走”，表示“向西走”，那么下列向量中表示“向北走”的是（

）A． B． C． D．二、多选题7．下列说法中正确的有（

）A．与垂直的单位向量为B．平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，则大小为C．若非零向量，满足，则与的夹角是D．已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是8．点O在所在的平面内,则以下说法正确的有A．若,则点O为的重心B．若,则点O为的垂心C．若,则点O为的外心D．若,则点O为的内心三、填空题9．一艘船以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为.则船的实际航行速度大小为，方向与水流的方向所成的角的大小为.10．在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为的物品，在另一个秤盘中放入重量的砝码，天平平衡．根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为，，，若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则的大小为．11．已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为.12．一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为km/h.四、解答题13．某人在静水中游泳，速度为千米/小时，他在水流速度为千米/小时的河中游泳．他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？14．如果小汽艇向着垂直河岸的方向行驶，在静水中的速度是，河水的流速是，那么小汽艇在河水中的实际运动速度是多大？方向怎样？要使小汽艇沿垂直河岸方向到达对岸码头，船头方向又应怎样？15．如图，已知一条河的两岸平行，河的宽度为d，某人从河的北岸出发到河对岸，河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为．（1）如果要使此人游得路程最短，且，求此人游泳的方向与水流方向的夹角和的大小；（2）如果要使此人游得时间最短，且，求他实际前进的方向与水流方向的夹角和的大小．16．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AC，E是垂足，F是DE的中点，求证AF⊥BE.参考答案：1．A【分析】过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，所以，根据向量的线性运算法则，化简可得，根据三角形的性质，分析即可得答案.【解析】过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，如图所示：根据三角函数定义可得，因为，所以，即，即点P的轨迹在中线CD上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心，所以点的轨迹一定通过的重心.故选：A2．B【分析】根据题意可得，则，再根据各个选项分析即可得出答案.【解析】解：根据题意可得：，则，当时，，故A错误；当时，，及，故B正确；，因为在上递减，又因行李包所受的重力为不变，所以当角越大时，用力越大，故C错误；当时，即，解得，又因，所以，故D错误.故选：B.3．A【分析】根据平面向量加法的几何意义、数量积的运算性质可得，然后再求出即可【解析】设与所成的角为，由题意得，，则.故选:A4．D【解析】如果物体保持平衡，那么所受合力为，根据已知三个力，计算可得。【解析】由物理知识，知物体平衡，则所受合力为，所以，故.故选：D【小结点评】本题考查由物体受力平衡求向量，是基础题。5．D【解析】由题意，求得，得到是钝角，即可得到答案.【解析】由题意，点，，，可得，则，所以是钝角.故选：D.【小结点评】本题主要考查了向量的数量积的计算及应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于据基础题.6．C【分析】根据向量的加法的几何意义，逐项判定，即可求解.【解析】由题意，向量表示向北走，所以A不符合题意；向量表示向东走，所以B不符合题意；向量表示向北走，所以C符合题意；向量表示向南走，所以D不符合题意；故选：C．7．BC【分析】对于A：根据向量的坐标运算分析求解即可；对于B：可知，利用数量积和模长关系运算求解；对于C：根据模长关系可得，进而结合夹角公式运算求解；对于D：举反例说明即可.【解析】对于选项A：设与垂直的单位向量的坐标为，则，解得或，故A错误；对于选项B：由题意得，所以，故B正确；对于选项C：若非零向量，满足，则，即，可得，又因为，可知与的夹角的余弦值为，且，所以与的夹角是，故C正确；对于选项D：当时，与平行，不满足与夹角为锐角，所以若与夹角为锐角，则的取值范围不包含0，故D错误.故选：BC.8．AC【解析】逐项进行分析即可.【解析】解：选项A，设D为的中点，由于，所以为边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为的重心；选项B，向量分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点O在的平分线上，同理由，知点O在的平分线上，故O为的内心；选项C，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，而是该平行四边形的另一条对角线，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，于是O为的外心；选项D，由得，∴，即，∴．同理可证，∴，，，即点O是的垂心；故选：AC．【小结点评】本题主要考查平面向量在三角形中的应用，考查向量的数量积，考查三角形的“五心”，属于中档题．9．【分析】先作出图像，将实际问题转化为向量问题，利用勾股定理运算即可得解.【解析】解：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示河水的流速，以为邻边作平行四边形，则就是船实际航行速度，在中，,所以，,即，即船的实际航行速度大小为，方向与水流的方向所成的角的大小为，故答案为：(1)

(2)

【小结点评】本题考查了将实际问题转化为向量问题，重点考查了数形结合的思想方法，属基础题.10．【分析】根据题意可得且，平方后利用数量积公式展开即可得解．【解析】依题意，且，所以，即，解得．故答案为：．11．5【分析】以为轴的正方向建立直角坐标系，利用向量的坐标表示求模长的最小值.【解析】由题：以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：设，则，当取得最小值.故答案为：5【小结点评】此题考查平面向量线性运算和模长的坐标表示，恰当地建立直角坐标系将模长问题进行转化利于解题.12．【分析】利用勾股定理求得正确答案.【解析】要使航程最短，则船实际航行应正对着河对岸航行，所以船实际航行的速度大小为km/h.故答案为：13．答案见解析【分析】作出图形，利用平面向量加法的平行四边形法则可得结论.【解析】如图，设此人的实际速度为，水流速度为，游速为，则，在中，，，则，.故此人沿向量的方向游（即逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为），实际前进的速度大小为千米/小时．14．小汽艇在河水中的实际运动速度是；小汽艇实际运动方向与河岸的夹角为；要使小汽艇沿垂直河岸方向到达对岸码头，船头应与垂直河岸方向成的角．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算求出答案即可.【解析】如图（1）所示，小汽艇在河水中的实际运动速度是；，所以小汽艇实际运动方向与河岸的夹角为；如图（2）所示，中，，，所以，解得．所以要使小汽艇沿垂直河岸方向到达对岸码头，船头应与垂直河岸方向成的角．15．（1），;(2),.【分析】（1）根据题意，只需此人的游泳速度和水流的速度的和速度与对岸垂直即可，进而求解；（2）根据题意，要使时间最短，则只需游泳距离与合速度的比值最小，进而得当此人垂直于对岸游泳时，用时最短，进而求得答案.【解析】解：（1）如果要使此人游得路程最短，只需此人的游泳速度和水流的速度的和速度与对岸垂直，如图，此人游泳的方向与水流方向的夹角，此时，.（2）如图2，设与的夹角为，与的夹角为，实际游泳的距离为，所以，，所以，故当与的夹角为时，此人游泳到对岸用时最短，如图3，当，由于，故，此时，所以.【小结点评】本题考查向量在物理上的应用，考查运算求解能力与数学建模