集合间的基本关系集合与常用逻辑用语省公开课一等奖新名师比赛一等奖课件

集合间基本关系第1页第2页一二三四一、子集与真子集1.观察下面实例:①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};②设A为新华中学高一(2)班全体女生组成集合,B为这个班全体学生组成集合;③设A={x|x是两条边相等三角形},B={x|x是等腰三角形};④A={x|x是长方形},B={x|x是平行四边形};⑤A={x|x>3},B={x|x>2};⑥A={x|(x+1)(x+2)=0},B={-1,-2}.(1)上面每个例子中两个集合,集合A中任何一个元素都是集合B中元素吗?提醒:是.称集合A是集合B子集.第3页一二三四(2)反过来,上述各对集合中,集合B中元素都是集合A中元素吗?提醒:③⑥两对集合中,集合B中元素也都是集合A中元素(集合相等);①②④⑤这四对集合中,集合B中有些元素不是集合A元素.称集合A是集合B真子集.(3)上述集合A,B关系能不能用图形直观形象地表示出来?提醒:能.如图,在数学中,我们经惯用平面上封闭曲线内部代表集合,这种图称为Venn图.第4页一二三四(4)Venn图有什么要求?必须是椭圆形吗?提醒:表示集合Venn图边界是封闭曲线,它能够是矩形、圆、椭圆等,也能够是其它封闭曲线.(5)用Venn图表示集合有什么优点和缺点?提醒:优点在于易产生清楚视觉印象,能直观地表示集合中元素组成以及集合之间关系,缺点在于集合中元素公共特征性质不显著.第5页一二三四2.填空

第6页一二三四3.做一做(1)已知集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},则(

)A.P∈Q B.P⊆Q C.Q⊆P D.Q∈P(2)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<1},则(

)A.B⫋A B.A⫋B C.B<A D.A<B(1)解析:集合Q中元素都在集合P中,所以Q⊆P.答案:C(2)解析:由题意结合集合在数轴上表示确定两集合关系即可.如图所表示,由图可知,B⫋A.答案:A第7页一二三四二、集合相等1.(1)在子集定义中,能否了解为子集A是集合B中“部分元素”所组成集合?提醒:不能.A中可能含有B中全部元素(也可能不含任何元素).(2)本书1.1中,我们是怎样定义两个集合相等?提醒:只要组成两个集合元素是一样,我们就称这两个集合是相等.(3)本课时“一”中提出各对集合中,③⑥这两对集合中元素一样吗?它们之间存在什么样包含关系?提醒:③中,因为“两条边相等三角形”即等腰三角形,所以,集合A中任何一个元素都是集合B中元素,则A是B子集;同时,集合B中任何一个元素都是集合A中元素,则B也是A子集,即A和B两集合中元素都是相同.也就是说集合A与B相等.同理能够说明⑥中两个集合元素也完全相同,即两集合相等.第8页一二三四2.填空普通地,假如集合A任何一个元素都是集合B元素,同时集合B任何一个元素都是集合A元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B.也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B.3.做一做已知集合A={1,-m},B={1,m2},且A=B,则m值为

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解析:由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1.当m=-1时不满足集合中元素互异性,舍去.故m=0.答案:0第9页一二三四三、空集1.(1)观察下面四个集合:①方程x2+1=0实数根组成集合;②不等式3x2+2<0解组成集合;③比5大1负数组成集合;④边长分别为1,1,4三角形组成集合.它们有什么共同特点?你还能举出类似例子吗?提醒:这4个集合中没有适合条件元素.即集合中没有任何元素.(2)一座房子内没有任何东西,我们称这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该怎样命名呢?提醒:空集.(3)空集与任何集合之间有什么关系?与非空集合呢?提醒:要求空集是任何集合子集,是任何非空集合真子集.第10页一二三四2.填空普通地,我们把不含有任何元素集合叫做空集,记为⌀,并要求:空集是任何集合子集,即⌀⊆A.3.做一做以下四个集合中,是空集是(

)A.{0} B.{x|x>8且x<5}C.{x∈N|x2-1=0} D.{x|x>4}答案:B第11页一二三四四、子集与真子集性质1.在实数中有以下结论:(1)对于任何一个实数a,有a≤a;(2)对于实数a,b,c,假如a<b,且b<c,那么a<c.你能类比这两个结论,写出两个集合之间类似关系吗?提醒:任何一个集合是它本身子集,即A⊆A.对于集合A,B,C,假如A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C.2.上个问题中得到第(2)条性质能够推广到真子集吗?提醒:能够.对于集合A,B,C,假如A⫋B,且B⫋C,那么A⫋C.第12页探究一探究二探究三探究四思想方法写出给定集合子集例1

(1)写出集合{0,1,2}全部子集,并指出其中哪些是它真子集;(2)填写下表,并回答下列问题:由此猜测:含n个元素集合{a1,a2,…,an}全部子集个数是多少?真子集个数及非空真子集个数呢?随堂演练第13页探究一探究二探究三探究四思想方法分析:(1)利用子集概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到普通,归纳得出.解:(1)不含任何元素子集为⌀;含有一个元素子集为{0},{1},{2};含有两个元素子集为{0,1},{0,2},{1,2};含有三个元素子集为{0,1,2}.故集合{0,1,2}全部子集为⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.其中除去集合{0,1,2},剩下都是{0,1,2}真子集.随堂演练第14页探究一探究二探究三探究四思想方法(2)由此猜测:含n个元素集合{a1,a2,…,an}全部子集个数是2n,真子集个数是2n-1,非空真子集个数是2n-2.随堂演练第15页探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟

1.分类讨论是写出全部子集有效方法,普通按集合中元素个数多少来划分,遵照由少到多标准,做到不重不漏.2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-2)个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接使用.随堂演练第16页探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练1若{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件集合A个数为(

)A.2 B.3 C.4 D.5解析:集合{1,2,3}是集合A真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.答案:B随堂演练第17页探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练已知集合交集、并集求参数例3已知a∈R,集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},若9∈A∩B,则实数a值为

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分析:9∈A∩B说明9∈A,经过分类讨论建立关于a方程求解,注意求出a值后要代入集合A,B中,看是否满足集合中元素互异性.解析:∵9∈A∩B,∴9∈A且9∈B,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合题意;当a=3时,A={-4,5,9},B不满足集合中元素互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合题意.综上可得a值为5或-3.答案:5或-3第18页探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练反思感悟

已知两个有限集运算结果求参数值方法对于这类已知两个有限集运算结果求参数值问题,普通先用观察法得到不一样集合中元素之间关系,再列方程求解.另外,在处理相关含参数集合问题时,要注意对求解结果进行检验,以防止违反集合中元素相关特征,尤其是互异性.第19页探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练延伸探究

例3中,将“9∈A∩B”改为“A∩B={9}”,其余条件不变,求实数a值及A∪B.解:∵A∩B={9},∴9∈A.∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},因为A∩B={-4,9},不符合题意,故a≠5;当a=3时,A={-4,5,9},B不满足集合中元素互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合题意.综上可得a=-3.此时A∪B={-8,-4,-7,4,9}.第20页探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练例4集合A={x|-1<x<1},B={x|x<a}.(1)若A∩B=⌀,求a取值范围;(2)若A∪B={x|x<1},求a取值范围.分析:利用数轴把集合A,B表示出来,依据题目条件数形结合列出参数a满足不等式,求解时需注意等号能否取得.第21页探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练解:(1)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∩B=⌀,如图1所表示.∴数轴上点x=a在点x=-1左侧,且包含点x=-1,∴a≤-1.(2)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∪B={x|x<1},如图2所表示,∴数轴上点x=a在点x=-1和点x=1之间,不包含点x=-1,但包含点x=1.∴-1<a≤1.第22页探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练反思感悟

已知集合运算求参数思绪这类问题常借助数轴处理,首先依据集合间关系画出数轴,然后依据数轴列出关于参数不等式(组)求解,尤其要注意端点值取舍.当集合元素离散时,常借助集合关系列关于参数方程(组)求解,但求解后要代入检验是否符合题意.第23页探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练延伸探究

例4(1)中,把“A∩B=⌀”改为“A∩B≠⌀”,求a取值范围.解:利用数轴(略)表示出两个集合,数形结合知,要使A∩B≠⌀,需数轴上点x=a在点x=-1右侧且不包含点x=-1,所以a>-1.第24页探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练集合相等关系应用例4已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y值.分析:依据A=B列出关于x,y方程组进行求解.解:∵A=B,∴集合A与集合B中元素相同,第25页探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练反思感悟集合相等则元素相同,但要注意集合中元素互异性,预防错解.第26页探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练延伸探究若将本例已知条件改为“集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},且A=B”,求实数x,y值.解:∵0∈B,A=B,∴0∈A.又由集合中元素互异性,可知|x|≠0,y≠0,∴x≠0,xy≠0,故x-y=0,即x=y.此时A={x,x2,0},B={0,|x|,x},∴x2=|x|,解得x=±1.当x=1时,x2=1,与集合中元素互异性矛盾,∴x=-1,即x=y=-1.第27页探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练由集合间关系求参数范围例5

已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}.(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系;(2)若A⊇B,求实数a取值范围.分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间关系,判断其子集关系;(2)依据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,依据子集关系确定端点值之间大小关系,进而列出参数a所满足条件.第28页探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练解:(1)若a=-1,则B={x|-5<x<-3}.如图在数轴上标出集合A,B.由图可知,B⫋A.(2)由已知A⊇B.①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,又因为a<1,所以实数a取值范围为-1≤a<1.第29页探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练反思感悟

由集合间关系求参数范围问题中两点注意事项(1)求解这类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,普通含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.(2)包括“A⊆B”或“A⫋B,且B≠⌀”问题,一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论,其中A=⌀情况轻易被忽略,应引发足够重视.第30页探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练延伸探究(1)【例5】(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a取值范围;若不存在,试说明理由.(2)若集合A={x|x<-5,或x>2},B={x|2a-3<x<a-2},且A⊇B,求实数a取值范围.解:(1)因为A={x|-5<x<2},所以若A⊆B,则B一定不是空集.(2)①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,由图可知2a-3≥2或a-2≤-5,解得a≥或a≤-3.又因为a<1,所以a≤-3.综上,实数a取值范围为a≥1或a≤-3.第31页探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练分类讨论思想与数形结合思想在处理集合含参问题中应用对于两个集合A与B,已知A或B中含有待确定参数(字母),若A⊆B或A=B,则集合B中元素与集合A中元素含有“包含关系”,处理这类问题时常采取分类讨论和数形结合方法.(1)分类讨论是指:①A⊆B在未指明集合A非空时,应分A=⌀和A≠⌀两种情况来讨论.②因为集合中元素是无序,由A⊆B或A=B得到两集合中元素对应相等情况可能有各种,所以需要分类讨论.(2)数形结合是指对A≠⌀这种情况,在确定参数时,需要借助数轴来完成,将两个集合在数轴上画出来,分清实心点与空心圈,确定两个集合之间包含关系,列不等式(组)确定参数.尤其提醒

这类问题易错点有三个:①忽略A=⌀情况,没有分类讨论;②在数轴上画两个集合时,没有分清实心点与空心圈;③没有搞清包含关系,以致没有正确地列出不等式或不等式组.第32页探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练(3)处理集合中含参问题时,最终结果要注意验证.验证是指:①分类讨论求得参数值,还需要代入原集合中看是否满足互异性.②所求参数能否取到端点值需要单独验证.第33页探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练典题已知集合A={x|1<ax<2},B=