八年级数学下册专题09 期中-综合大题必刷（压轴15考点31题）（原卷版）

专题09期中-综合大题必刷（压轴15考点31题）

一．二次根式的性质与化简（共1小题）1．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化简解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•＝，∴＝＝＝2+由上述例题的方法化简：（1）；（2）；（3）．二．二次根式的混合运算（共1小题）2．计算：（1）++﹣；（2）（×﹣4+3）÷2．三．二次根式的化简求值（共2小题）3．（1）先化简，再求值：，其中x＝﹣1；（2）数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：．4．阅读下面计算过程：＝＝试求：（1）的值为．（2）求+...+的值．（3）若，求a2﹣4a+4的值．四．勾股定理（共3小题）5．已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒2cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，在BC边上的运动速度是每秒3cm，在AC边上的运动速度是每秒5cm，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒，（1）线段AC＝；（2）当t＝1秒时，求△BPQ的面积；（3）当AP＝CP时，CQ＝；（4）若PQ将△ABC周长分为5：7两部分，直接写出t的值．6．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，点P从点A开始沿A⇒B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分？若能够，请求出运动时间；若不能够，请说明理由．7．如图1，四边形ADCO中，∠AOC＝90°，∠ADC＝90°，AD＝7，DC＝24，CO＝15．（1）求线段AO的长度；（2）如图2所示，OB是∠AOC的平分线，一动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OB运动．设点P的运动时间为t秒，当△AOP是等腰三角形时，请求出t的值．五．勾股定理的证明（共1小题）8．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？（3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，设AH＝x，可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程．六．勾股定理的应用（共1小题）9．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？七．平行四边形的判定与性质（共1小题）10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB的中点时，判断四边形BECD的形状，并说明理由．八．菱形的性质（共1小题）11．【问题原型】如图1，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝AC．点E、F分别为AC、BC的中点，连接EF，DE．试说明：DE＝EF．【探究】如图2，在问题原型的条件下，当AC平分∠BAD，∠DEF＝90°时，求∠BAD的大小．【应用】如图3，在问题原型的条件下，当AB＝2，且四边形CDEF是菱形时，直接写出四边形ABCD的面积．九．菱形的判定与性质（共2小题）12．在Rt△BDE中，∠BDE＝90°，C是BE的中点，过点D作AD∥BE，且AD＝BC，连接AE交CD于F．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DB＝8，菱形ABCD的面积为40，求DE的长．13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作▱ECFG．（1）证明▱ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．一十．矩形的性质（共2小题）14．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b）且a、b满足+|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动．（Ⅰ）点B的坐标为；当点P移动3.5秒时，点P的坐标为；（Ⅱ）在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间；（Ⅲ）在移动过程中，当△OBP的面积是10时，求点P移动的时间．15．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论．一十一．矩形的判定与性质（共3小题）16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒（t＞0）．（1）用含t的式子表示线段的长度：PD＝cm，（2）当0＜t＜2.5时，运动时间t为秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形．（3）当5＜t＜10时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请说明理由．17．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？18．如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．（1）求证：四边形EFNM是矩形；（2）已知：AE＝4，DE＝3，DC＝9，求EF的长．一十二．正方形的性质（共10小题）19．如图，已知四边形ABCD是正方形AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．（1）求证：DE＝EF；（2）探究CE+CG的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；20．如图所示，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线CE于点E，交∠BCA的外角平分线CF于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；（3）若要使四边形AECF是正方形，△ABC应该满足什么条件？（直接写出具体条件，不需要证明）21．（1）正方形ABCD，E、F分别在边BC、CD上（不与端点重合），∠EAF＝45°，EF与AC交于点G①如图（i），若AC平分∠EAF，直接写出线段EF，BE，DF之间等量关系；②如图（ⅱ），若AC不平分∠EAF，①中线段EF，BE，DF之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由（2）如图（ⅲ），矩形ABCD，AB＝4，AD＝8．点M、N分别在边CD、BC上，AN＝2，∠MAN＝45°，求AM的长度．22．如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交边BC于点F．（1）求证：EA＝EF；（2）写出线段FC，DE的数量关系并加以证明；（3）若AB＝4，FE＝FC，求DE的长．23．如图，在正方形中，P是直线CD上的一点，连接BP，过点D作DE⊥BP，交直线BP于点E，连接CE．（1）当点P在线段CD上时，如图①，求证：BE﹣DE＝CE；（2）当点P在直线CD上移动时，位置如图②、图③所示，线段BE，DE与CE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，选择一个证明．24．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于点H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．（1）若点F在边CD上，如图1．①证明：∠DAH＝∠DCH；②猜想线段CG与EF的关系并说明理由；（2）取DF中点M，连结MG，若MG＝4，正方形边长为6，求BE的长．25．在边长为6的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．26．综合与实践问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE．猜想证明：（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；（2）如图②，若AD＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明．27．阅读下面的例题及点拨，并解决问题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．（1）点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），请完成剩余证明过程：（2）拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．28．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45度．则有结论EF＝BE+FD成立；（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由．（2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．一十三．正方形的判定（共1小题）29．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，过点C作AD的平行线，交△ABC外角∠EAC的角平分线于点F．（1）判断四边形ADCF的形状，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．一十四．正方形的判定与性质（共1小题）30．问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝7，BF＝2，求DE的长．一十五．四边形综合题（共1小题）31．在平行四边ABCD中，AB＝6cm，BC