新八年级数学讲义第5讲等腰三角形-提高班(学生版+解析)

第5讲等腰三角形

1等腰三角形一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．【例题精选】例1(2023秋•卢龙县期末）已知等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为（）A．2 B．3 C．2或3 D．不能确定例2(2023秋•崇川区期末）若等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个等腰三角形的周长为（）A．21 B．22或27 C．27 D．21或27【随堂练习】1．(2023秋•青龙县期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，∠A＝45°，则∠DBC的度数为（）A．22.5° B．25° C．27.5° D．30°2．(2023秋•富阳区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，DE是AC边的垂直平分线，则∠BAE的度数为（）A．60° B．50° C．45° D．40°3．(2023•和平区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，若AB＝13．AD＝12．则BC的长为_______．2等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【例题精选】例1(2023秋•渝北区期末）若C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（）个．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个例2(2023秋•泉州期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．在射线BC上取一点D，使得△ABD为等腰三角形，这样的等腰三角形有几个？（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【随堂练习】1．(2023秋•睢宁县期中）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．(2023秋•河西区期中）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45°，则下列判断错误的是（）A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是锐角三角形 C．△ABC是等腰三角形 D．∠A和∠B互余3.等边三角形一、等边三角形

等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.三、等边三角形的判定

等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【例题精选】例1(2023秋•绵阳期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE＝CD，则图中等腰三角形的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【随堂练习】1．(2023秋•思明区校级期中）三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（）°A．150 B．120 C．90 D．804.含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【例题精选】例1(2023秋•扎鲁特旗期末）如图，∠AOB＝30°，P是角平分线上的点，PM⊥OB于点M，PN∥OB交OA于点N，若PM＝1，则PN＝_______．例2(2023春•渭南期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，∠BCD＝∠A＝30°，BC＝4cm，求AD的长．【随堂练习】1．(2023•英德市一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝30°，AB＝18，则AC＝_________．2．(2023秋•潮州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3，则线段BD的长为________．综合练习一．选择题（共3小题）1．如图，已知点A（﹣2，0）和点B（1，1），在坐标轴上确定点C，使得△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C共有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．10个2．如图所示，在△PMN中，∠P＝36°，PM＝PN＝12，MQ平分∠PMN交PN于点Q，延长MN至点G，取NG＝NQ，若MQ＝a，则NG的长是（）A．a B．12﹣a C．12+a D．12+2a3．在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝4，则BC等于（）A．2 B． C． D．8二．解答题（共3小题）4．在△ABC中，AB＝AC，M是边BC的中点，BD平分∠ABC，交AM于E，交AC于D，若∠AED＝64°，求∠BAC的度数的大小5．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠B＝35°，求∠CAE度数．6．如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，（1）若∠BDA＝∠BAD，∠B＝60°，求∠C的大小；（2）若AE既是△ABD的高又是角平分线，∠B＝54°，求∠C的大小．第5讲等腰三角形

1等腰三角形一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．【例题精选】例1(2023秋•卢龙县期末）已知等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为（）A．2 B．3 C．2或3 D．不能确定分析：已知等腰三角形有一条边长为2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰长为2时，底边长为8﹣2×2＝4，三角形的三边长为2，2，4，不能构成三角形；当底边长为2时，腰长为（8﹣2）÷2＝3，三角形的三边长为3，3，2，能构成三角形；所以等腰三角形的腰长为3．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．例2(2023秋•崇川区期末）若等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个等腰三角形的周长为（）A．21 B．22或27 C．27 D．21或27分析：根据①11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5，②11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5，分别计算即可．【解答】解：①11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5，能组成三角形，周长＝11+11+5＝27；②11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5，∵5+5＝10＜11，∴不能组成三角形，综上所述，三角形的周长为27．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形两腰长相等的性质，要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．【随堂练习】1．(2023秋•青龙县期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，∠A＝45°，则∠DBC的度数为（）A．22.5° B．25° C．27.5° D．30°【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形；∵∠A＝45°，∴∠ABD＝∠A＝45°，∠ABC＝∠C＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝67.5°﹣45°＝22.5°；故选：A．2．(2023秋•富阳区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，DE是AC边的垂直平分线，则∠BAE的度数为（）A．60° B．50° C．45° D．40°【解答】解：设∠B＝x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x°，，又∵AC边的垂直平分线交BC于点E，∴AE＝CE，∴∠CAE＝∠C＝x°，∴∠AEB＝2∠C＝2x°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠CAE＝（180﹣3x）°，∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝180﹣3x+x＝（180﹣2x）°，∵∠BAC＝100°，∴180﹣2x＝100，解得：x＝40，∴∠BAE＝∠BAE﹣∠CAE＝60°．故选：A．3．(2023•和平区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，若AB＝13．AD＝12．则BC的长为_______．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝13，AD是角平分线，AD＝12，∴BC＝2BD，AD⊥BC．在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，即BD2+122＝132，解得BD＝5，∴BC＝10．故答案为：10．2等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【例题精选】例1(2023秋•渝北区期末）若C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（）个．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个分析：根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．【解答】解：如图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有2个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有2个．故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．例2(2023秋•泉州期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．在射线BC上取一点D，使得△ABD为等腰三角形，这样的等腰三角形有几个？（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个分析：分三种情况讨论：①如图1，当AB＝AD时；如图2，当AB＝BD时；如图3，当AB为底时，AD＝BD．【解答】解：①如图1，当AB＝AD时，得△ABD的等腰三角形．②如图2，当AB＝BD时，△ABD是等腰三角形；③如图3，当AB为底时，AD＝BD时，△ABD是等腰三角形．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是正确认识到需要讨论，讨论等腰三角形的边应如何分类．【随堂练习】1．(2023秋•睢宁县期中）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：如图所示：①若AB＝BC，则符合要求的有：C1，C2，C3共4个点；②若AB＝AC，则符合要求的有：C4，C5共2个点；若AC＝BC，则不存在这样格点．∴这样的C点有5个．故选：D．2．(2023秋•河西区期中）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45°，则下列判断错误的是（）A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是锐角三角形 C．△ABC是等腰三角形 D．∠A和∠B互余【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45，∴∠C＝90°，即△ABC是等腰直角三角形，∠A和∠B互余故选：B．3.等边三角形一、等边三角形

等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.三、等边三角形的判定

等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【例题精选】例1(2023秋•绵阳期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE＝CD，则图中等腰三角形的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个分析：根据等腰三角形的定义得到△EDC是等腰三角形，然后根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD＝DE，即可证得△BDE是等腰三角形．【解答】解：∵CD＝CE，∴∠E＝∠EDC，∴CE＝CD，∴△EDC是等腰三角形；∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠E＝30°，∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠DBC＝30°，∴∠E＝∠DBC，∴DB＝DE，∴△BDE是等腰三角形，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形性质，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE＝BD．【随堂练习】1．(2023秋•思明区校级期中）三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（）°A．150 B．120 C．90 D．80【解答】解：∵图中是三个等边三角形，∠3＝60°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，∠BAC＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴60°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）＝180°，∴∠1+∠2＝120°．故选：B．4.含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【例题精选】例1(2023秋•扎鲁特旗期末）如图，∠AOB＝30°，P是角平分线上的点，PM⊥OB于点M，PN∥OB交OA于点N，若PM＝1，则PN＝_______．分析：过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE＝PM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POM＝∠OPN，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PNE＝∠AOB，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【解答】解：如图，过点P作PE⊥OA于点E，∵OP是∠AOB的平分线，∴PE＝PM，∵PN∥OB，∴∠POM＝∠OPN，∴∠PNE＝∠PON+∠OPN＝∠PON+∠POM＝∠AOB＝30°，∴PN＝2PE＝2PM＝2×1＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造含30°角的直角三角形是解题的关键．例2(2023春•渭南期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，∠BCD＝∠A＝30°，BC＝4cm，求AD的长．分析：根据含30度角的直角三角形性质求出BC和BD，再相减即可．【解答】解：∵△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4cm，∴AB＝2BC＝8cm，∠B＝60°，∵∠BCD＝∠A＝30°，∴∠B+∠BCD＝60°+30°＝90°，∴∠CDB＝90°，∴BD＝BC＝2cm，∴AD＝AB﹣BD＝8cm﹣2cm＝6cm．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质的应用，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【随堂练习】1．(2023•英德市一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝30°，AB＝18，则AC＝_________．分析：根据含30°的直角三角形的三边关系解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝30°，AB＝18，∴AC＝2AB＝36，故答案为：36．【点评】此题考查含30度角的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．2．(2023秋•潮州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3，则线段BD的长为________．【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°＝∠ACB，∵∠B＝30°，∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，∵AD＝3，∴AC＝2AD＝6，∴AB＝2AC＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣3＝9，故答案为：9．综合练习一．选择题（共3小题）1．如图，已知点A（﹣2，0）和点B（1，1），在坐标轴上确定点C，使得△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C共有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．10个【解答】解：如图所示：以A为圆心，AB长为半径，C点有4个；以B为圆心，AB长为半径，C点有4个；以AB线段垂直平分线交坐标轴有2个；故C点有10个，故选：D．2．如图所示，在△PMN中，∠P＝36°，PM＝PN＝12，MQ平分∠PMN交PN于点Q，延长MN至点G，取NG＝NQ，若MQ＝a，则NG的长是（）A．a B．12﹣a C．12+a D．12+2a【解答】解：∵在△PMN中，∠P＝36°，∴∠PMN＝∠PNM＝