数学（选修22）课件本章整合提升6

第六章推理与证明本章整合提升1.归纳推理：由部分到整体、由特殊到一般的推理.2.类比推理：由特殊到特殊的推理.3.合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.一、合情推理1.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：(1)综合法是从已知条件推出结论的证明方法；(2)分析法是从结论追溯到条件的证明方法.2.间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法.二、直接证明和间接证明数学归纳法主要用于解决与正整数n有关的数学命题.证明时，它的两个步骤缺一不可，第一步(归纳奠基)是证n＝1时结论成立；第二步(归纳递推)是假设n＝k时结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立.三、数学归纳法综合法是我们在已经储存了大量知识，积累了丰富经验的基础上所用的一种方法，其优点是叙述起来简洁、直观、条理清楚，综合法可使我们从已知的知识中进一步获得新知识.分析法是一种从未知到已知的逻辑推理方法.在探索问题时，它可以帮助我们构思，因而在一般分析问题时较多地采用分析法，只是找到思路后，往往用综合法加以叙述，正如恩格斯说“没有分析就没有综合”，在数学证明中不能把分析法与综合法绝对分开.专题一用综合法与分析法证题

已知a，b，c∈(0，＋∞)，求证：(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c2)≥16abc.

【点评】用综合法证明，应注意构造定理所需要的条件，充分利用已知条件证明.专题二类比法在解题中的应用专题三用反证法证题探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题.它的解题思路如下：从给出条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.专题四观察、猜想、归纳、证明证明：(1)∵Sn＋1＝4an＋2，∴Sn＋2＝4an＋1＋2.两式相减，得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n＝1,2，…)，即an＋2＝4an＋1－4an.变形，得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an).∵bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，∴bn＋1＝2bn.由S2＝a1＋a2＝4a1＋2及a1＝1，得a2＝5.∴b1＝a2－2a1＝3.由此可知，数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，∴bn＝3×2n－1(n∈N＋).【点评】本题从已知条件入手，综合等差数列、等比数列的定义，分析数列中的相互关系，合理实现了数列间的转化，从而使问题获解.

将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下：S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，……试猜想S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明.解：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.由此猜想S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，S1＝1＝14，猜想成立.②假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4.那么当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，即当n＝k＋1时猜想也成立.根据①和②，可知对于任何n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立.【点评】归纳推理可以帮助我们发现一般规律，但是它的正确性需要通过严谨的证明来验证.一般情况下，有关正整数的归纳、猜想问题，都先用归纳推理得到猜想，然后用数学归纳法证明猜想正确.

在1与2之间插入n个正数a1，a2，a3，…，an，使这(n＋2)个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b1，b2，b3，…，bn，使这(n＋2)个数成等差数列.记An