勾股定理教学课件

第六讲三角形、勾股定理

一、三勾股定理

1.勾股定理

勾股定理：如果直角三角形的两直角边上分别为a,b,斜边长为C,那么"+42=。2。即直角三

角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

【例1】(1)直角三角形中，两条直角边分别为6和8,求斜边的长.

(2)直角三角形中，一条直角边为5,斜边为13,求另一条直角边.

【例2】直角三角形中，两条边长分别为3和4,求另一条边长。

【例3】在直角三角形中，AABC的NA为90。，顶点A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知a=12,

b=5,求c。

2.勾股定理的一些证明方法

勾股定理发现迄今已有5000多年的历史，5000多年来世界上几个文明古国都

相继发现和研究过这个定理。几千年来，人们给出勾股定理很多证法，有人统计，

现在世界上已找到400多种证明方法，但十七种方法比较巧妙的，有以下几种。

(1)中国著名数学家赵爽的正方形面积证明方法。我国古代著名数学家赵爽在

《勾股圆方图》一书中的证明，是比较简洁优美的方法。如图18-4,在边

长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等的直角三角形，已知他们的直

角边为a、b,利用这个图，证明勾股定理。

解答因为正方形边长为c所以正方形面极为,2。又因为正方形面积

I

022

=4x-ab+^a-by-cr+〃所以片+b=c

(2)古希腊数学家毕达哥拉斯的旋转证法。

公元前约500年古希腊有位著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯在生

活中的一个偶然事件中，发现了勾股定理和它的证明方法。如图

18-5,设矩形ABCD为火柴盒侧面，将这个火柴盒推倒至A，B，C，D的位置，D点不动.

112

若设AB=a,BC=b,DB=c,则梯形A'B'BC面积S梯形A1sBe=,(a+0)(a+b)=/(a+6)一，又

S梯形「B.BC=SMBD+S.+$ABCD=g牡+^-ab所以|(a+Z?)2=1aZ?+|c2+^-ab

J44乙乙乙4

贝！j。2+。2+2ab=c2+lab即a2+b2=c2

(3)美国第20任总统伽菲尔德的割、移、补、拼证法。这种证法关键是用两个全等的直角三角形，

组成直角梯形使两斜边之间的夹角为90。如图18-6,RtMBC三RfABDE且AC=b,BC=a,

AB=c<)

Rt/^ABC^Rt/SBDE

DE=a,BE=b,DB=cZABD=90°

二四边形ACED为直角梯形。6

]]EbBtl(：

A^JI^ACED=—++=—(^2+^2+26Z/7).图]8-6

S梯形ACED=S\ABC+S\BDE+SMBD=^[c2+2ab)

a2+b2=c2

【例4】已知：AABC为等腰直角三角形，ZDAE=45°.

求证：CD?+BD2=DE?.

练习：

1.AABC中，AB=AC=17,BC=16,则SAABC=

2.在A48C中，三个内角之比为1：1：2,则这个三角形三边之比为

3.在AABC中，ZA：ZB：ZC=1：2：3,则三边之比为

4.直角三角形两直角边边长为3和4,则斜边上的高长为（）

5.**B.2.2C.2.4D.2.5

已知直角三角形斜边长为2,周长为2+n，求此三角形的面积.

6.如图18-9,AABC中，ZC=90°,CO_LAB,垂足为D,BC=5cm,DC=4cm,求AC、AB的长.

7.如图18-10,八钻C中，48=AC,。为BC上任一点,求证：AB2-AD1=BDxDC.

8.如图18-11,AABC中,/。=90。./区4。的平分线交8(：于口且3£>=5,。£>=3,求AC的长。

9.如图18-12,AABC中,ZC=90°oD为BC上一点，ZBAC=60°,ND4C=45°,BD=a,求

AB的长。

图18-12

勾股定理的逆定理。

1.勾股定理逆定理

如果三角形的三边长a、b、c满足"+£=。2,那么这个三角形是直角三角形。

【例1】判断线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形。

(1)a=7,b=24,c=25

(2)a=20,b=21,c=29

【例2】设P是等边三角形内一点，如果PB?+,求NBPC的度数。

【例3】如图3-96,已知四边形ABCD中，NB=N90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13。求四边

形ABCD的面积.

【例4】在等腰RtAABC的斜边AB所在的直线上有一点P,^S=AP2+BP2.试探求P点位

置变化时，S与2PC?的大小关系.

练习

1.在AABC中，a、b、c分别是NA、NB、NC的对边，在满足下列条件的三角形中，不是直角

三角形中，不是直角三角形的是（）

A.ZA：ZB：ZC=3:4:5B.a:Z?:c=l:2:g

C.a:0:c=3:4:5D.NA：ZB：ZC=1：2：3

2.边长为Gcm的等边三角形的一条角平分线长为)

A.—cmB旦m

22

C.—cmD.-^-cn

23

3.在△ABC中，AB=15,AC=13。高AD=12,则AABC的周长是（）

4.**B.32C.42或32D.37或33

如图3-100,AABC中，ZACB=90,AC=12,CB=5,AM=AC,BN=BC。则MN的长是（）

图3-100图J103

5.如图3-103所示，已知N1=N2,AD=BD=4,CEJLAD,2CE=AC,那么CD的长是（）

6.**B.3C.lD.1.5

若等腰三角形的腰长为4,腰上的高为2,则此等腰三角形顶角的度数为.

7.如图3-104,已知AABC中，ZC=90,Z1=Z2,CD=1.5,BD=2.5,求AC的长。

8.如图3-108,△ABC中，AB=AC,D为BC上任意一点。求证:AB?=A。？+8。•CD

二、本章测试。

1.如果等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于。

2.在中，若NC=90°,ZA=30",AC=3,贝!JBC=。

3.直角三角形两直角边分别是10cm和24cm,则斜边长是cm,斜边上的高是cm。

4.如图3-122,已知AC〃BD,EA、EB分别平分NCAB和NDBA,直线DC过点E